Analysis Zusammenfassung

11/111/
2 analyses
-




Z
X X X3


a Y a Y a Y




> X > X > X




3 5
X X X

a Y a Y a Y




> > X > X
X




1

* X
2
eX

a Y a Y a Y


* Pz(1(e)


* P, 1011)


> X > X > X




POTENZREGELN BINOMISCHE FORMELN MITTERNACHTSFORMEL

=

1avas =
av
+ s
1(a b)+ a + 2ab + b

=

2(a b| a 2ab b b -b hal
2avas av
S - -
-


=
- = -
+


2a

3(ar)" =
avs 3(a b) (a b)
+ . - =
at - b

,71117IIl



Symmetrie achsensymmetrisch punktsymmetrisch unsymmetrisch
Exponenten gerade ungerade gerade + ungerade
Beispiel 2x + x4 X3 + X 4x" + 2x3 + X


N N N




Graph
& & &
zur zum1

y-Achse Ursprung




Beweis f x fx f x f x f x fx fx

(11171171/11/171/


Am Grad und Koeffizienten a kann man das Verhalten für x
H
I
untersuchen:
a a



1
Grad gerade; a H G 2
Grad gerade; a n G
f(x) =
7 x 3x3
-




3
f(x) =
=
7x6 -
3x3 3




Für x I
gilt f x ↓ f
Für x I
gilt f x -

f




.
3
Grad ungerade; a H G a ↳
Grad ungerade; a H G a




f(x) = 7x5 3x3 -
f(x) =
7x5 3x3 -




3 3




Für x ↓ f
gilt f x ↓ f Für x ↓ f
gilt f x -



Für x -
of
gilt f x of
-



Für x -
of
gilt f x ↓ f




1111/////// /(11))I/IIII


Streckung mit Faktor a in y Richtung
9(x) =
a .
f(x -
b) +
c Verschiebung um b in x Richtung ! -
ist +!

Verschiebung um c in y Richtung

·

, 111/17/1)11 : 7/1)II7I




↳
TERME UMSCHREIBEN
BEDEUTUNG EINER ABLEITUNG


Die Ableitung der Funktion f an der Stelle a entspricht: X *

der Steigung der Tangente -Ex -

2x
1




der Steigung der Funktion f
in Anwendungsaufgaben der momentanen Änderungsrate
DEFINITION EINER TANGENTE



Die Tangente ist eine Gerade, die den Punkt P a f a enthält + die Steigung f a hat. (




ALLGEMEINE TANGENTENGLEICHUNG


t: y f a x a f a Plalf(al)


BEISPIEL




Gegeben ist f(die Funktion f 1137
1
mit f x
-1) 2 1 (1)
2x 4x -




2
. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P 1 11( 1))
-




f =


:




a = : = . . =
- -




f(a) =
6x27 :
+(1) =
6 .
1112 -
7 =
2



+: y =
2 .

(X =


1 1))
-
+ 2

y
=
2x + 2 + 2

t: y =
2x + 4

~ f
Y


Dargestellt ist die Funktion f. Bestimme
-




-- v




f n p
-



1p f
↓
p p f f g * >
X




-
1 2 3
= I
-




2, 4 -
f'(c) 7 f (6 5)
4
ME
-
=
1
24
= =
=
1
, ,
- 1 1


-1 1
f'(z) =
-




f = =
1 f (1) =
G
-




-

2 -




f (3) =
[ =
4 f'(z 5)
.
= = =
1
-
7

-

3 -




1




11(((7/1) (11) III


Potenzregel für f x x gilt f x rx v v -
1
f(x) = 4x3 ; +'(x) =
12x


Faktorregel für f x c g x gilt f x c g x f(x) =
1 ·
sin(x) + cos(x) ; f(x) =
4 .
cos(x) -

Sin(x)


Summenregel für f x g x h x gilt f x g x h x f(x) =
5x = 2x 2it'(x) -
=
20x3 + 3x

f(x) 0 ( v(x) 8 4x b u(x) X
Kettenregel für f x u mx c gilt f x m u mx c =




Ex -E
- :




2xi
= .




,
m =
,
=




2'sox
2
v'(x) = =
f(x) = -

4 . =
-




sox



f(x) y
= :
v(x) =
4x 7 -




, m = 4 ,
u(x) =
3 =
3x
-
1


-
v'(x) 3 1 1)x
2
f'(x) m
=
-

= -
= =

x ; 72
.
-




Produktregel für f x u x v x gilt f x u x v x u x v x f(x) =
x
3 .

(0s(x) +'(x) =
3x = (s(x) =

x3sin(x)

f(x) =
5x .
(1 -
x)4 :
v =
5x ,
v'(x) =
5, v(x) =
(1 x)7
-




v'(x) =
1 .

7 ·

(1 -

x)3 ; f'(x) =
5 .
(1 -
x) 5x 1 + .
-

4(1 -
x(3)

, 11(((711) III. )

1

X Sin(x) Cos(X)
f(x) sin(x) fl > sin(x) fl
1
=

X A
G & 1
#
G
-

f(x) (s(X)
2 1
cos(x) Cos(x)
=

↑ # * * >
-




#
#
f -
1
# 3 2π -

3
2 2
2 -
1 &
-1 -
X A
2 fl -

sin(x) fl
f 1




BEISPIEL



Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P.
f(x) =
3 .
(0s(X) , PIEIfl)


a = :
f(z) =
3 :

cos() =
0

f (a) = -


3 sin(x) :
f'(l = -

3 .
sint -



z



: y = -

3 .


(x -

E)

y
=
-
3x +
3π


111/7/IIl 1111111111111/171
BIDEUTUNG


Steigungsverhalten einer Funktion
1 f(x) 0 im Intervall =I [a b] :
streng monoton wachsend 1f "(x)0
: f streng monoton wachsend; Linkskurve
2 f(x) 0 im Intervall =I [a b] : streng monoton fallend 2f"(x) 0 : f streng monoton fallend; Rechtskurve
vorgehen vorgehen
1 f(x) ableiten
. 1. f(x) ableiten
.
2 f(x) =
0 setzen .
2 f(x) ableiten
. Intervalle bestimmen
3 3
. f"(x) =
0 setzen

. Testwert inf(x)
2 2
. Intervalle bestimmen

.
5 Testwert inf" (x)



BEISPIEL BEISPIEL


Bestimme für die Funktion f x 3x3 alle Intervalle, in denen f -

6x + 2
Untersuche das Krümmungsverhalten der Funktion f x (2x 3) = 12x ?
-




streng monoton wachsend bzw. fallend ist.
f(x) =
x" 6 -
f(x) =
G(2x 3)" 24x -
=




& (x) 24(2n 3)
"

f(x) =
0: x2 6 - =
f 1 + 6 = -
=



2) =
48x -

96
x2 =
6 Im

X1
= =2 45 f" (x) =
0 :
78x -

96 =
0 1 + 96
, 2 ,




48x =
961 48 :




#1 -

0 % -


2 451 ,
:
fl 3) . =
3 >
8 =
S M W
. . .
X =
2

#1-2 45 ; ,
2 ,
451 :
+(0) = <8. =
S M . .
F .




Is (2 .
45; 0) ·
f (3) =
3 >
8 = -
S M W
. . ·
In =
1 -0 ; 2) :
+" (0) =
-




96 =>
RK .




I =
(2 : 0) :
+" (3) =
48 = -
Lk .