MAT1512 JanFeb 2021 memo

MAT1512 JANUARY FEBRUARY 2021 MEMORANDUM



Question 1



(𝑎)
(𝑖)

√6 − 𝑥 − 2
𝐿 = lim
𝑥→2 √3 − 𝑥−1

√6 − 2 − 2
𝐿=
√3 − 2 − 1
√4 − 2
𝐿=
√1 − 1
2−2
𝐿=
1−1
0
𝐿=
0
𝑊𝑒 𝑔𝑒𝑡 𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚. 𝑊𝑒 𝑚𝑎𝑦 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑦 𝑡ℎ𝑒 𝐿′ 𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 ′ 𝑠 𝑟𝑢𝑙𝑒.
𝑑
𝑑𝑥 (√6 − 𝑥 − 2)
𝐿 = lim
𝑥→2 𝑑
− 𝑥 − 1)
𝑑𝑥 (√3
𝑑 1
((6 − 𝑥)2 − 2)
𝑑𝑥
𝐿 = lim 1
𝑥→2 𝑑
((3 − 𝑥)2 − 1)
𝑑𝑥
1 1 𝑑
(6 − 𝑥)2−1 × (6 − 𝑥) − 0
𝐿 = lim 2 𝑑𝑥
𝑥→2 1 1 𝑑
(3 − 𝑥)2−1 × (3 − 𝑥) − 0
2 𝑑𝑥
1 1
(6 − 𝑥)−2 × (0 − 1)
𝐿 = lim 2 1
𝑥→2 1
(3 − 𝑥)−2 × (0 − 1)
2
1 1
− 2 (6 − 𝑥)−2
𝐿 = lim 1
𝑥→2 1
− 2 (3 − 𝑥)−2
1
(6 − 𝑥)−2
𝐿 = lim 1
𝑥→2
(3 − 𝑥)−2

, 1
(3 − 𝑥)2
𝐿 = lim 1
𝑥→2
(6 − 𝑥)2
1
(3 − 2)2
𝐿= 1
(6 − 2)2
1
(1)2
𝐿= 1
(4)2

√1
𝐿=
√4
1
𝐿=
2


(𝑖𝑖)
|𝑥 + 3|
𝐿 = lim −
𝑥→−3 𝑥2 − 9
(𝑥 + 3) 𝑖𝑓 𝑥 + 3 ≥ 0
|𝑥 + 3| = {
−(𝑥 + 3) 𝑖𝑓 𝑥 + 3 < 0
(𝑥 + 3) 𝑖𝑓 𝑥 ≥ −3
|𝑥 + 3| = {
−(𝑥 + 3) 𝑖𝑓 𝑥 < −3



𝑥 → −3− 𝑚𝑒𝑎𝑛𝑠 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑥 𝑖𝑠 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑎𝑐ℎ𝑖𝑛𝑔 − 3 𝑓𝑟𝑜𝑚 𝑡ℎ𝑒 𝑙𝑒𝑓𝑡 ℎ𝑎𝑛𝑑 𝑠𝑖𝑑𝑒.
𝑆𝑜, 𝑥 < −3
𝑇ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒, |𝑥 + 3| = −(𝑥 + 3)


−(𝑥 + 3)
𝐿 = lim −
𝑥→−3 𝑥2 − 9
−(𝑥 + 3)
𝐿 = lim −
𝑥→−3 (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
−1
𝐿 = lim −
𝑥→−3 (𝑥 − 3)
−1
𝐿=
(−3 − 3)
−1
𝐿=
−6
1
𝐿=
6

, (𝑖𝑖𝑖)

√𝑥 2 + 4𝑥 − 2𝑥
𝐿 = lim
𝑥→−∞ 2𝑥


𝑇ℎ𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚 𝑖𝑛 𝑤ℎ𝑖𝑐ℎ 𝑥 ℎ𝑎𝑠 𝑡ℎ𝑒 𝑏𝑖𝑔𝑔𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑠 2𝑥.
𝑇𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑡ℎ𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑑 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑏𝑦 𝑥
1 2 2𝑥
𝑥 √𝑥 + 4𝑥 − 𝑥
𝐿 = lim
𝑥→−∞ 2𝑥
𝑥
𝑁𝑜𝑡𝑒 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑐𝑒 𝑥 𝑖𝑠 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑎𝑐ℎ𝑖𝑛𝑔 − ∞, 𝑤𝑒 𝑚𝑎𝑦 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑚𝑒 𝑡ℎ𝑎𝑡 𝑥 𝑖𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒.

𝐴𝑙𝑠𝑜 √𝑥 2 𝑖𝑠 𝑎𝑙𝑤𝑎𝑦𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑦 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑥.

𝑇ℎ𝑒𝑟𝑒𝑓𝑜𝑟𝑒, 𝑥 = −√𝑥 2


1 2𝑥
− 2
√𝑥 2 + 4𝑥 − 𝑥
𝐿 = lim √𝑥
𝑥→−∞ 2𝑥
𝑥
√𝑥 2 + 4𝑥 2𝑥
−1 −
√𝑥 2 𝑥
𝐿 = lim
𝑥→−∞ 2𝑥
𝑥
𝑥 2 4𝑥
−√ + −2
𝑥2 𝑥2
𝐿 = lim
𝑥→−∞ 2
4
−√1 + 𝑥 − 2
𝐿 = lim
𝑥→−∞ 2
−√1 + 0 − 2
𝐿=
2
−√1 − 2
𝐿=
2
−1 − 2
𝐿=
2
3
𝐿=−
2