Prof Stefan Schönert
.
schoenerte ph .
tum .
de
EXPERIMENTAL
PHYSIK 3
Technische Universität München
Physik B.Sc.
,.
1 Einführung
Lichts)
Optik als
Wegbereiter für die moderne Physik (z . B .
Wellentheorie des
und seit der Antike
Erfindungen
existieren
Beobachtungen
>
-
2 .
Licht als elektromagnetische Welle
TRANSVERSALE WELLE E (z .
B .
mechanische Ausbreitung der
Storung eines Seils
LONGITUDINALE WELLEi (z B .
.
Schwingungen in der Luft-Schallwellen)
Wellengleichung falls eine
Störung zu t =
0 an bestimmter Stelle lokalisiert , wird zu
späterem Zeitpunkt eine ähnliche
Störung an einem
-
anderen Punkt im Raum zu finden sein
Für DISPERSIONSFREIE WELLEN (bei Ausbreitung
>
Storungin -Richtung
-
einer
dh .
.
Fortpflanzungsgeschwindigkeit hängtnicht von Frequenz der Welle ab Mit Konstante
Geschwindigkeit v)
=>
f(x t)
,
=
f(x -
vt
, 0)
=
.
itlösungen
mit partieller Differentation (zweifach) f(x t) f(x vt 0)
=> =
: =
+
, ,
C f(x -vt)
Cg(x vt)
mit
allgemeinster Lesung :
f = + + =
Summe zweier Wellen Mit
entgegen gesetzten Ausbreitungsgeschwindigkeiten
entlang der X-Achse CSUPERPOSITIONSPRINZIP)
Wellenfunktion im ORTSRAUM :
In der Quantenmechanik
Verlauf der Welle zu bestimmten Zeitpunkt t =
to beschreibt 14 (X ,
t) / " die
Aufenthaltswahrscheinlich -
Keit eines Teilchens
Wellenfunktion im ZEITRAUM
Verlauf der Welle an bestimmten Ortspunkt X
=
X
HARMONISCHE WELLEN :
f(x , t) =
Aexpi(kx -
wt) spez .
Lösung der
Wellengleichung
f(x , t) =
A(cos(kx -
wt) +
isin(kx -
wt)
Komplexe Schreibweise
↳
Am Ende der Rechnung immer
Realteil der
Lösung nehmen R (f(x t) = (f(x t)) E)
: *
, ,
t) + f (x ,
=
coS(kx -
wt) = sin(kx -
wt +
+ = =
Mit X . . .
Wellenlänge
Mit V . . .
Frequenz (zyklen pro Zeit)
mit ToderT
=
E . . .
Dauer einer Oszillation
mit v . . . Phasen
geschwindigkeit
S
·
DISPERSIONSRELATION
v = =
E =
Vn =
u .
X =
(durch Einsetzen der Lösung)
Phase
F(r t) = expiCE.F
I
EBENE WELLEN :
f(Fit) =
f(r n-von-t 0)
.
, ·
,
-
wt)
-
mit Ausbreitungsrichtung i =
Konst .
mit Phase & =
For-cot
wellengleichung
um
( =E mitk E) =
=>
=
Konst .
(da Ebene Konst .
Phase senkrecht zu
Ausbreitung)
, Maxwellgleichungen
·... Verschiebungsfeld
div5 Coulomb
- (zusammensetzung
und der resultierenden
des E-felds E
Polarisation)
mit =
soE +
5 so =
8 , 854 .
10- Feldkonstante el
e
=
E
10-6
I Mo 1 256 · N/A Feldkonstante Mag
.
=
mit elektrische
Ladungsdichte
,
0
B
. .
div =
0 Gauß
isotropes lineares Medium Analog
: :
Es
-
,
rotE =
Faraday B =
MrMoFl
P XEE B SE X (1 + 1)2E EEE
J+ Ampere ~
= =
= = + =
rotF =
M r. . .
Permiabilität
Crot Mod 1
... Suszeptibilität
= +
rot) elektrische
Er - - .
