Mathematik Stochastik - Mathe Abitur Lernzettel
Stochastik - Mathe Abitur Lernzettel
Schwerpunkt: Bernoulli-Experimente &
Binomialverteilung
Allgemeine Informationen
Fach: Mathematik
Themengebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik)
Schulform: Gymnasium
Klassenstufe: Abitur (Oberstufe)
Inhalt: Kompaktes, prüfungsorientiertes Lernskript mit allen
relevanten Themen, Rechenwegen und Beispielaufgaben zur
Vorbereitung auf das Mathematikabitur im Bereich
Stochastik.
1
,Mathematik Stochastik - Mathe Abitur Lernzettel
Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen der Bernoulli-Experimente
o Definition & Aufbau
o Eigenschaften von Bernoulli-Ketten
o Bernoulli-Formel mit Beispiel
o Herleitung Schritt für Schritt
2. Typische Aufgabentypen in der Stochastik
o Punktwahrscheinlichkeit P (X = k)
o Intervallwahrscheinlichkeiten (mindestens, höchstens, zwischen)
o Gegenwahrscheinlichkeit P (X > k)
o Mindestanzahl von Versuchen
3. Eigene Aufgabenbeispiele mit Lösungen
o Exakte Trefferwahrscheinlichkeit
o Mindestens-/Höchstens-/Zwischen-Ergebnisse
o Reale Anwendungsbeispiele (Würfel, Glücksrad, Prüfungen, Online-
Bestellungen)
4. Binomialverteilung im Detail
o Definition & Zusammenhang zur Bernoulli-Kette
o Graphische Darstellung (Tabelle & Diagramm)
o Einfluss der Parameter n und p
5. Erwartungswert & Standardabweichung
o Formeln
o Varianz und σ-Regeln
6. Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
o Definition & Umformungen
o Rechenwege per Taschenrechner
o Praxisbeispiele mit Schritt-für-Schritt-Erklärungen
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1. Grundlagen der Bernoulli-Experimente
Beschreibung:
Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge T und T gibt. T
wird als Treffer (Erfolg) und T als Niete (Misserfolg) bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit p für das
Eintreten von T wird als Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet. Beispiele für Bernoulli-Versuche sind
das Werfen einer Münze (Kopf, Zahl), das Werfen eines Würfels (Sechs, keine Sechs) oder das
Überprüfen eines Bauteils (defekt, nicht defekt).
Wiederholt man einen Bernoulli-Versuch n-mal in exakt gleicher Weise, so spricht man von einer
Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p.
Eigenschaften von Bernoulliketten:
-Im Einzel-Experiment gibt es nur 2 mögliche Ergebnisse oder Ausgänge - Erfolg und Misserfolg
-Das Einzel-Experiment wird n-mal unabhängig voneinander wiederholt
-Es ist nur die Anzahl der Treffer von Bedeutung und nicht, in welcher Reihenfolge die Treffer
auftreten
Die Formel von Bernoulli:
Mit der Bernoulli Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl in einer
Bernoulli-Kette berechnen, die n-Mal wiederholt wird. Für eine Bernoulli-Kette der Länge n mit
Trefferwahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer:
𝐧
𝐏 𝒏 𝒑 (𝐗 = 𝐤) = 𝐁 (𝐧; 𝐩; 𝐤) = ( ) · 𝐩𝐤 · (𝟏 − 𝐩)𝐧−𝐤
𝐤
P (X = k) = Wahrscheinlichkeit bei n Versuchen für genau k Treffer
P = Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis
N = Länge der Bernoullikette / Länge der Versuche bei einem Bernoulli-Experiment
p = Die Wahrscheinlichkeit mit der ein Treffer eintritt
k = Die Anzahl der Treffer, die dabei erzielt werden
𝐧
( ) = Anzahl der möglichen Kombinationen von Treffern
𝐤
X = Zufallsvariable für eine bestimmte Anzahl der Treffer in n Versuchen
3
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Herleitung der Bernoulliformel anhand eines Beispiels:
Ein Würfel wird viermal geworfen. X sei die Anzahl der dabei geworfenen Sechsen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X = 2, also für genau zwei Sechsen?
Da der Würfel viermal geworfen wird, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 4. Jedes
Würfeln ist ein unabhängiger Bernoulli-Versuch, da nur zwei mögliche Ergebnisse existieren:
Treffer (Sechs geworfen) mit Wahrscheinlichkeit p = 1/6
Niete (keine Sechs geworfen) mit Wahrscheinlichkeit 1 - p = 5/6
1. Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge:
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau diese spezielle Abfolge auftritt, ist: 1/62 x 5/62
2. Anzahl der möglichen Anordnungen der Treffer:
Da die beiden Sechsen an beliebigen Stellen innerhalb der vier Würfe auftreten können, gibt es
mehrere Möglichkeiten, wie zwei Sechsen geworfen werden können. Das bedeutet, es gibt 6
verschiedene Möglichkeiten, genau zwei Sechsen auf die vier Würfe zu verteilen. Jede dieser
Möglichkeiten hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.
3. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit:
Nun multiplizieren wir die Anzahl der möglichen Treffer-Anordnungen mit der Wahrscheinlichkeit
für eine spezifische Reihenfolge:
Zusammenfassung:
1. Bernoulli-Experiment: Jeder Versuch hat zwei mögliche Ergebnisse (Treffer/Niete)
2. Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge: pk ⋅ (1 - p) n-k
3. Anzahl der möglichen Treffer-Anordnungen: (n k):
In der Bernoulli-Formel wird die Anzahl der Möglichkeiten mit dem Binomialkoeffizienten
berechnet
Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, gibt es mehrere mögliche Anordnungen für die Treffer
-> Der Binomialkoeffizient (4 2) = 6 bedeutet, es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten, genau zwei
Sechsen auf die vier Würfe zu verteilen
-> Der zweite Teil der Bernoulli-Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten
Anordnung (zwei Sechsen, gefolgt von zwei Nieten)
4. Multiplikation beider Terme ergibt die Bernoulli-Formel
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2. Typische Aufgabentypen in der Stochastik
1. Bestimmung einer Punktwahrscheinlichkeit P (X = k):
Beschreibung:
Die Punktwahrscheinlichkeit gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass in einer Bernoulli-
Kette mit n unabhängigen Versuchen genau k Treffer auftreten. X (bestimmte Anzahl der Treffer in
n Versuchen) tritt bei genau einem Wert k auf.
Berechnung:
2. Intervallwahrscheinlichkeiten:
Intervallwahrscheinlichkeiten geben die Wahrscheinlichkeit an, dass die Anzahl der Erfolge (Treffer)
in einer Bernoulli-Kette innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt, d. h. zwischen zwei Werten k1
und k2 (z. B. mindestens, höchstens, zwischen zwei Werten). Man summiert dazu mehrere
Wahrscheinlichkeiten aus der Binomialverteilung.
Typische Fragestellungen:
1. Mindestens k Treffer → P (X ≥ k)
→ Man berechnet P (X ≥ k) häufig, indem man die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:
P (X ≥ k) = 1 - P (X ≤ k - 1)
2. Höchstens k Treffer → P ( X ≤ k)
→ Man summiert P (X = 0) + P (X = 1) + ... + P (X = k)
3. Zwischen zwei Werten → P (k ≤ X ≤ m)
→ Man berechnet die Wahrscheinlichkeit für alle Werte zwischen k und m
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Schwerpunkt: Bernoulli-Experimente &
Binomialverteilung
Allgemeine Informationen
Fach: Mathematik
Themengebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik)
Schulform: Gymnasium
Klassenstufe: Abitur (Oberstufe)
Inhalt: Kompaktes, prüfungsorientiertes Lernskript mit allen
relevanten Themen, Rechenwegen und Beispielaufgaben zur
Vorbereitung auf das Mathematikabitur im Bereich
Stochastik.
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Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen der Bernoulli-Experimente
o Definition & Aufbau
o Eigenschaften von Bernoulli-Ketten
o Bernoulli-Formel mit Beispiel
o Herleitung Schritt für Schritt
2. Typische Aufgabentypen in der Stochastik
o Punktwahrscheinlichkeit P (X = k)
o Intervallwahrscheinlichkeiten (mindestens, höchstens, zwischen)
o Gegenwahrscheinlichkeit P (X > k)
o Mindestanzahl von Versuchen
3. Eigene Aufgabenbeispiele mit Lösungen
o Exakte Trefferwahrscheinlichkeit
o Mindestens-/Höchstens-/Zwischen-Ergebnisse
o Reale Anwendungsbeispiele (Würfel, Glücksrad, Prüfungen, Online-
Bestellungen)
4. Binomialverteilung im Detail
o Definition & Zusammenhang zur Bernoulli-Kette
o Graphische Darstellung (Tabelle & Diagramm)
o Einfluss der Parameter n und p
5. Erwartungswert & Standardabweichung
o Formeln
o Varianz und σ-Regeln
6. Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
o Definition & Umformungen
o Rechenwege per Taschenrechner
o Praxisbeispiele mit Schritt-für-Schritt-Erklärungen
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1. Grundlagen der Bernoulli-Experimente
Beschreibung:
Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsexperiment, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge T und T gibt. T
wird als Treffer (Erfolg) und T als Niete (Misserfolg) bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit p für das
Eintreten von T wird als Trefferwahrscheinlichkeit bezeichnet. Beispiele für Bernoulli-Versuche sind
das Werfen einer Münze (Kopf, Zahl), das Werfen eines Würfels (Sechs, keine Sechs) oder das
Überprüfen eines Bauteils (defekt, nicht defekt).
Wiederholt man einen Bernoulli-Versuch n-mal in exakt gleicher Weise, so spricht man von einer
Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p.
