L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas
Module 3:
Plan d’étude d’une fonction
Table des matières
Unité 1 - Quelques compléments ........................................................................................................2
I - Théorème des valeurs intermédiaires ....................................................................................................2
1 ) Enoncé du théorème............................................................................................................................................... 2
2 ) Exemples ............................................................................................................................................................... 2
II - Théorème de la bijection........................................................................................................................4
III - Fonctions réciproques ..........................................................................................................................4
1 ) Définition et existence d’une fonction réciproque ................................................................................................. 4
2 ) Exemple de détermination de la fonction réciproque............................................................................................. 5
3 ) Autres propriétés .................................................................................................................................................... 6
IV - Quelques fonctions de référence ..........................................................................................................7
Unité 2 - Plan d’étude d’une fonction ................................................................................................8
I - Domaine de définition ..............................................................................................................................8
II - Parité, périodicité, conséquences graphiques ......................................................................................9
1 ) Parité ...................................................................................................................................................................... 9
2 ) Périodicité ............................................................................................................................................................ 10
III - Limites aux bornes : asymptotes parallèles aux axes ......................................................................10
IV - Variations de la fonction.....................................................................................................................10
V - Tableau de variations complet avec précision des extrema ..............................................................11
VI - Etude des branches infinies ................................................................................................................11
VII - Intersection avec les axes ..................................................................................................................12
VIII - Représentation graphique ...............................................................................................................12
1 ) Définir et tracer le repère ..................................................................................................................................... 12
2 ) Tracer les asymptotes éventuelles ........................................................................................................................ 12
3 ) Placer les extrema ................................................................................................................................................ 13
4 ) Placer les points particuliers ................................................................................................................................ 13
5 ) Tracer la courbe représentative ............................................................................................................................ 13
Unité 3 - Exemples : ..........................................................................................................................14
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Module 3:
Plan d’étude d’une fonction
Unité 1 - Quelques compléments
I - Théorème des valeurs intermédiaires
1 ) Enoncé du théorème
Théorème :
▪ Soit f une application continue sur I
▪ Soient I un intervalle, a et b I avec a b
▪ Soit R compris entre f ( a ) et f (b)
Alors, il existe au moins un réel c dans a, b tel que : f (c) =
(ie l’équation f ( x) = admet au moins une solution dans a, b )
Le théorème des valeurs intermédiaires est d’une compréhension assez intuitive. Si une fonction est
continue entre deux abscisses a et b, elle prend toutes les valeurs comprises entre leurs images f(a) et
f(b) ; et réciproquement.
2 ) Exemples
1- Etape du tour de France : PAU - HAUTACAM
▪ Etape de 156 km.
▪ Ville de départ : PAU, altitude 200m
▪ Ville d’arrivée : HAUTACAM, altitude 1520m
Profil de l'étape Pau-Hautacam du Tour de France 2008
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Le profil de l'étape est une fonction définie sur l'intervalle [0;156] et à valeurs réelles.
À tout nombre x de [0;156], elle associe l'altitude du point situé à x kilomètres du départ.
Puisque les altitudes s'échelonnent au moins de 200 à 1 520m (certaines peuvent être inférieures à
200m et d’autres supérieures à 1520m), il paraît évident que les coureurs ont dû passer au moins une
fois par toutes les altitudes intermédiaires.
Cependant, cette constatation s'appuie sur deux hypothèses :
• le parcours est un intervalle, ce qui suppose que l'espace est un continuum, c'est-à-dire qu'il n'y
a pas de « trou » entre 0 et 156.
• la fonction altitude est continue, ce qui signifie qu'une variation infinitésimale du kilométrage
entraîne une variation infinitésimale de l'altitude : en d'autres termes, un coureur ne peut pas
se téléporter instantanément d'une altitude à une autre.
Illustration : cas où = 1000 m
Le coureur passera ainsi au moins une fois par l'altitude 1 000 m.
Le théorème des valeurs intermédiaires formalise ce raisonnement empirique :
Il existe au moins un réel c 0;156 tel que : f (c) = 1000
2- Polynôme de degré impair :
Toute fonction polynôme P ( x) , à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle
(ie telle que P ( x ) = 0 ).
En effet, le degré de P ( x) étant impair, on a :
lim P( x) = − et lim P( x) = +
x →− x →+
Donc :
▪ a R / x a, on ait P( x) 0
▪ b R / x b, on ait P( x) 0
Comme P ( x) est une fonction continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer
l’existence d’un réel c tel que : P(c) = 0 .