Dieelektrizitätskonstante
Licht ausbreitung
(statt Tensor)
Wellengleichungen
und Eskalar
isotrope , isolierende richtungsunabhängig
-
für Medien
. VB-RMos
Wende hier für Ux "Max-wellgleichungen an
* E-MMode =
0 =
0
und setze
obige zusammenhänge ein :
188
Vergleich
==
Beim mit mit C =
2
,
997924 ....
von
>
Valeuum)
-
im
erster
Wellengleichung (Lichtgeschwindigkeit
Lin Materie
BRECHUNGSINDEX
Zusammenhang zurschen
Mediums
und
Energie Frequenz : eines
n = =
E =
=
n
w
w
=>
vph
= /n =
T
mit h . . .
Planc'schen Wirkungsquantum
13 =
6 ,
2415 1018eV .
1eV =
1 , 6022 .
1879]
Die ebene Welle Elrit) =
Eoexpi(E-wt + b) ist
Lösung der Wellengleichung E-MMosso =
=>
DISPERSIONSRELATION for Licht E =
kx +
ky2 +
kz = Beziehung
und
zisde relenzal e
Kreisfrequenz z
h(z)
1
oder Mit einfacher Lesung E(r t) Er cos (k r cot 4) Er Konstante Amplitude
= +
Mit
-
,
B(y)
. . .
k . . .
Wellenvektor
In isotropen Medien sind E und s in Phase ·
. 0 . . .
konstanter Phasenterm E(x)
Bewegt sich elektromagnetische Welle durch Medium
n
eine
=
ein
Mit Brechungsindex n so verändern sich ihre Eigenschaften :
Mit k
= = 1=
Frequenz
, M
↳ um
↓
sind/schwingen By Ex
E
=> E- und B-Felder in Phase ! =
z u s e t ze zum Beweis hier für die
Wellengleichung
in die Maxwell gleichung ein
bzw .
IBol =n Ed
Energie und Impuls von Licht
~ E ~
aFin
%
Energietransport durch
elektromagnetische Wellen
5 =
ExF = ExB =
socExi d h JIlt > E
.
.
wird beschrieben durch den Pointing-Vektor :
Mit [S] = (Energiestromdichte) ↳
B
E Er (wt)
mit
E. Eo <151) EEC"lEolIBol ElEl
=
sin
5 Bosin (wt) Intensität 1 =
= =
-- >
- =
X oder
B =
Bo sin (wt) 25t/w
als zeitliches Mittel über eine Periode T =
Mit Fe gE =
Beschleunigung
q(E + X)
=
Neben
Energie transportiert eine Welle auch Impuls mit F =
Fi =
qx lik Strahlungsdruck
(durch Coulomb- und Lorenzkraft
mit Impulsdichte B =
EEXB =
MoroS = 5
, mit den zeitlichen Mittel (F) =
q(E) +
g(axB) =
g(qBe = (E
Mit
Leistungsaufnahme aus
elektromagnetischen Feld & F. =
gEva- -
Für den senkrechten Einfall und vollständige Absorption auf einer Fläche A ist (a) =1 = <K +
(F) = E
STRAHLUNGSDRUCK D und bei Reflexion Pr =
2 bei Emission Ecos (20) dA =
ps =n analog := d
Strahlungsflußdichte S = Strahlungs-
Leistung
punktförmigen liehtquelle)
WELLENPAKETE
(einer
Cost
-
Bestrahlungsstärke Ee
- -
=>
=
S .
SUPERPOSITIONSPRINZIP ,
d h
i .
die Summe zweier Lösungen ist wieder eine
Lösung der
Wellengleichung
=>
Wellenpakete als
überlagerungen vo n ebenen Wellen EH) =
(8 E(c) eiotdw mit ECz , t) =
E(t) .
einz
Diese können später mit Hilfe der Fourier-Analyse voneinander beobachtet werden !
getrennt
Fourier-Transformation :
= F(uertdw I(r) =** (
c))
f(t) ·
"Forrier-transformiete
E10 f(t)eirt
VOR
& (w) &t
. .
=
Bei Wellenpaket Schwingungsfrequenz und Zeitl Modulierte Amplitude Verlauf Varianz
mit
gaußförmigem der
mit Wo .
Zeitl begrenzter Lichtimpuls ist immer mit bestimmter Frequenzbreite verknüpft die Mit abnehmender Dauer des Impulses zunimmt
-
.
