Statistiek semester 2
Inhoudsopgave
1 Basisbegrippen kansberekening (H8)....................................................................................................................... 3
1.1 De taal van de kans = basisbegrippen.........................................................................................................................3
1.1.1 Intermezzo: symbolen uit de verzamelingenleer.................................................................................................3
1.2 De kansdefinitie...........................................................................................................................................................4
1.3 Axiomatische kansregels.............................................................................................................................................5
2 Stochasten, verwachtingswaarde en variantie (H9).................................................................................................. 7
2.1 Verwachte waarde van een stochast..........................................................................................................................7
2.2 Variantie van een stochast..........................................................................................................................................7
2.2.1 Lineair getransformeerde stochasten..................................................................................................................8
2.3 Simultane kansverdelingen..........................................................................................................................................8
2.3.1 Som van stochasten: verwachtingswaarde en variantie/standaardafwijking.....................................................9
2.3.2 Product van stochasten: verwachtingswaarde en variantie/standaardafwijking...............................................9
2.4 Conditionele/voorwaardelijke kansverdelingen........................................................................................................10
3 Binomiale verdeling (H10)...................................................................................................................................... 11
3.1 De verjaardagsparadox.............................................................................................................................................11
3.2 De binomiaalverdeling...............................................................................................................................................12
3.2.1 Kenmerken en algemene formule.....................................................................................................................12
3.2.2 Gebruik van tabellen..........................................................................................................................................13
3.2.3 Lottospel.............................................................................................................................................................13
3.2.4 Verwachtingswaarde en variantie van een binomiaal verdeelde stochast.......................................................14
3.3 Hypergeometische verdeling.....................................................................................................................................15
4 De normale verdeling (H11)................................................................................................................................... 16
4.1 Introductie.................................................................................................................................................................16
4.2 Eigenschappen van de normale verdeling en normale dichtheidsfunctie.................................................................16
4.3 De standaardnormale verdeling................................................................................................................................17
4.3.1 Standaardiseren en z-scores..............................................................................................................................17
4.4 Kansdichtheden opzoeken.........................................................................................................................................18
4.4.1 Twee soorten vragen over normale verdeling...................................................................................................18
4.5 Chebychev voor de normale verdeling.......................................................................................................................18
4.6 Normaliteitstoetsing..................................................................................................................................................19
4.6.1 Chi².....................................................................................................................................................................19
4.6.2 QQ-plot...............................................................................................................................................................20
4.7 De continuïteitscorrectie............................................................................................................................................20
5 Normale benadering van binominale verdeling...................................................................................................... 22
5.1 Rodedraadprobleem..................................................................................................................................................22
5.1.1 Centrale limietstelling........................................................................................................................................22
6 Schatten................................................................................................................................................................ 24
, 6.1 Steekproefproporties.................................................................................................................................................24
6.1.1 Rodedraadprobleem 2.0....................................................................................................................................24
6.1.2 Rodedraadprobleem 3.0....................................................................................................................................25
6.2 Puntschatting van de populatieproportie (p)............................................................................................................25
6.2.1 Zuivere puntschatting........................................................................................................................................26
6.2.2 Efficiënte puntschatting.....................................................................................................................................26
6.2.3 Puntschatting voor p..........................................................................................................................................27
6.3 Intervalschatting van de populatieproportie (p).......................................................................................................27
6.4 De eindigheidscorrectie.............................................................................................................................................29
6.5 Punt- en intervalschatting van het populatiegemiddelde ()......................................................................................29
6.5.1 Puntschatting voor µ..........................................................................................................................................30
6.5.2 Intervalschatting voor........................................................................................................................................30
6.5.3 T-verdeling.........................................................................................................................................................30
6.5.4 Stappenplan betrouwheidsinterval gemiddelde...............................................................................................31
7 Hypothesetoetsing................................................................................................................................................ 32
7.1.1 Stap 1: H0 en Ha bepalen....................................................................................................................................32
7.1.2 Stap 2: Toetsingsgrootheid en verdeling...........................................................................................................32
7.1.3 Stap 3: Verwerpingsgebied................................................................................................................................33
7.1.4 Stap 4: Situeren toetsingsgrootheid – kritieke waarde.....................................................................................33
7.1.5 Stap 5: Conclusie................................................................................................................................................33
7.2 Hypothesetoetsen van proporties..............................................................................................................................33
7.2.1 Voorbeeld (gaat over proporties ).....................................................................................................................34
7.3 Hypothesetoetsen voor gemiddelden........................................................................................................................35
7.4 Toetsen van gemiddelden met onbekende σ.............................................................................................................36
7.5 Type 1-fout en Type 2-fout........................................................................................................................................36
7.5.1 Type 1-fout.........................................................................................................................................................37
7.5.2 Type 2-fout.........................................................................................................................................................37
7.5.3 Back to the future..............................................................................................................................................37
,1 Basisbegrippen kansberekening (H8)
Het belang van kansrekenen kan handig zijn om spelletjes te winnen en om uitspraken te doen over
een populatie op basis van een steekproef
Dit semster spreken we over inferentiële statistiek: Op basis van steekproefgegevens uitspraken
doen over de populatie.