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Plan d’étude d’une fonction
Table des matières
Unité 1 - Quelques compléments ........................................................................................................2
I - Théorème des valeurs intermédiaires ....................................................................................................2
1 ) Enoncé du théorème............................................................................................................................................... 2
2 ) Exemples ............................................................................................................................................................... 2
II - Théorème de la bijection........................................................................................................................4
III - Fonctions réciproques ..........................................................................................................................4
1 ) Définition et existence d’une fonction réciproque ................................................................................................. 4
2 ) Exemple de détermination de la fonction réciproque............................................................................................. 5
3 ) Autres propriétés .................................................................................................................................................... 6
IV - Quelques fonctions de référence ..........................................................................................................7
Unité 2 - Plan d’étude d’une fonction ................................................................................................8
I - Domaine de définition ..............................................................................................................................8
II - Parité, périodicité, conséquences graphiques ......................................................................................9
1 ) Parité ...................................................................................................................................................................... 9
2 ) Périodicité ............................................................................................................................................................ 10
III - Limites aux bornes : asymptotes parallèles aux axes ......................................................................10
IV - Variations de la fonction.....................................................................................................................10
V - Tableau de variations complet avec précision des extrema ..............................................................11
VI - Etude des branches infinies ................................................................................................................11
VII - Intersection avec les axes ..................................................................................................................12
VIII - Représentation graphique ...............................................................................................................12
1 ) Définir et tracer le repère ..................................................................................................................................... 12
2 ) Tracer les asymptotes éventuelles ........................................................................................................................ 12
3 ) Placer les extrema ................................................................................................................................................ 13
4 ) Placer les points particuliers ................................................................................................................................ 13
5 ) Tracer la courbe représentative ............................................................................................................................ 13
Unité 3 - Exemples : ..........................................................................................................................14
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Module 3:
Plan d’étude d’une fonction
Unité 1 - Quelques compléments
I - Théorème des valeurs intermédiaires
1 ) Enoncé du théorème
Théorème :
▪ Soit f une application continue sur I
▪ Soient I un intervalle, a et b I avec a b
▪ Soit R compris entre f ( a ) et f (b)
Alors, il existe au moins un réel c dans a, b tel que : f (c) =
(ie l’équation f ( x) = admet au moins une solution dans a, b )
Le théorème des valeurs intermédiaires est d’une compréhension assez intuitive. Si une fonction est
continue entre deux abscisses a et b, elle prend toutes les valeurs comprises entre leurs images f(a) et
f(b) ; et réciproquement.
2 ) Exemples
1- Etape du tour de France : PAU - HAUTACAM
▪ Etape de 156 km.
▪ Ville de départ : PAU, altitude 200m
▪ Ville d’arrivée : HAUTACAM, altitude 1520m
Profil de l'étape Pau-Hautacam du Tour de France 2008
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Le profil de l'étape est une fonction définie sur l'intervalle [0;156] et à valeurs réelles.
À tout nombre x de [0;156], elle associe l'altitude du point situé à x kilomètres du départ.
Puisque les altitudes s'échelonnent au moins de 200 à 1 520m (certaines peuvent être inférieures à
200m et d’autres supérieures à 1520m), il paraît évident que les coureurs ont dû passer au moins une
fois par toutes les altitudes intermédiaires.
Cependant, cette constatation s'appuie sur deux hypothèses :
• le parcours est un intervalle, ce qui suppose que l'espace est un continuum, c'est-à-dire qu'il n'y
a pas de « trou » entre 0 et 156.
• la fonction altitude est continue, ce qui signifie qu'une variation infinitésimale du kilométrage
entraîne une variation infinitésimale de l'altitude : en d'autres termes, un coureur ne peut pas
se téléporter instantanément d'une altitude à une autre.
Illustration : cas où = 1000 m
Le coureur passera ainsi au moins une fois par l'altitude 1 000 m.
Le théorème des valeurs intermédiaires formalise ce raisonnement empirique :
Il existe au moins un réel c 0;156 tel que : f (c) = 1000
2- Polynôme de degré impair :
Toute fonction polynôme P ( x) , à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle
(ie telle que P ( x ) = 0 ).
En effet, le degré de P ( x) étant impair, on a :
lim P( x) = − et lim P( x) = +
x →− x →+
Donc :
▪ a R / x a, on ait P( x) 0
▪ b R / x b, on ait P( x) 0
Comme P ( x) est une fonction continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer
l’existence d’un réel c tel que : P(c) = 0 .
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