,
Ot Gu
=>
it G =
= -
0 =
1 -
Charakteristische Eigenschaft Man nicht
gleichzeitig exakte Zeit- durchführen
.
und
ka n n
Frequenzbestimmung
:
(der Einhüllenden
·
Gruppengeschwindigkeit
- ·
Phasengeschwindigkeit
= E(c) eicke-ct
Betrachte Lichtimpuls ,
d h .
.
Wellenpaket ECz t) ,
da
(c)
propagation Medium s(w) (
=>
n
dispersiven
=
einem
=
in E
:
=
=
Vph = C wird
frequenzabhängig ,
d h
.
.
K =
K(w) ist über
Dispersionsrelation K =
Teilwellen E(z t) breiten unterschiedlichen
von sich Mit
Geschwindigkeiten aus
=>
,
imme Superposition
z .
B
. En (z , t) =
ACOS(kez-with
Ez(z t) ,
=
A CoS(lez-wzt)
=>
E =
En +
Ez =
2A cos(koz-wot) cos ( ** z
-
* t)
SCHWEBUNGSWELLE Vg Vph
=
=> : w1
·
Wellenmaxima bewegen sich mit der
Phasengeschwindigkeit Von = Dispersion
·
Einhüllende bewegt sich mit der
Gruppengeschwindigkeit Vg = - > k
E(z ,
t) =
Eteilkoz-wot) -
E(wo -2) + fi(k(woz-t) dR wobei E(w) in schmalen Bereich
-
ebene welle
Orts- und zeit abhäng Modulationsfunktion
. um wo konzentriert ist. . .
↓ ↓
Ausbreitung Ausbreitung
: :
Phase 0 =
Koz-wot =
Konst k'z-t =
konst .
z(t) =+ const z(t) =
In
=>
von == w .
=
E= =>
vg == w .
= +persions relation
.h
D . im dispersivem Medium ändert sich die Form der Modulationsfunktion bei der
Ausbreitung
st Valeuum E Verbreitung
im
gilt Vg c Vpn keine 0
: = = =
= =
.
schoenerte ph .
tum .
de
EXPERIMENTAL
PHYSIK 3
Technische Universität München
Physik B.Sc.
,.
1 Einführung
Lichts)
Optik als
Wegbereiter für die moderne Physik (z . B .
Wellentheorie des
und seit der Antike
Erfindungen
existieren
Beobachtungen
>
-
2 .
Licht als elektromagnetische Welle
TRANSVERSALE WELLE E (z .
B .
mechanische Ausbreitung der
Storung eines Seils
LONGITUDINALE WELLEi (z B .
.
Schwingungen in der Luft-Schallwellen)
Wellengleichung falls eine
Störung zu t =
0 an bestimmter Stelle lokalisiert , wird zu
späterem Zeitpunkt eine ähnliche
Störung an einem
-
anderen Punkt im Raum zu finden sein
Für DISPERSIONSFREIE WELLEN (bei Ausbreitung
>
Storungin -Richtung
-
einer
dh .
.
Fortpflanzungsgeschwindigkeit hängtnicht von Frequenz der Welle ab Mit Konstante
Geschwindigkeit v)
=>
f(x t)
,
=
f(x -
vt
, 0)
=
.
itlösungen
mit partieller Differentation (zweifach) f(x t) f(x vt 0)
=> =
: =
+
, ,
C f(x -vt)
Cg(x vt)
mit
allgemeinster Lesung :
f = + + =
Summe zweier Wellen Mit
entgegen gesetzten Ausbreitungsgeschwindigkeiten
entlang der X-Achse CSUPERPOSITIONSPRINZIP)
Wellenfunktion im ORTSRAUM :
In der Quantenmechanik
Verlauf der Welle zu bestimmten Zeitpunkt t =
to beschreibt 14 (X ,
t) / " die
Aufenthaltswahrscheinlich -
Keit eines Teilchens
Wellenfunktion im ZEITRAUM
Verlauf der Welle an bestimmten Ortspunkt X
=
X
HARMONISCHE WELLEN :
f(x , t) =
Aexpi(kx -
wt) spez .
