Inferencia Estadística Ejercicios Resueltos 4

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación


Control N◦ 2 de Inferencia Estadı́stica
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os

ˆ El tiempo de falla X de un sistema de aire acondicionado sigue una distribución expo-
nencial con densidad dada por
1 1
f (x|θ) = exp{− (x − θ)}, x ≥ θ,
2 2
donde θ > 0.
(a) (25 puntos) Determine una estadı́stica suficiente para θ y su función de densidad
de probabilidad.
f (X|θ) = ( 12 )n exp{− 12 (Xi − θ)}, 0 < θ ≤ Xi ∀i = 1, ..., n.
P


Ahora, 0 < θ ≤ Xi , ∀i = 1, ..., n ⇔ 0 < θ ≤ min(Xi )

Luego, f (X|θ) = ( 21 )n exp{− 12 Xi } × exp{ n2 θ}I(0,min(Xi )] (θ).
P


Considerando g(min(Xi ); θ) = exp{ n2 θ}I(0,min(Xi )] (θ) y h(X) = ( 12 )n exp{− 12 Xi },
P

se obtiene que T = min(Xi ) es una estadı́stica suficiente para θ.
P (T > t) = (P (X > t)n = exp{− n2 (t − θ)} ⇒ fT (t) = − dP (T dt
>t)
, t ≥ θ.
Luego, fT (t) = n2 exp{− n2 (t − θ)}, t ≥ θ.

(b) (10 puntos) A partir de la estadı́stica suficiente para θ, determine una función
pivote para θ.
Sea Y = T − θ, dy = dt, por lo tanto, fY (y) = n2 exp{− n2 t}, t ≥ 0.
Ası́ Y = T − θ es una función pivote para θ.

(c) (25 puntos) Suponga que se observó el vector x = (8, 7, 10, 6, 9), cuyas compo-
nentes están en miles de horas. Determine un intervalo de 95% de confianza para
θ.
Se calculan a y b de manera que Pr{a < Y = T − θ < b} = 1 − α
⇒ Pr{T − b < θ < T − a} = 1 − α. Luego IC(θ; 1 − α) = (T − b, T − a).
Los valores de a y b se obtienen usando la función de densidad de la función pivote
Y , i.e.,
−n n
= α2 , b∞ fY (y)dy = e− 2 b = α2 .
Ra a
0 fY (y)dy = 1 − e
R
2

Usando los datos n = 5, t = min(xi ) = 6, α = 0.05,
a = − n2 log(1 − α2 ) = 0.010, b = − n2 log( α2 ) = 1.476.

Finalmente, IC(θ; 95%) : (6 − 1.476; 6 − 0.010) = (4.524; 5.990).