1.1 De taal van de kans = basisbegrippen
• Een stochastisch proces is een proces waarvan uitkomst onzeker is (gooien met dobbelsteen)
o Synoniem: ‘kansexperiment’
o <-> Een deterministisch proces is een proces waarvan de uitkomst vastligt
• Een toevalsgebeuren (gebeurtenis) is een specifieke (groep van) uitkomst(en) van een
stochastisch proces
o Vb een 1 gooien met de dobbelsteen
• Een elementair toevalsgebeuren behelst één uitkomst
o bv. Toevalsgebeuren A (‘het gooien van een 1 met een eerlijke dobbelsteen’) = {1}
o 1 mogelijke uitkomst
• Uitkomstenruimte S is de verzameling van alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
o S={1, 2, 3, 4, 5, 6} of S={k, m} -> kop of munt
• Een samengesteld toevalsgebeuren heeft betrekking op meerdere elementaire
toevalsgebeurens
o bv. Gebeurtenis B (‘het gooien van een even getal met een eerlijke dobbelsteen’) =
{2, 4, 6}
1.1.1 Intermezzo: symbolen uit de verzamelingenleer
= Een verzameling is een geheel van objecten, die aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen om
tot de verzameling te behoren.
Notatie: A = {s, t, a, i, e, k} -> verzameling van letters in statistiek
De unie (u) van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A of B zitten
A∪B
Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {oneven}. A ∪ B = 1 & 2
De doorsnede van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A en B zitten
A∩ B
Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {oneven}; A ∩B = 1
A is een deelverzameling van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat
A⊂B
Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
, Disjuncte verzamelingen zijn verzamelingen die geen gemeenschappelijke
elementen bevatten
A∩ B = ∅ (dus de doorsnede = leeg, ze zijn disjunt)
Voorbeeld: A = {1} en B = {2, 4, 6}
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen van A die niet
in B zitten
A\B
Voorbeeld: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B = {2, 4, 6}; A ¿B = ?
Basisbegrippen kansberekening:
- Elk toevalsgebeuren A (elementair of samengesteld) is een deelverzameling uit de
uitkomstenruimte S
- De elementaire toevalsgebeurens in uitkomstenruimte S zijn disjunct: ze overlappen niet
- Uitkomstenruimte S is exhaustief: het bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
- Het complement van toevalsgebeuren A omvat alle elementaire toevalsgebeurens in de
uitkomstenruimte S die niet gelijk zijn aan A
• Ac of A = S \ A
• Voorbeeld: A = {1}, dan A = {2, 3, 4, 5, 6}
• Dus complement is dan allesbehalve 1 gooien
De machtsverzameling M(S) is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van
uitkomstenruimte S
• Voorbeeld: S = {1, 2, 3}
• Hoeveel deelverzamelingen zijn er mogelijk?
