Dynamica 2
Periode 4, Les 1:
(Kinematica van een puntmassa in kromlijnige beweging in cilindrisch assenstelsel)
We gaan ons deze les focussen op de kinematica.
Het stappenplan voor het oplossen van een dynamisch vraagstuk:
1. Je definieert een assenstelsel, zodat duidelijk is t.o.v. welk punt (oorsprong/origin) de
beweging vectorieel wordt beschreven.
2. Je maakt een kinematisch schema waardoor alle posities, snelheden en versnellingen als
vectoren op het voorwerp zichtbaar worden
3. Je stelt de kinematische vergelijkingen (eventueel met differentiëren)
4. Je maakt een kinematisch schema én een vrijlichaamschema, waardoor alle krachten en
versnellingen vectorieel op het voorwerp zichtbaar worden
5. Je stelt met behulp van de wetten van Newton, de bewegingsvergelijkingen op aan de hand
van het VLS.
6. Je gaat op zoek naar het antwoord van de case.
Er zijn 2 soorten assenstelsels waar we in kunnen werken:
Een vector heeft 4 eigenschappen:
Richting, aangrijpingspunt, grootte/lengte (waarde), zin van de richting (positief of negatief gericht)
het verschil tussen een scalair en een vector is dat een scalair alleen een grootte heeft, terwijl een
vector zowel een grootte als een richting heeft.
Afspraken vectoren:
, Eenheidsvectoren zijn vectoren met een lengte van 1. De richting blijft constant.
Eenheidsvectoren worden altijd in
de positieve richting van het
gekozen assenstelsel weergegeven!
Door plaatsen eenheidsvector wordt vectorwaarde scalair
Formuleblad vectoren: (een puntje erboven betekend de afgeleide, 2 puntjes is dubbele afgeleide)
Positievector: Snelheidsvector: Versnellingsvector:
𝑟̅ = 𝑟𝑢̅𝑟 ̅
𝑣 = 𝑣̅𝑟 + 𝑣̅𝜃 𝑎̅ = 𝑎̅𝑟 + 𝑎̅𝜃
𝑣̅ = 𝑣𝑟 𝑢̅𝑟 + 𝑣𝜃 𝑢̅𝜃 𝑎̅ = 𝑎𝑟 𝑢̅𝑟 + 𝑎𝜃 𝑢̅𝜃
2
‖𝑣𝑟 ‖ = 𝑟̇ ‖𝑎𝑟 ‖ = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇
‖𝑣𝜃 ‖ = 𝑟𝜃̇ ‖𝑎𝜃 ‖ = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇
‖𝑣‖ = √(𝑣𝑟 )2 + (𝑣𝜃 )2 ‖𝑎‖ = √(𝑎𝑟 )2 + (𝑎𝜃 )2
2 2 2
‖𝑣‖ = √(𝑟̇ )2 + (𝑟𝜃̇) ‖𝑎‖ = √(𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 ) + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇)
(u̅r = radiale vector)
(u̅θ = transversale vector)
(θ̇ = hoeksnelheid)
(θ̈ = hoekversnelling)
Oefenopdracht 1:
Een puntmassa verplaatst zich langs een cirkelbaan met een straal van 400mm. Zijn
plaats als functie van de tijd is gegeven door θ = 2t2 rad, waarbij t is uitgedrukt in
seconden. Bepaal de grootte van de versnelling van de puntmassa wanneer θ = 30°.
De puntmassa begint te bewegen vanuit rust als θ = 0°.
𝑟 = 0,4 𝑚 𝑟̇ = 0 𝑚 𝑟̈ = 0 𝑚
𝜃 = 2𝑡 2 ̇
𝜃 = 4𝑡 𝜃̈ = 4
‖𝑎𝑟 ‖ = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2
‖𝑎𝜃 ‖ = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇
𝑎̅ = 𝑎̅𝑟 + 𝑎̅𝜃 = 𝑎𝑟 𝑢̅𝑟 + 𝑎𝜃 𝑢̅𝜃
𝑎̅ = (0 − 0,4 ∙ (4𝑡)2 )𝑢̅𝑟 + (0,4 ∙ 4 + 2 ∙ 0 ∙ 4𝑡)𝑢̅𝜃
𝑎̅ = (−6,4𝑡 2 )𝑢̅𝑟 + (1,6)𝑢̅𝜃
We moeten nu de t (s) bepalen op θ = 30°:
180
θ = 2t2 [rad] → θ = 2t2 · π [graden]
180 30 π
30 = 2t2 · π → t = √ 2 ∙ 180 = 0,51 sec (−6,4t 2 = -6,4 · 0,512 = -1,67)
‖𝑎‖ = √(𝑎𝑟 )2 + (𝑎𝜃 )2 = √(−1,67)2 + (1,6)2 = 2,3 m/s
Oefenopdracht 2:
Een vrachtwagen rijdt langs de horizontale cirkelvormige kromme met straal r = 60m met een
constante snelheidsgrootte v = 20 m/s. Bepaal de θ̇ van de radiale lijn r en
de grootte van de versnelling van de vrachtwagen.
v̅ = v̅r + v̅θ = ṙ + rθ̇
20 = ṙ + rθ̇ → 20 = 0 + 60θ̇ → θ̇ = 0,33 rad/s
r = 60m ṙ = 0m r̈ = 0m
θ̇ = 0,33rad/s θ̈ = 0
2 2 2
‖𝑎‖ = √(𝑎𝑟 )2 + (𝑎𝜃 )2 = √(𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ ) + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ )
2 2
= √(0 − 60 · 0,33 ) + (60 · 0 + 2 · 0 · 0,33)2 = 6,5 m/s2
Periode 4, Les 1:
(Kinematica van een puntmassa in kromlijnige beweging in cilindrisch assenstelsel)
We gaan ons deze les focussen op de kinematica.
