LA TECHNOLOGIE :
Partie 1 : Description de la technologie
La technologie transforme les inputs en output.
Exemple :
Pour faire une pizza, on a besoin de farine, four…
Pour faire un vélo, on a besoin de métaux, caoutchouc, travail…
Pour simplifier cette complexité, on simplifie avec une fonction mathématique.
Cette fonction pourra transformer des valeurs de variables indépendantes en valeur
d’une variable dépendante.
On a alors dans la fonction :
- 𝑦 ⇒ la quantité d’output
- 𝑥 ⇒ quantité de chaque inputs
- 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⇒ fonction qui transforme les inputs en output
3 concepts clés :
- Fonction de production : associe les quantités d’inputs avec la quantité la plus élevée
d’output ⇒ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
- L’ensemble 𝑉(ȳ) : l’ensemble des inputs qui produisent au moins la quantité ȳ ⇒
𝑉(ȳ) = {𝑥 : 𝑓(𝑥) ≥ ȳ}
- Isoquant 𝑄(ȳ) : l'ensemble des inputs qui produit parfaitement la quantité ȳ ⇒
𝑄(ȳ) = {𝑥 : 𝑓(𝑥) = ȳ}
, Partie 2 : 3 exemples importants
On étudiera des fonctions à 2 inputs ⇒ 𝑥1 et 𝑥2
On doit trouver :
- 𝑉(ȳ), avec l’inéquation ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ ȳ
- 𝑄(ȳ), avec l’inéquation ⇒ 𝑓(𝑥) = ȳ
2.1 Cobb Douglas
α 1−α
Fonction ⇒ 𝑓(𝑥) = (𝑥1) (𝑥2) , (0 < ⍺ < 1)
−α 1
α 1−α
L’isoquant ⇒ ȳ = (𝑥1) (𝑥2) → 𝑥2 = (𝑥1) 1−α
(ȳ) 1−α
2.2 Leontief
Fonction ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑖𝑛(𝑎1𝑥1, 𝑎2𝑥2), 𝑎𝑖 > 0
Isoquant ⇒ ȳ = 𝑚𝑖𝑛(𝑎1𝑥1, 𝑎2𝑥2) ⇒ si ȳ = 𝑎1𝑥1 ⇒ 𝑥2 ≥ ȳ ÷ 𝑎2 et 𝑥1 = ȳ ÷ 𝑎1
⇒ si ȳ = 𝑎2𝑥2 ⇒ 𝑥1 ≥ ȳ ÷ 𝑎1 et 𝑥2 = ȳ ÷ 𝑎2
- 𝑄(ȳ )𝐿𝐸𝑂 = {𝑥2 ≥ ȳ ÷ 𝑎2 ∧ 𝑥1 = ȳ ÷ 𝑎1} ∪ {𝑥1 ≥ ȳ ÷ 𝑎1 ∧ 𝑥2 = ȳ ÷ 𝑎2}
Partie 1 : Description de la technologie
La technologie transforme les inputs en output.
Exemple :
Pour faire une pizza, on a besoin de farine, four…
Pour faire un vélo, on a besoin de métaux, caoutchouc, travail…
Pour simplifier cette complexité, on simplifie avec une fonction mathématique.
Cette fonction pourra transformer des valeurs de variables indépendantes en valeur
d’une variable dépendante.
On a alors dans la fonction :
- 𝑦 ⇒ la quantité d’output
- 𝑥 ⇒ quantité de chaque inputs
- 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⇒ fonction qui transforme les inputs en output
3 concepts clés :
- Fonction de production : associe les quantités d’inputs avec la quantité la plus élevée
d’output ⇒ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
- L’ensemble 𝑉(ȳ) : l’ensemble des inputs qui produisent au moins la quantité ȳ ⇒
𝑉(ȳ) = {𝑥 : 𝑓(𝑥) ≥ ȳ}
- Isoquant 𝑄(ȳ) : l'ensemble des inputs qui produit parfaitement la quantité ȳ ⇒
𝑄(ȳ) = {𝑥 : 𝑓(𝑥) = ȳ}
, Partie 2 : 3 exemples importants
On étudiera des fonctions à 2 inputs ⇒ 𝑥1 et 𝑥2
On doit trouver :
- 𝑉(ȳ), avec l’inéquation ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ ȳ
- 𝑄(ȳ), avec l’inéquation ⇒ 𝑓(𝑥) = ȳ
2.1 Cobb Douglas
α 1−α
Fonction ⇒ 𝑓(𝑥) = (𝑥1) (𝑥2) , (0 < ⍺ < 1)
−α 1
α 1−α
L’isoquant ⇒ ȳ = (𝑥1) (𝑥2) → 𝑥2 = (𝑥1) 1−α
(ȳ) 1−α
2.2 Leontief
Fonction ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑖𝑛(𝑎1𝑥1, 𝑎2𝑥2), 𝑎𝑖 > 0
Isoquant ⇒ ȳ = 𝑚𝑖𝑛(𝑎1𝑥1, 𝑎2𝑥2) ⇒ si ȳ = 𝑎1𝑥1 ⇒ 𝑥2 ≥ ȳ ÷ 𝑎2 et 𝑥1 = ȳ ÷ 𝑎1
⇒ si ȳ = 𝑎2𝑥2 ⇒ 𝑥1 ≥ ȳ ÷ 𝑎1 et 𝑥2 = ȳ ÷ 𝑎2
- 𝑄(ȳ )𝐿𝐸𝑂 = {𝑥2 ≥ ȳ ÷ 𝑎2 ∧ 𝑥1 = ȳ ÷ 𝑎1} ∪ {𝑥1 ≥ ȳ ÷ 𝑎1 ∧ 𝑥2 = ȳ ÷ 𝑎2}