• Met 0 elementen: ∅
• Met 1 element: {1}, {2}, {3}
• Met 2 elementen:{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}
• Met 3 elementen: {1, 2, 3}
• Als #S = n #M(S) = 2n
Als uitkomstenruimte bestaat uit n elementen, is het aantal mogelijke machtverzameilingen, 2 tot
de nde
1.2 De kansdefinitie
= Een kans P(G) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een getal
tussen 0 en 1 (0 gebeurd nooit, 1 gebeurd sws)
› P staat voor probability
› Voorbeeld: P({2 gooien met eerlijke dobbelsteen}) = 1 op 6
P is een functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert
1. Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
Bijvoorbeeld `de kans om de lotto te winnen is erg klein’
= Vaak gebaseerd op ervaring, vaag
Wordt vaak gebruikt in het dagelijkse leven
Inhoudsopgave
1 Basisbegrippen kansberekening (H8)....................................................................................................................... 3
1.1 De taal van de kans = basisbegrippen.........................................................................................................................3
1.1.1 Intermezzo: symbolen uit de verzamelingenleer.................................................................................................3
1.2 De kansdefinitie...........................................................................................................................................................4
1.3 Axiomatische kansregels.............................................................................................................................................5
2 Stochasten, verwachtingswaarde en variantie (H9).................................................................................................. 7
2.1 Verwachte waarde van een stochast..........................................................................................................................7
2.2 Variantie van een stochast..........................................................................................................................................7
2.2.1 Lineair getransformeerde stochasten..................................................................................................................8
2.3 Simultane kansverdelingen..........................................................................................................................................8
2.3.1 Som van stochasten: verwachtingswaarde en variantie/standaardafwijking.....................................................9
2.3.2 Product van stochasten: verwachtingswaarde en variantie/standaardafwijking...............................................9
2.4 Conditionele/voorwaardelijke kansverdelingen........................................................................................................10
3 Binomiale verdeling (H10)...................................................................................................................................... 11
3.1 De verjaardagsparadox.............................................................................................................................................11
3.2 De binomiaalverdeling...............................................................................................................................................12
3.2.1 Kenmerken en algemene formule.....................................................................................................................12
3.2.2 Gebruik van tabellen..........................................................................................................................................13
3.2.3 Lottospel.............................................................................................................................................................13
3.2.4 Verwachtingswaarde en variantie van een binomiaal verdeelde stochast.......................................................14
3.3 Hypergeometische verdeling.....................................................................................................................................15
4 De normale verdeling (H11)................................................................................................................................... 16
4.1 Introductie.................................................................................................................................................................16
4.2 Eigenschappen van de normale verdeling en normale dichtheidsfunctie.................................................................16
4.3 De standaardnormale verdeling................................................................................................................................17
4.3.1 Standaardiseren en z-scores..............................................................................................................................17
4.4 Kansdichtheden opzoeken.........................................................................................................................................18
4.4.1 Twee soorten vragen over normale verdeling...................................................................................................18
4.5 Chebychev voor de normale verdeling.......................................................................................................................18
4.6 Normaliteitstoetsing..................................................................................................................................................19
4.6.1 Chi².....................................................................................................................................................................19
4.6.2 QQ-plot...............................................................................................................................................................20
4.7 De continuïteitscorrectie............................................................................................................................................20
5 Normale benadering van binominale verdeling...................................................................................................... 22
5.1 Rodedraadprobleem..................................................................................................................................................22
5.1.1 Centrale limietstelling........................................................................................................................................22
6 Schatten................................................................................................................................................................ 24
, 6.1 Steekproefproporties.................................................................................................................................................24
6.1.1 Rodedraadprobleem 2.0....................................................................................................................................24
6.1.2 Rodedraadprobleem 3.0....................................................................................................................................25
6.2 Puntschatting van de populatieproportie (p)............................................................................................................25
6.2.1 Zuivere puntschatting........................................................................................................................................26
6.2.2 Efficiënte puntschatting.....................................................................................................................................26
6.2.3 Puntschatting voor p..........................................................................................................................................27
6.3 Intervalschatting van de populatieproportie (p).......................................................................................................27
6.4 De eindigheidscorrectie.............................................................................................................................................29
6.5 Punt- en intervalschatting van het populatiegemiddelde ()......................................................................................29
6.5.1 Puntschatting voor µ..........................................................................................................................................30
6.5.2 Intervalschatting voor........................................................................................................................................30
6.5.3 T-verdeling.........................................................................................................................................................30
6.5.4 Stappenplan betrouwheidsinterval gemiddelde...............................................................................................31
7 Hypothesetoetsing................................................................................................................................................ 32
7.1.1 Stap 1: H0 en Ha bepalen....................................................................................................................................32
7.1.2 Stap 2: Toetsingsgrootheid en verdeling...........................................................................................................32
7.1.3 Stap 3: Verwerpingsgebied................................................................................................................................33
7.1.4 Stap 4: Situeren toetsingsgrootheid – kritieke waarde.....................................................................................33
7.1.5 Stap 5: Conclusie................................................................................................................................................33
7.2 Hypothesetoetsen van proporties..............................................................................................................................33
7.2.1 Voorbeeld (gaat over proporties ).....................................................................................................................34
7.3 Hypothesetoetsen voor gemiddelden........................................................................................................................35
7.4 Toetsen van gemiddelden met onbekende σ.............................................................................................................36
7.5 Type 1-fout en Type 2-fout........................................................................................................................................36
7.5.1 Type 1-fout.........................................................................................................................................................37
7.5.2 Type 2-fout.........................................................................................................................................................37
7.5.3 Back to the future..............................................................................................................................................37
,1 Basisbegrippen kansberekening (H8)
Het belang van kansrekenen kan handig zijn om spelletjes te winnen en om uitspraken te doen over
een populatie op basis van een steekproef
Dit semster spreken we over inferentiële statistiek: Op basis van steekproefgegevens uitspraken
doen over de populatie.
