TN2305 SAMENVATTING
Quantum mechanics
for the minor
TN2305
Samenvatting
Pagina 1 van 15
, TN2305 SAMENVATTING
Inhoudsopgave
Inhoudsopgave 2
Wiskundige hulpmiddelen 3
Hoofdstuk 1 De golffunctie 4
§1.1 Schrödingervergelijking 4
§1.2 Statistische interpretatie (Borninterpretatie) 4
§1.3&1.4 Kansen & Normaliseren 4
§1.5 Verwachtingswaarde van x en p 5
§1.6 Het Onzekerheidsprincipe 5
Hoofdstuk 2 Potentialen 5
§2.1 Stationaire staten 5
§2.2 Deeltje in een doosje (infinite square well) 6
§2.4 Het vrije deeltje 7
§2.5 Piecewise constant potential 7
§2.6 Finite square well/barrier 9
Double delta potential (opdracht 2.27) 11
Hoofdstuk 3 Operatoren 12
§3.1 & §3.6 Golffuncties 12
§3.1 & §3.2 Operatoren 12
§3.3 Eigenfuncties van hermitische operatoren 12
§3.4 Statistische interpretatie 13
§3.5 Onzekerheidsprincipe 13
§2.3 Harmonische Oscillator 14
Pagina 2 van 15
, TN2305 SAMENVATTING
Wiskundige hulpmiddelen
Goniometrische identiteiten
sin 2 ( x ) = (1− cos ( 2x ))
1
2
cos 2 ( x ) = (1+ cos ( 2x ))
1
2
Even en oneven functies
Als de potentiaal symmetrisch is (bijvoorbeeld cosinus) dan kan je los kijken voor de even
en oneven oplossingen en deze vervolgens combineren.
Pagina 3 van 15
, TN2305 SAMENVATTING
Hoofdstuk 1 De golffunctie
§1.1 Schrödingervergelijking
De Schrödingervergelijking (SV) is een postulaat (en kan daarom niet afgeleid worden). De
∂Ψ ! 2 ∂2 Ψ h
SV luidt: i! =− + VΨ met i = −1 , ! = , Ψ ( x,t ) de golffunctie, m de massa
∂t 2m ∂x 2
2π
en V de potentiaal.
Vaak wordt alleen de tijdsonafhankelijke golffunctie Ψ ( x,0 ) = ψ ( x ) beschouwd.
§1.2 Statistische interpretatie (Borninterpretatie)
Een golffunctie is een functie van de plaats. Dit betekent dat de kans om een deeltje op een
bepaalde plaats aan te treffen 0 is. Je kan echter de kans bepalen dat een deeltje zich binnen een
bepaald gebied bevindt door: P ( a,b,t ) = Ψ ( x,t ) dx met Ψ = ΨΨ ∗ . Dit maakt de
b
∫
2 2
a
kwantummechanica probabilistisch ipv de deterministische klassieke fysica.
Deze kansverdeling geldt alleen voordat je een meting uitvoert aan een identiek systeem. Na een
meting is het systeem deterministisch worden en vindt je het deeltje altijd weer in hetzelfde punt.
Dit is de zgn. ‘collapse of the wavefunction’. Dit wordt veroorzaakt doordat het doen van een
meting het systeem beïnvloedt.
Dubbel-spleetexperiment
Bij het dubbel-spleetexperiment van Young is er sprake van 2 spleten waar deeltjes, golven en
kwantumdeeltjes op af gestuurd worden en waarvan de plek wordt gemeten op een scherm. Bij
deeltjes werken de spleten onafhankelijk van elkaar en volgen alle deeltjes een eigen traject en
zijn ze ten alle tijden te lokaliseren.
Bij golven heb je bij 2 spleten te maken met een interferentiepatroon waardoor de totale distributie
niet meer de som is van de 2 losse distributies. Golven kunnen ook niet op elk moment
gelokaliseerd worden. Bij kwantumdeeltjes geldt dat er op het scherm een interferentiepatroon
ontstaat maar dat er wel sprake is van een gelokaliseerd traject omdat je elk kwantumdeeltje los
h
kan waarnemen. Om deze golf- en deeltjeseigenschappen te combineren is er sprake van λ = .
p
§1.3&1.4 Kansen & Normaliseren
Nj
De kans op een discrete waarde N j wordt gegeven door: Pj = .
