Hoofdstuk 7, differentiaalrekening
Differentiëren, door een formule te differentiëren krijg je een formule (f'(x)) die voor elke x van f(x)
de richtingscoëfficiënt van de raaklijn geeft.
[x2-4]', hiermee bedoelen ze de afgeleidde van x2-4, dat is dus 2x.
f(x)= a f'(x)=0
f(x)= ax f'(x)=a
f(x)=axn f'(x)=naxn-1 (n is hier een heel getal, kan ook een negatief getal zijn!)
Som-, product- en quotiëntregel
f(x)= g(x) + h(x) f'(x)= g'(x) + h'(x) (somregel)
f(x)= g(x) • h(x) f'(x)= g'(x) • h(x) + g(x) • h'(x) (productregel)
𝑡(𝑥) 𝑛(𝑥)∙𝑡 ′ (𝑥)−𝑡(𝑥)∙𝑛′ (𝑥) 𝑛𝑎𝑡−𝑡𝑎𝑛
𝑞(𝑥) = 𝑛(𝑥) 𝑞 ′ (𝑥) = 2 = (quotiëntregel)
(𝑛(𝑥)) 𝑛2
Wortels differentiëren
1 1 1
1 −1 1 1 1
f(x)=√𝑥=𝑥 2 f'(x)= 𝑥 2 = 2 𝑥 −2 = 1 =2
2 √𝑥
2𝑥 2
1 1
2 1 1
𝑔′ (𝑥) = 2 3 𝑥13 = 2 3 𝑥 ∙ √𝑥
3 3
Voorbeeld: 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 ∙ √𝑥 = 𝑥 3
Kettingregel
Hier gaat het om de wat uitgebreidere formules waar het makkelijk is om de formule in twee
schakels op te delen. Een functie die je opschrijft als een 'ketting' van schakels is een kettingfunctie.
De afgeleide van die kettingfunctie is de afgeleide van oorspronkelijke formule. Bijvoorbeeld:
𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 4𝑥 + 5)3 stel u=𝑥 2 − 4𝑥 + 5 dan is 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑢2 nu moet je u in gaan vullen en
moet je het geheel met de afgeleide van u gaan vermenigvuldigen. Dus:
𝑓 ′ (𝑥) = 3(𝑥 2 − 4𝑥 + 5)2 ∙ (2𝑥 − 4)
𝑑𝑦
Je ziet dat ze hier gebruikt maken van 𝑑𝑥, dat staat
namelijk gelijk aan de afgeleide van de oorspronkelijke
formule, bij de kettingregel wordt in de tussenstappen
𝑑𝑢 𝑑𝑦
dan ook wel eens gebruik gemaakt van 𝑑𝑥 en van 𝑑𝑢.
𝑑𝑦
𝑑𝑢
staat voor de afgeleide van f(x) wanneer je een deel
𝑑𝑢
voor u vervangen hebt en staat voor de afgeleide
𝑑𝑥
van het deel wat je u genoemd hebt, die twee
vermenigvuldig je altijd met elkaar en dat klopt ook
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
volgens deze formule = ∙
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
Extreme waarden, de extreme waarden van een functie zijn de uiterste Y-waardes bij een parabool
of andere kromme functie zijn dat dus de stukken waar de afgeleide gelijk is aan 0 (f'(x)=0). Het is wel
altijd handig om de grafiek in je GR te schetsen zodat je kan checken of je extreme waarde goed is en
of het een minimum of maximum is. De extreme waarde bestaat alleen uit de Y-waarde.
Differentiëren, door een formule te differentiëren krijg je een formule (f'(x)) die voor elke x van f(x)
de richtingscoëfficiënt van de raaklijn geeft.
[x2-4]', hiermee bedoelen ze de afgeleidde van x2-4, dat is dus 2x.
f(x)= a f'(x)=0
f(x)= ax f'(x)=a
f(x)=axn f'(x)=naxn-1 (n is hier een heel getal, kan ook een negatief getal zijn!)
Som-, product- en quotiëntregel
f(x)= g(x) + h(x) f'(x)= g'(x) + h'(x) (somregel)
f(x)= g(x) • h(x) f'(x)= g'(x) • h(x) + g(x) • h'(x) (productregel)
𝑡(𝑥) 𝑛(𝑥)∙𝑡 ′ (𝑥)−𝑡(𝑥)∙𝑛′ (𝑥) 𝑛𝑎𝑡−𝑡𝑎𝑛
𝑞(𝑥) = 𝑛(𝑥) 𝑞 ′ (𝑥) = 2 = (quotiëntregel)
(𝑛(𝑥)) 𝑛2
Wortels differentiëren
1 1 1
1 −1 1 1 1
f(x)=√𝑥=𝑥 2 f'(x)= 𝑥 2 = 2 𝑥 −2 = 1 =2
2 √𝑥
2𝑥 2
1 1
2 1 1
𝑔′ (𝑥) = 2 3 𝑥13 = 2 3 𝑥 ∙ √𝑥
3 3
Voorbeeld: 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 ∙ √𝑥 = 𝑥 3
Kettingregel
Hier gaat het om de wat uitgebreidere formules waar het makkelijk is om de formule in twee
schakels op te delen. Een functie die je opschrijft als een 'ketting' van schakels is een kettingfunctie.
De afgeleide van die kettingfunctie is de afgeleide van oorspronkelijke formule. Bijvoorbeeld:
𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 4𝑥 + 5)3 stel u=𝑥 2 − 4𝑥 + 5 dan is 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑢2 nu moet je u in gaan vullen en
moet je het geheel met de afgeleide van u gaan vermenigvuldigen. Dus:
𝑓 ′ (𝑥) = 3(𝑥 2 − 4𝑥 + 5)2 ∙ (2𝑥 − 4)
𝑑𝑦
Je ziet dat ze hier gebruikt maken van 𝑑𝑥, dat staat
namelijk gelijk aan de afgeleide van de oorspronkelijke
formule, bij de kettingregel wordt in de tussenstappen
𝑑𝑢 𝑑𝑦
dan ook wel eens gebruik gemaakt van 𝑑𝑥 en van 𝑑𝑢.
𝑑𝑦
𝑑𝑢
staat voor de afgeleide van f(x) wanneer je een deel
𝑑𝑢
voor u vervangen hebt en staat voor de afgeleide
𝑑𝑥
van het deel wat je u genoemd hebt, die twee
vermenigvuldig je altijd met elkaar en dat klopt ook
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
volgens deze formule = ∙
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
Extreme waarden, de extreme waarden van een functie zijn de uiterste Y-waardes bij een parabool
of andere kromme functie zijn dat dus de stukken waar de afgeleide gelijk is aan 0 (f'(x)=0). Het is wel
altijd handig om de grafiek in je GR te schetsen zodat je kan checken of je extreme waarde goed is en
of het een minimum of maximum is. De extreme waarde bestaat alleen uit de Y-waarde.