1.1 De taal van de kans = basisbegrippen
• Een stochastisch proces is een proces waarvan uitkomst onzeker is (gooien met dobbelsteen)
o Synoniem: ‘kansexperiment’
o <-> Een deterministisch proces is een proces waarvan de uitkomst vastligt
• Een toevalsgebeuren (gebeurtenis) is een specifieke (groep van) uitkomst(en) van een
stochastisch proces
o Vb een 1 gooien met de dobbelsteen
• Een elementair toevalsgebeuren behelst één uitkomst
o bv. Toevalsgebeuren A (‘het gooien van een 1 met een eerlijke dobbelsteen’) = {1}
o 1 mogelijke uitkomst
• Uitkomstenruimte S is de verzameling van alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
o S={1, 2, 3, 4, 5, 6} of S={k, m} -> kop of munt
• Een samengesteld toevalsgebeuren heeft betrekking op meerdere elementaire
toevalsgebeurens
o bv. Gebeurtenis B (‘het gooien van een even getal met een eerlijke dobbelsteen’) =
{2, 4, 6}
1.1.1 Intermezzo: symbolen uit de verzamelingenleer
= Een verzameling is een geheel van objecten, die aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen om
tot de verzameling te behoren.
Notatie: A = {s, t, a, i, e, k} -> verzameling van letters in statistiek
De unie (u) van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A of B zitten
A∪B
Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {oneven}. A ∪ B = 1 & 2
De doorsnede van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A en B zitten
A∩ B
Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {oneven}; A ∩B = 1
A is een deelverzameling van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat
A⊂B
Voorbeeld: A = {1, 2} en B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
, Disjuncte verzamelingen zijn verzamelingen die geen gemeenschappelijke
elementen bevatten
A∩ B = ∅ (dus de doorsnede = leeg, ze zijn disjunt)
Voorbeeld: A = {1} en B = {2, 4, 6}
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen van A die niet
in B zitten
A\B
Voorbeeld: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B = {2, 4, 6}; A ¿B = ?
Basisbegrippen kansberekening:
- Elk toevalsgebeuren A (elementair of samengesteld) is een deelverzameling uit de
uitkomstenruimte S
- De elementaire toevalsgebeurens in uitkomstenruimte S zijn disjunct: ze overlappen niet
- Uitkomstenruimte S is exhaustief: het bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
- Het complement van toevalsgebeuren A omvat alle elementaire toevalsgebeurens in de
uitkomstenruimte S die niet gelijk zijn aan A
• Ac of A = S \ A
• Voorbeeld: A = {1}, dan A = {2, 3, 4, 5, 6}
• Dus complement is dan allesbehalve 1 gooien
De machtsverzameling M(S) is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van
uitkomstenruimte S
• Voorbeeld: S = {1, 2, 3}
• Hoeveel deelverzamelingen zijn er mogelijk?
• Met 0 elementen: ∅
• Met 1 element: {1}, {2}, {3}
• Met 2 elementen:{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}
• Met 3 elementen: {1, 2, 3}
• Als #S = n #M(S) = 2n
Als uitkomstenruimte bestaat uit n elementen, is het aantal mogelijke machtverzameilingen, 2 tot
de nde
1.2 De kansdefinitie
= Een kans P(G) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een getal
tussen 0 en 1 (0 gebeurd nooit, 1 gebeurd sws)
› P staat voor probability
› Voorbeeld: P({2 gooien met eerlijke dobbelsteen}) = 1 op 6
P is een functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert
1. Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
Bijvoorbeeld `de kans om de lotto te winnen is erg klein’
= Vaak gebaseerd op ervaring, vaag
Wordt vaak gebruikt in het dagelijkse leven
