Exámenes de cálculo

E.E. Telecomunicación
Depto de Matemática Aplicada II

Matemáticas: Cálculo I
10 de enero de 2018


APELLIDOS, NOMBRE, DNI:



GRUPO:

Evaluación continua: preguntas 4, 5 y 6.
Evaluación no continua: todas las preguntas.



1. Razona la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

e−x
a) La función f (x) = tiene dos extremos relativos.
x2
b) Sea f (x) = ln(x − 2) y sea p(x) su polinomio de Taylor de grado 3 centrado en x0 = 3.
Entonces p(7/2) = 5/12.
c) La función f (x) = 2x + (3x + 1)1/3 no tiene puntos de inflexión.
(2, 25 = 3 x 0.75 ptos. apartado)
2. Sea Ω la región de R3 dada por

Ω = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ; x2 + y 2 ≥ 1 − z ; x > 0 ; y > 0 ; z > 0}

a) Representa gráficamente Ω.
b) Expresa Ω en coordenadas cilı́ndricas.

(1, 25 ptos.)

3. Sea f : R2 → R definida por

x3 cos(y − 2)

si (x, y) 6= (0, 2)


x2 + (y − 2)2

f (x, y) =


0 si (x, y) = (0, 2)


a) Calcula D1 f (0, 2) y D2 f (0, 2).
b) Calcula D11 f (0, 2).

(1, 5 ptos.)

, 4. Sea f un campo escalar en R3 diferenciable. Se define F : R2 → R3 como

F (x, y) = (exy + y, xy 2 + 3x, f (y, 2x + y, x)).

a) Calcula DF (x, y) para todo (x, y) ∈ R2 .
~ (2, 2, 0) = (1, 3, 2), calcula la derivada de F en (0, 2) según el vector
b) Sabiendo que ∇f
u = (1, 1).

(1, 5 ptos.)

5. Sea F : R3 → R3 definida por:

F (x, y, z) = (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z)) = (xexy +z 2 , cos(xz +y), x2 +yz +sen(xz +y)).

~ ( π , 0, 1).
Calcula divF ( π2 , 0, 1) y rotF 2


(1 pto.)

6. Sea f : R2 → R definida por f (x, y) = x2 + y 2 − xy + 3.

a) Calcula los extremos relativos de f y clasifı́calos.
b) Utilizando multiplicadores de Lagrange, calcula y clasifica los extremos relativos de f condi-
cionados por x2 + y 2 = 4 tales que x > 0.

(2, 5 ptos.)