Samenvatting analyse 1a2

Hoofdstuk 6 gebroken functies

6.1 Inleiding

❑
Bij een gebroken functie komt de ‘x’ in de noemer van een breuk voor.
x
x≠0


1
De meest eenvoudige gebroken functie is f ( x )=
x
De grafiek van deze functie is een hyperbool. De grafiek bestaat uit
twee losse delen, de takken van de hyperbool.



Kenmerken van deze functie zijn:

- De grafiek van f is monotoon dalend.
- Horizontale asymptoot: x-as.
- Verticale asymptoot: y-as.
- Df =R ∖ { 0 }
- Bf =R ∖ { 0 }


1
Als je bij f ( x )=
voor de x een steeds groter getal invult (nadert tot oneindig ∞ ), komt de
x
functiewaarde steeds dichterbij y=0 (nadert tot y=0), maar wordt niet gelijk aan y=0.

We noemen dit asymptotisch gedrag.

De lijn y=0(x-as) is de horizontale asymptoot van de grafiek f .

Dit geldt ook als je voor x een steeds kleiner getal invult (nadert tot min oneindig ∞ ).

De functie f kan elke waarde aannemen behalve y=0, dus Bf =R ∖ { 0 }



Als je voor de x positieve getallen invult die steeds dichter bij nul liggen (nadert tot x=0 ), wordt de
functiewaarde steeds groter (nadert tot oneindig ∞ )

De lijn x=0 (y-as) is de verticale asymptoot van de grafiek f .

Op gelijke wijze geldt dat als je voor x negatieve getallen invult die steeds dichter bij nul liggen dat
de functiewaarde steeds kleiner wordt (nadert tot min oneindig ∞ ).

Voor variabele x mag elk getal worden ingevuld behalve x=0 , dus D f =R ∖ { 0 }

, 1
De functie f ( x )= wordt ook wel een standaardfunctie genoemd. Met deze functie is het mogelijk
x
om andere (lineaire) gebroken functies te maken door translaties en transformaties.

Door de grafiek van f

- Verticaal te vermenigvuldigen met factor u
- Horizontaal te verschuiven met v eenheden
- Verticaal te verschuiven met w eenheden

u
Ontstaat de grafiek van de functie g ( x )= +w
x −v
De asymptoten van g zijn x=v en y=w




Voorbeeld:

1
De grafiek f ( x )= wordt
x
- Met 5 eenheden naar rechts verschoven
- Verticaal vermenigvuldigd met factor 2
- Omhoog geschoven met 7 eenheden

Stel het nieuwe functievoorschift op van de grafiek:



2
g ( x )= +7
x −5


Geef de asymptoten van de beeldgrafiek.

Horizontale asymptoot: y=7

Verticale asymptoot: x=5




Een vergelijking van een verticale asymptoot van een gebroken
functie kan worden bepaald door de noemer gelijk te stellen aan nul.

, 1
In de afbeelding hiernaast is de grafiek getekend van y= 2
x −9
De oplossing van de vergelijking:

x 2−9=0
x 2=9
x=√ 9
x=3 ∨ x=−3
De grafiek heeft dus twee verticale asymptoten x=3 en x=−3



1
De horizontale asymptoot van y= 2 is y=0
x −9


Opmerking

De asymptoten maken geen deel uit van de grafiek, de functie zal de waarde van een asymptoot
immers nooit bereiken. Asymptoten worden bij het tekenen van de grafiek van een functie meestal
als stippenlijn weergegeven.