Lösung der
Wellengleichung
f(x , t) =
A(cos(kx -
wt) +
isin(kx -
wt)
Komplexe Schreibweise
↳
Am Ende der Rechnung immer
Realteil der
Lösung nehmen R (f(x t) = (f(x t)) E)
: *
, ,
t) + f (x ,
=
coS(kx -
wt) = sin(kx -
wt +
+ = =
Mit X . . .
Wellenlänge
Mit V . . .
Frequenz (zyklen pro Zeit)
mit ToderT
=
E . . .
Dauer einer Oszillation
mit v . . . Phasen
geschwindigkeit
S
·
DISPERSIONSRELATION
v = =
E =
Vn =
u .
X =
(durch Einsetzen der Lösung)
Phase
F(r t) = expiCE.F
I
EBENE WELLEN :
f(Fit) =
f(r n-von-t 0)
.
, ·
,
-
wt)
-
mit Ausbreitungsrichtung i =
Konst .
mit Phase & =
For-cot
wellengleichung
um
( =E mitk E) =
=>
=
Konst .
(da Ebene Konst .
Phase senkrecht zu
Ausbreitung)
, Maxwellgleichungen
·... Verschiebungsfeld
div5 Coulomb
- (zusammensetzung
und der resultierenden
des E-felds E
Polarisation)
mit =
soE +
5 so =
8 , 854 .
10- Feldkonstante el
e
=
E
10-6
I Mo 1 256 · N/A Feldkonstante Mag
.
=
mit elektrische
Ladungsdichte
,
0
B
. .
div =
0 Gauß
isotropes lineares Medium Analog
: :
Es
-
,
rotE =
Faraday B =
MrMoFl
P XEE B SE X (1 + 1)2E EEE
J+ Ampere ~
= =
= = + =
rotF =
M r. . .
Permiabilität
Crot Mod 1
... Suszeptibilität
= +
rot) elektrische
Er - - .
Dieelektrizitätskonstante
Licht ausbreitung
(statt Tensor)
Wellengleichungen
und Eskalar
isotrope , isolierende richtungsunabhängig
-
für Medien
. VB-RMos
Wende hier für Ux "Max-wellgleichungen an
* E-MMode =
0 =
0
und setze
obige zusammenhänge ein :
188
Vergleich
==
Beim mit mit C =
2
,
997924 ....
von
>
Valeuum)
-
im
erster
Wellengleichung (Lichtgeschwindigkeit
Lin Materie
BRECHUNGSINDEX
Zusammenhang zurschen
Mediums
und
Energie Frequenz : eines
n = =
E =
=
n
w
w
=>
vph
= /n =
T
mit h . . .
Planc'schen Wirkungsquantum
13 =
6 ,
2415 1018eV .
1eV =
1 , 6022 .
1879]
Die ebene Welle Elrit) =
Eoexpi(E-wt + b) ist
Lösung der Wellengleichung E-MMosso =
=>
DISPERSIONSRELATION for Licht E =
kx +
ky2 +
kz = Beziehung
und
zisde relenzal e
Kreisfrequenz z
h(z)
1
oder Mit einfacher Lesung E(r t) Er cos (k r cot 4) Er Konstante Amplitude
= +
Mit
-
,
B(y)
. . .
k . . .
Wellenvektor
In isotropen Medien sind E und s in Phase ·
. 0 . . .
konstanter Phasenterm E(x)
Bewegt sich elektromagnetische Welle durch Medium
n
eine
=
ein
Mit Brechungsindex n so verändern sich ihre Eigenschaften :
Mit k
= = 1=
Frequenz
, M
↳ um
↓
sind/schwingen By Ex
E
=> E- und B-Felder in Phase ! =
z u s e t ze zum Beweis hier für die
Wellengleichung
in die Maxwell gleichung ein
bzw .
IBol =n Ed
Energie und Impuls von Licht
~ E ~
aFin
%
Energietransport durch
elektromagnetische Wellen
5 =
ExF = ExB =
socExi d h JIlt > E
.