∑N k
k
∫ ρ ( x ) dx met ρ de probability
b
De kans voor een continue variabele wordt gegeven door: Pab =
a
density, gegeven door: ρ = Ψ = ΨΨ . ∗
2
Om ervoor te zorgen dat de kansen wiskundig zinvol zijn wordt gebruik gemaakt van de
∞
∑ P = 1 en ∫ Ψ ( x,t ) dx = 1 . Dit heeft tot gevolg dat voor een goede golffunctie
2
normalisaties: j
−∞
j
geldt: lim Ψ ( x,t ) = 0 .
x→±∞
Verwachtingswaarde en deviatie
∑ jN j
Discrete variabele: j = = ∑ jPj σ 2 = j2 − j
j 2
N j
Pagina 4 van 15
Quantum mechanics
for the minor
TN2305
Samenvatting
Pagina 1 van 15
, TN2305 SAMENVATTING
Inhoudsopgave
Inhoudsopgave 2
Wiskundige hulpmiddelen 3
Hoofdstuk 1 De golffunctie 4
§1.1 Schrödingervergelijking 4
§1.2 Statistische interpretatie (Borninterpretatie) 4
§1.3&1.4 Kansen & Normaliseren 4
§1.5 Verwachtingswaarde van x en p 5
§1.6 Het Onzekerheidsprincipe 5
Hoofdstuk 2 Potentialen 5
§2.1 Stationaire staten 5
§2.2 Deeltje in een doosje (infinite square well) 6
§2.4 Het vrije deeltje 7
§2.5 Piecewise constant potential 7
§2.6 Finite square well/barrier 9
Double delta potential (opdracht 2.27) 11
Hoofdstuk 3 Operatoren 12
§3.1 & §3.6 Golffuncties 12
§3.1 & §3.2 Operatoren 12
§3.3 Eigenfuncties van hermitische operatoren 12
§3.4 Statistische interpretatie 13
§3.5 Onzekerheidsprincipe 13
§2.3 Harmonische Oscillator 14
Pagina 2 van 15
, TN2305 SAMENVATTING
Wiskundige hulpmiddelen
Goniometrische identiteiten
sin 2 ( x ) = (1− cos ( 2x ))
1
2
cos 2 ( x ) = (1+ cos ( 2x ))
1
2
Even en oneven functies
Als de potentiaal symmetrisch is (bijvoorbeeld cosinus) dan kan je los kijken voor de even
en oneven oplossingen en deze vervolgens combineren.
Pagina 3 van 15
, TN2305 SAMENVATTING
Hoofdstuk 1 De golffunctie
§1.1 Schrödingervergelijking
De Schrödingervergelijking (SV) is een postulaat (en kan daarom niet afgeleid worden). De
∂Ψ ! 2 ∂2 Ψ h
SV luidt: i! =− + VΨ met i = −1 , ! = , Ψ ( x,t ) de golffunctie, m de massa
∂t 2m ∂x 2
2π
en V de potentiaal.
Vaak wordt alleen de tijdsonafhankelijke golffunctie Ψ ( x,0 ) = ψ ( x ) beschouwd.
§1.2 Statistische interpretatie (Borninterpretatie)
Een golffunctie is een functie van de plaats. Dit betekent dat de kans om een deeltje op een
bepaalde plaats aan te treffen 0 is. Je kan echter de kans bepalen dat een deeltje zich binnen een
bepaald gebied bevindt door: P ( a,b,t ) = Ψ ( x,t ) dx met Ψ = ΨΨ ∗ . Dit maakt de
b
∫
2 2
a
kwantummechanica probabilistisch ipv de deterministische klassieke fysica.
Deze kansverdeling geldt alleen voordat je een meting uitvoert aan een identiek systeem. Na een
meting is het systeem deterministisch worden en vindt je het deeltje altijd weer in hetzelfde punt.
Dit is de zgn. ‘collapse of the wavefunction’. Dit wordt veroorzaakt doordat het doen van een
meting het systeem beïnvloedt.
Dubbel-spleetexperiment
Bij het dubbel-spleetexperiment van Young is er sprake van 2 spleten waar deeltjes, golven en
kwantumdeeltjes op af gestuurd worden en waarvan de plek wordt gemeten op een scherm. Bij
deeltjes werken de spleten onafhankelijk van elkaar en volgen alle deeltjes een eigen traject en
zijn ze ten alle tijden te lokaliseren.
Bij golven heb je bij 2 spleten te maken met een interferentiepatroon waardoor de totale distributie
niet meer de som is van de 2 losse distributies. Golven kunnen ook niet op elk moment
gelokaliseerd worden. Bij kwantumdeeltjes geldt dat er op het scherm een interferentiepatroon
ontstaat maar dat er wel sprake is van een gelokaliseerd traject omdat je elk kwantumdeeltje los
h
kan waarnemen. Om deze golf- en deeltjeseigenschappen te combineren is er sprake van λ = .
p
§1.3&1.4 Kansen & Normaliseren
Nj
De kans op een discrete waarde N j wordt gegeven door: Pj = .
∑N k
k
∫ ρ ( x ) dx met ρ de probability
b
De kans voor een continue variabele wordt gegeven door: Pab =
a
density, gegeven door: ρ = Ψ = ΨΨ . ∗
2
Om ervoor te zorgen dat de kansen wiskundig zinvol zijn wordt gebruik gemaakt van de
∞
∑ P = 1 en ∫ Ψ ( x,t ) dx = 1 . Dit heeft tot gevolg dat voor een goede golffunctie
2
normalisaties: j
−∞
j
geldt: lim Ψ ( x,t ) = 0 .
x→±∞
Verwachtingswaarde en deviatie
∑ jN j
Discrete variabele: j = = ∑ jPj σ 2 = j2 − j
j 2
N j
Pagina 4 van 15
