A Transition to Abstract Mathematics (2nd Edition, 2014) – Solutions Manual – Maddox

ALL 9 CHAPTERS COVERED




SOLUTIONS MANUAL

, Mathematical Thinking and Writing:
A Transition to Abstract Mathematics
Instructor’s Guide and Solutions Manual

Randall B. Maddox
Pepperdine University

March 16, 2009

,ii

, Contents

0 Notation and Assumptions 1


I Foundations of Logic and Proof Writing 3
1 Language and Mathematics 5
1.1 Introduction to Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 If-Then Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Universal and Existential Quantifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Negations of Statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 How We Write Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Properties of Real Numbers 23
2.1 Basic Algebraic Properties of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Ordering Properties of the Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 The Division Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Divisibility and Prime Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Set Proofs 35
3.1 Set Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Proving Basic Set Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Families of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 The Principle of Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Variations of the PMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Equivalence Classes and Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Building the Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Roots of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.10 Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.11 Relations in General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Functions 69
4.1 Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 One-to-one and Onto Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Image and Pre-image Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 Composition and Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 Three Helpful Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6 Finite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 Infinite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

iii