.
wird beschrieben durch den Pointing-Vektor :
Mit [S] = (Energiestromdichte) ↳
B
E Er (wt)
mit
E. Eo <151) EEC"lEolIBol ElEl
=
sin
5 Bosin (wt) Intensität 1 =
= =
-- >
- =
X oder
B =
Bo sin (wt) 25t/w
als zeitliches Mittel über eine Periode T =
Mit Fe gE =
Beschleunigung
q(E + X)
=
Neben
Energie transportiert eine Welle auch Impuls mit F =
Fi =
qx lik Strahlungsdruck
(durch Coulomb- und Lorenzkraft
mit Impulsdichte B =
EEXB =
MoroS = 5
, mit den zeitlichen Mittel (F) =
q(E) +
g(axB) =
g(qBe = (E
Mit
Leistungsaufnahme aus
elektromagnetischen Feld & F. =
gEva- -
Für den senkrechten Einfall und vollständige Absorption auf einer Fläche A ist (a) =1 = <K +
(F) = E
STRAHLUNGSDRUCK D und bei Reflexion Pr =
2 bei Emission Ecos (20) dA =
ps =n analog := d
Strahlungsflußdichte S = Strahlungs-
Leistung
punktförmigen liehtquelle)
WELLENPAKETE
(einer
Cost
-
Bestrahlungsstärke Ee
- -
=>
=
S .
SUPERPOSITIONSPRINZIP ,
d h
i .
die Summe zweier Lösungen ist wieder eine
Lösung der
Wellengleichung
=>
Wellenpakete als
überlagerungen vo n ebenen Wellen EH) =
(8 E(c) eiotdw mit ECz , t) =
E(t) .
einz
Diese können später mit Hilfe der Fourier-Analyse voneinander beobachtet werden !
getrennt
Fourier-Transformation :
= F(uertdw I(r) =** (
c))
f(t) ·
"Forrier-transformiete
E10 f(t)eirt
VOR
& (w) &t
. .
=
Bei Wellenpaket Schwingungsfrequenz und Zeitl Modulierte Amplitude Verlauf Varianz
mit
gaußförmigem der
mit Wo .
Zeitl begrenzter Lichtimpuls ist immer mit bestimmter Frequenzbreite verknüpft die Mit abnehmender Dauer des Impulses zunimmt
-
.
,
Ot Gu
=>
it G =
= -
0 =
1 -
Charakteristische Eigenschaft Man nicht
gleichzeitig exakte Zeit- durchführen
.
und
ka n n
Frequenzbestimmung
:
(der Einhüllenden
·
Gruppengeschwindigkeit
- ·
Phasengeschwindigkeit
= E(c) eicke-ct
Betrachte Lichtimpuls ,
d h .
.
Wellenpaket ECz t) ,
da
(c)
propagation Medium s(w) (
=>
n
dispersiven
=
einem
=
in E
:
=
=
Vph = C wird
frequenzabhängig ,
d h
.
.
K =
K(w) ist über
Dispersionsrelation K =
Teilwellen E(z t) breiten unterschiedlichen
von sich Mit
Geschwindigkeiten aus
=>
,
imme Superposition
z .
B
. En (z , t) =
ACOS(kez-with
Ez(z t) ,
=
A CoS(lez-wzt)
=>
E =
En +
Ez =
2A cos(koz-wot) cos ( ** z
-
* t)
SCHWEBUNGSWELLE Vg Vph
=
=> : w1
·
Wellenmaxima bewegen sich mit der
Phasengeschwindigkeit Von = Dispersion
·
Einhüllende bewegt sich mit der
Gruppengeschwindigkeit Vg = - > k
E(z ,
t) =
Eteilkoz-wot) -
E(wo -2) + fi(k(woz-t) dR wobei E(w) in schmalen Bereich
-
ebene welle
Orts- und zeit abhäng Modulationsfunktion
. um wo konzentriert ist. . .
↓ ↓
Ausbreitung Ausbreitung
: :
Phase 0 =
Koz-wot =
Konst k'z-t =
konst .
z(t) =+ const z(t) =
In
=>
von == w .
=
E= =>
vg == w .
= +persions relation
.h
D . im dispersivem Medium ändert sich die Form der Modulationsfunktion bei der
Ausbreitung
st Valeuum E Verbreitung
im
gilt Vg c Vpn keine 0
: = = =
= =
