Statistiek om mee te werken Samenvatting - TBAS2.2

Samenvatting TBAS2.2

Les 1

2 typen kansvariabelen

- Discreet
o Kansfunctie
o Totale som = 1
o F(k): P(k < k)
o Bv. Binomiale verdeling
- Continue
o Kansdichtheidsfunctie
o Totale oppervlak = 1
o F(x): P(x < x)
o Bv. Normale verdeling

Normale verdeling

- De verdeling van de oppervlaktes is voor iedere
normale verdeling hetzelfde!
o Y-as: kansdichtheidsfunctie
o X-as: σ = standaarddeviatie
o De verdeling is in totaal 100%  Totaal
oppervlak van 1
- Veel voorkomende verdeling
- Gekarakteriseerd door 2 parameters
o µ = het gemiddelde
o σ = de standaarddeviatie
o x ~ N(µ,σ)
- Voor iedere normale verdeling geldt:
o Tussen de 0 en de 3σ: dit is de helft van het oppervlak  alles daarbuiten is
ongeveer 0.
o Bv. Het oppervlakte tussen µ en µ + σ : 0,341
Lengte x ~ N(µ=172, σ=6)  P(172<x<178) = 0,341
Hierbij wordt µ + σ = 172+6 = 178  aflezen grafiek geeft 1σ = 34,1% = 0,341
o Op de grafische rekenmachine: 2nd + distr  2  Onder = 172, Boven = 178, µ = 172
en σ = 6  enter
- Transformeren naar de standaardnormale verdeling: z ~ N(µ=0, σ=1)
x−µ
o Transformatie: z=
σ
o Bv. Lengte x ~ N(μ=172,σ=6)  P(x > 182) = ?
182−172 10
z= = =1,67
6 6
P(x > 182) = P(z > 1,67) : tabel C1  P = 0,0475
- Oppervlakte berekenen vanuit een P of Z-waarde
o Met tabel: Oppervlakte waarde voor z zoeken
 Bijv. z = 0,95  gespiegelde waarde: 1-0,095 = 0,05  tabel  z = 1,65

, x−172
z= =1,65 → x=181,9
6
o Met GR: 2nd + distr  3  staart: links, opp. = 0,95, μ=172 , σ=6
- Standaard normale verdeling
o z ~ N(μ=0, σ=1)

Transformaties

- Optellen/aftrekken van onafhankelijke (normaal verdeelde) kansvariabelen
o Optellen van de kansvariabelen x en y
 E(s) = E(x) + E(y)
 √
Optellen varianties: σs2 = σx2 + σy2  σs = σ x 2+ σ y 2
 Variantie: kwadraat van de standaarddeviatie
o Aftrekken van de kansvariabelen x en y
 E(v) = E(x) - E(y)
 √
Aftrekken varianties: σv2 = σx2 + σy2  σv = σ x 2+ σ y 2
- Vermenigvuldigen van een normaal verdeelde kansvariabele met een constante
- De som van een aantal normaal verdeelde variabelen is zelf ook normaal verdeeld (xsom).
o Berekenen van de variantie van xsom  veronderstelling dat xi als onderling
onafhankelijke trekkingen zijn te beschouwen
o Dan is Var(xsom) = n x σ2  σxsom = σ x √ n
o Gebruik dit als het gaat om een getal
- Wortel-n-wet
o Hierbij gaat het om een gemiddelde uit één normale verdeling
o x̅ is zelf een kansvariabele
o Berekenen van x̅ in 2 stappen
1. Bepaal de som (s̅) van de n trekkingen
a. Dus E(s̅) = n ∙ µ ; σs̅2 = n ∙ σ² en σs̅ = √n ∙ σ
1
2. Bepaal het gemiddelde x̅ door s̅ te vermenigvuldigen met
n
1 σ
a. Dus E(x̅) = µ ; σx̅ = √n ∙ σ ∙ =
n √n