Eigenschaften von Bernoulliketten:
-Im Einzel-Experiment gibt es nur 2 mögliche Ergebnisse oder Ausgänge - Erfolg und Misserfolg
-Das Einzel-Experiment wird n-mal unabhängig voneinander wiederholt
-Es ist nur die Anzahl der Treffer von Bedeutung und nicht, in welcher Reihenfolge die Treffer
auftreten
Die Formel von Bernoulli:
Mit der Bernoulli Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl in einer
Bernoulli-Kette berechnen, die n-Mal wiederholt wird. Für eine Bernoulli-Kette der Länge n mit
Trefferwahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer:
𝐧
𝐏 𝒏 𝒑 (𝐗 = 𝐤) = 𝐁 (𝐧; 𝐩; 𝐤) = ( ) · 𝐩𝐤 · (𝟏 − 𝐩)𝐧−𝐤
𝐤
P (X = k) = Wahrscheinlichkeit bei n Versuchen für genau k Treffer
P = Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis
N = Länge der Bernoullikette / Länge der Versuche bei einem Bernoulli-Experiment
p = Die Wahrscheinlichkeit mit der ein Treffer eintritt
k = Die Anzahl der Treffer, die dabei erzielt werden
𝐧
( ) = Anzahl der möglichen Kombinationen von Treffern
𝐤
X = Zufallsvariable für eine bestimmte Anzahl der Treffer in n Versuchen
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Herleitung der Bernoulliformel anhand eines Beispiels:
Ein Würfel wird viermal geworfen. X sei die Anzahl der dabei geworfenen Sechsen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X = 2, also für genau zwei Sechsen?
Da der Würfel viermal geworfen wird, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 4. Jedes
Würfeln ist ein unabhängiger Bernoulli-Versuch, da nur zwei mögliche Ergebnisse existieren:
Treffer (Sechs geworfen) mit Wahrscheinlichkeit p = 1/6
Niete (keine Sechs geworfen) mit Wahrscheinlichkeit 1 - p = 5/6
1. Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge:
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau diese spezielle Abfolge auftritt, ist: 1/62 x 5/62
2. Anzahl der möglichen Anordnungen der Treffer:
Da die beiden Sechsen an beliebigen Stellen innerhalb der vier Würfe auftreten können, gibt es
mehrere Möglichkeiten, wie zwei Sechsen geworfen werden können. Das bedeutet, es gibt 6
verschiedene Möglichkeiten, genau zwei Sechsen auf die vier Würfe zu verteilen. Jede dieser
Möglichkeiten hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.
3. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit:
Nun multiplizieren wir die Anzahl der möglichen Treffer-Anordnungen mit der Wahrscheinlichkeit
für eine spezifische Reihenfolge:
Zusammenfassung:
1. Bernoulli-Experiment: Jeder Versuch hat zwei mögliche Ergebnisse (Treffer/Niete)
2. Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge: pk ⋅ (1 - p) n-k
3. Anzahl der möglichen Treffer-Anordnungen: (n k):
In der Bernoulli-Formel wird die Anzahl der Möglichkeiten mit dem Binomialkoeffizienten
berechnet
Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, gibt es mehrere mögliche Anordnungen für die Treffer
-> Der Binomialkoeffizient (4 2) = 6 bedeutet, es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten, genau zwei
Sechsen auf die vier Würfe zu verteilen
-> Der zweite Teil der Bernoulli-Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten
Anordnung (zwei Sechsen, gefolgt von zwei Nieten)
4. Multiplikation beider Terme ergibt die Bernoulli-Formel
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2. Typische Aufgabentypen in der Stochastik
1. Bestimmung einer Punktwahrscheinlichkeit P (X = k):
Beschreibung:
Die Punktwahrscheinlichkeit gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass in einer Bernoulli-
Kette mit n unabhängigen Versuchen genau k Treffer auftreten. X (bestimmte Anzahl der Treffer in
n Versuchen) tritt bei genau einem Wert k auf.
Berechnung:
2. Intervallwahrscheinlichkeiten:
Intervallwahrscheinlichkeiten geben die Wahrscheinlichkeit an, dass die Anzahl der Erfolge (Treffer)
in einer Bernoulli-Kette innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt, d. h. zwischen zwei Werten k1
und k2 (z. B. mindestens, höchstens, zwischen zwei Werten). Man summiert dazu mehrere
Wahrscheinlichkeiten aus der Binomialverteilung.
Typische Fragestellungen:
1. Mindestens k Treffer → P (X ≥ k)
→ Man berechnet P (X ≥ k) häufig, indem man die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:
P (X ≥ k) = 1 - P (X ≤ k - 1)
2. Höchstens k Treffer → P ( X ≤ k)
→ Man summiert P (X = 0) + P (X = 1) + ... + P (X = k)
3. Zwischen zwei Werten → P (k ≤ X ≤ m)
→ Man berechnet die Wahrscheinlichkeit für alle Werte zwischen k und m
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