Kleinste bovengrens eigenschap - uitwerkingen inleveropgave week 11

Fundamenten uitwerkingen inleveropgave week 11

14 december 2021


Inleveropgave:


Hetgeen aan te tonen/te definiëren opschrijven: 0.5pt

Definieer met behulp van de kleinste bovengrens eigenschap van R de functie f : R>0 → R
√
door x → 4 x + 1 (Hierbij alleen gebruik makende van de axioma’s van de reele getallen uit
H2.2 en de lemma’s van H2.3).

Definieer x4 : 0.75 pt.

Voor alle x ∈ R definiëren we x4 als (x2 )2 = (x · x) · (x · x) volgens 2.3.1(2).

Definieer Tr : 0.75 pt.

Neem nu een vaste r ∈ R>0 . Dan kunnen we de verzameling Tr definiëren

Tr = {x ∈ R≥0 | x4 < r}.

Merk op dat Tr niet leeg is: 0.75 pt.

De verzameling Tr is niet leeg aangezien 04 = (0 · 0) · (0 · 0) = 0 · 0 = 0 (Lemma 2.3.2(7)) en
0 < r (per definitie van r).

Laat zien dat Tr een bovengrens heeft (dit kan op meerdere manieren): 5 pt.

Laat x ∈ R met r + 1 < x.
Volgens de definitie van r geldt dat 0 < r en uit 2.2.1(l) dat 1 < r + 1 en dan geeft 2.3.3(2)
dat 1 < x maar ook 0 < r + 1, verder met 0 < 1 geeft 2.3.3(2) ook dat 0 < x.
Aangezien 0 ≤ (r + 1) < x geeft 2.3.3(11) dat (1 + r) · (1 + r) < x · x oftewel (1 + r)2 < x2 .
2.3.3(7) (met 1 + r ̸= 0) geeft dat 0 < (1 + r)2 dus er geldt weer 0 ≤ (1 + r)2 < x2 nogmaals
2.3.3(11) geeft dan (1 + r)2 · (1 + r)2 < x2 · x2 , dit is volgens onze definitie (met 2.3.1(2))
hetzelfde als (1 + r)2 · (1 + r)2 < x4 .
Er geldt 0 ≤ r < r + 1 en 0 ≤ 1 < r + 1, dus geeft 2.3.3(11) dat r · 1 < (r + 1) · (r + 1)
en met 2.2.1(g) dat r < (r + 1) · (r + 1) dus r < (r + 1)2 (2.3.1(2)). Op dezelfde manier
met 0 ≤ 1 < r + 1 geeft 2.3.3(11) dat 1 · 1 < (r + 1) · (r + 1) en met 2.2.1(g) weer dat

1