Het stappenplan voor het oplossen van een dynamisch vraagstuk:
1. Je definieert een assenstelsel, zodat duidelijk is t.o.v. welk punt (oorsprong/origin) de
beweging vectorieel wordt beschreven.
2. Je maakt een kinematisch schema waardoor alle posities, snelheden en versnellingen als
vectoren op het voorwerp zichtbaar worden
3. Je stelt de kinematische vergelijkingen (eventueel met differentiëren)
4. Je maakt een kinematisch schema én een vrijlichaamschema, waardoor alle krachten en
versnellingen vectorieel op het voorwerp zichtbaar worden
5. Je stelt met behulp van de wetten van Newton, de bewegingsvergelijkingen op aan de hand
van het VLS.
6. Je gaat op zoek naar het antwoord van de case.
Er zijn 2 soorten assenstelsels waar we in kunnen werken:
Een vector heeft 4 eigenschappen:
Richting, aangrijpingspunt, grootte/lengte (waarde), zin van de richting (positief of negatief gericht)
het verschil tussen een scalair en een vector is dat een scalair alleen een grootte heeft, terwijl een
vector zowel een grootte als een richting heeft.
Afspraken vectoren:
, Eenheidsvectoren zijn vectoren met een lengte van 1. De richting blijft constant.
Eenheidsvectoren worden altijd in
de positieve richting van het
gekozen assenstelsel weergegeven!
Door plaatsen eenheidsvector wordt vectorwaarde scalair
Formuleblad vectoren: (een puntje erboven betekend de afgeleide, 2 puntjes is dubbele afgeleide)
Positievector: Snelheidsvector: Versnellingsvector:
𝑟̅ = 𝑟𝑢̅𝑟 ̅
𝑣 = 𝑣̅𝑟 + 𝑣̅𝜃 𝑎̅ = 𝑎̅𝑟 + 𝑎̅𝜃
𝑣̅ = 𝑣𝑟 𝑢̅𝑟 + 𝑣𝜃 𝑢̅𝜃 𝑎̅ = 𝑎𝑟 𝑢̅𝑟 + 𝑎𝜃 𝑢̅𝜃
2
‖𝑣𝑟 ‖ = 𝑟̇ ‖𝑎𝑟 ‖ = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇
‖𝑣𝜃 ‖ = 𝑟𝜃̇ ‖𝑎𝜃 ‖ = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇
‖𝑣‖ = √(𝑣𝑟 )2 + (𝑣𝜃 )2 ‖𝑎‖ = √(𝑎𝑟 )2 + (𝑎𝜃 )2
2 2 2
‖𝑣‖ = √(𝑟̇ )2 + (𝑟𝜃̇) ‖𝑎‖ = √(𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 ) + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇)
(u̅r = radiale vector)
(u̅θ = transversale vector)
(θ̇ = hoeksnelheid)
(θ̈ = hoekversnelling)
Oefenopdracht 1:
Een puntmassa verplaatst zich langs een cirkelbaan met een straal van 400mm. Zijn
plaats als functie van de tijd is gegeven door θ = 2t2 rad, waarbij t is uitgedrukt in
seconden. Bepaal de grootte van de versnelling van de puntmassa wanneer θ = 30°.
De puntmassa begint te bewegen vanuit rust als θ = 0°.
𝑟 = 0,4 𝑚 𝑟̇ = 0 𝑚 𝑟̈ = 0 𝑚
𝜃 = 2𝑡 2 ̇
𝜃 = 4𝑡 𝜃̈ = 4
‖𝑎𝑟 ‖ = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2
‖𝑎𝜃 ‖ = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇
𝑎̅ = 𝑎̅𝑟 + 𝑎̅𝜃 = 𝑎𝑟 𝑢̅𝑟 + 𝑎𝜃 𝑢̅𝜃
𝑎̅ = (0 − 0,4 ∙ (4𝑡)2 )𝑢̅𝑟 + (0,4 ∙ 4 + 2 ∙ 0 ∙ 4𝑡)𝑢̅𝜃
𝑎̅ = (−6,4𝑡 2 )𝑢̅𝑟 + (1,6)𝑢̅𝜃
We moeten nu de t (s) bepalen op θ = 30°:
180
θ = 2t2 [rad] → θ = 2t2 · π [graden]
180 30 π
30 = 2t2 · π → t = √ 2 ∙ 180 = 0,51 sec (−6,4t 2 = -6,4 · 0,512 = -1,67)
‖𝑎‖ = √(𝑎𝑟 )2 + (𝑎𝜃 )2 = √(−1,67)2 + (1,6)2 = 2,3 m/s
Oefenopdracht 2:
Een vrachtwagen rijdt langs de horizontale cirkelvormige kromme met straal r = 60m met een
constante snelheidsgrootte v = 20 m/s. Bepaal de θ̇ van de radiale lijn r en
de grootte van de versnelling van de vrachtwagen.
v̅ = v̅r + v̅θ = ṙ + rθ̇
20 = ṙ + rθ̇ → 20 = 0 + 60θ̇ → θ̇ = 0,33 rad/s
r = 60m ṙ = 0m r̈ = 0m
θ̇ = 0,33rad/s θ̈ = 0
2 2 2
‖𝑎‖ = √(𝑎𝑟 )2 + (𝑎𝜃 )2 = √(𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ ) + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ )
2 2
= √(0 − 60 · 0,33 ) + (60 · 0 + 2 · 0 · 0,33)2 = 6,5 m/s2
