EJERCICIOS DEL TEMA-3 DERIVADAS
1−cos(𝑥)
1. Demuestra que la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (√1+cos(𝑥)), con 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, es una constante.
𝑚𝑥 2 +1
2. Calcula el valor de “m” para que la derivada de la función 𝑓(𝑥) = en x = ½ valga 1.
2𝑥+𝑚
3. Considera la curva de ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑘 ⋅ 𝑥 − 18.
a) ¿Cuánto debe valer "k" si las tangentes en los puntos A (1, f(1)) y B (-2, f(-2)) son paralelas?
b) Determina las ecuaciones de ambas tangentes.
4. Halla el ángulo que forman las rectas tangentes a las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 en
el punto x = 2
1
5. Halla los puntos de la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 4 en los que la recta tangente a ésta pase por el punto
4
(0,-8). Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes.
6. Considera la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑝𝑥, siendo p un cierto número real. Escribe, en función de p, la
ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x = 1. Determina después p en cada
uno de los siguientes casos:
1) Que la recta tangente pase por el punto (2,0).
2) Que la recta tangente sea paralela a la recta y = - x + 3.
7. Halla los puntos de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 en los que la recta tangente forma un ángulo de
𝜋
𝑟𝑎𝑑 con el eje de abscisas.
4
¿Hay algún punto de la curva en el que la recta sea horizontal?
1+𝑥
8. Demuestra que existe un punto de la curva 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) en el que la tangente a esa curva es
1−𝑥
paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
2𝑥
9. Halla las tangentes a la curva 𝑓(𝑥) = paralelas a la recta 2x + y = 0.
𝑥−1
10. Halla los valores de las constantes a, b y c para que las gráficas de las funciones:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏, 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑐
pasen por el punto (1, 2) y tengan en él la misma tangente.
𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑖𝑥 ≤ 0
11. Halla “a” y “b” para que la función 𝑓(𝑥) = { sea derivable en R.
−𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑥 > 0
12. Calcula los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función f sea derivable en x = 1.
𝑎𝑥 2 + 𝑐𝑠𝑖𝑥 ≤ 1
𝑓(𝑥) = {
𝑙𝑛(𝑥) 𝑠𝑖𝑥 > 1
Da, en este caso la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 1.
−1𝑠𝑖𝑥 = 0
2𝑥(𝑥−3)
13. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 −9 𝑠𝑖𝑥 ≠ 0, 3
1𝑠𝑖𝑥 = 3
1−cos(𝑥)
1. Demuestra que la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (√1+cos(𝑥)), con 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, es una constante.
𝑚𝑥 2 +1
2. Calcula el valor de “m” para que la derivada de la función 𝑓(𝑥) = en x = ½ valga 1.
2𝑥+𝑚
3. Considera la curva de ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑘 ⋅ 𝑥 − 18.
a) ¿Cuánto debe valer "k" si las tangentes en los puntos A (1, f(1)) y B (-2, f(-2)) son paralelas?
b) Determina las ecuaciones de ambas tangentes.
4. Halla el ángulo que forman las rectas tangentes a las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 en
el punto x = 2
1
5. Halla los puntos de la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 4 en los que la recta tangente a ésta pase por el punto
4
(0,-8). Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes.
6. Considera la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑝𝑥, siendo p un cierto número real. Escribe, en función de p, la
ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x = 1. Determina después p en cada
uno de los siguientes casos:
1) Que la recta tangente pase por el punto (2,0).
2) Que la recta tangente sea paralela a la recta y = - x + 3.
7. Halla los puntos de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 en los que la recta tangente forma un ángulo de
𝜋
𝑟𝑎𝑑 con el eje de abscisas.
4
¿Hay algún punto de la curva en el que la recta sea horizontal?
1+𝑥
8. Demuestra que existe un punto de la curva 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) en el que la tangente a esa curva es
1−𝑥
paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
2𝑥
9. Halla las tangentes a la curva 𝑓(𝑥) = paralelas a la recta 2x + y = 0.
𝑥−1
10. Halla los valores de las constantes a, b y c para que las gráficas de las funciones:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏, 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑐
pasen por el punto (1, 2) y tengan en él la misma tangente.
𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑖𝑥 ≤ 0
11. Halla “a” y “b” para que la función 𝑓(𝑥) = { sea derivable en R.
−𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑥 > 0
12. Calcula los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función f sea derivable en x = 1.
𝑎𝑥 2 + 𝑐𝑠𝑖𝑥 ≤ 1
𝑓(𝑥) = {
𝑙𝑛(𝑥) 𝑠𝑖𝑥 > 1
Da, en este caso la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 1.
−1𝑠𝑖𝑥 = 0
2𝑥(𝑥−3)
13. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 −9 𝑠𝑖𝑥 ≠ 0, 3
1𝑠𝑖𝑥 = 3
