Tema-8 MATRICES 2ºBACH

TEMA-8 MATRICES
1. DEFINICIÓN. GENERALIDADES.
1.1 DEFINICIÓN.

❑ Se llama matriz A de orden m x n al conjunto de “m · n” números reales dispuestos de
forma rectangular en m filas y en n columnas, que representaremos como

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝐴 = ( …21 𝑎…22 𝑎…
𝑎 23 … 𝑎2𝑛 )
… …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛
dónde los aij  R y los subíndices representan la posición de cada elemento
i representa la fila en la que está situado el elemento
j representa la columna en la que está situado el elemento

➢ A veces a la matriz A se la denota por 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑖=1,2,…,𝑚 = (𝑎𝑖𝑗 )
𝑗=1,2,…,𝑛
Si la dimensión de la matriz queda clara por el contexto, la notación se simplifica A = aij ( )

❑ Denotamos por Mm x n (R) al conjunto de las matrices de números reales de orden
m x n.

➢ A las matrices se las denota siempre por letras mayúsculas y a los elementos por letras
minúsculas.
0 𝑠𝑖 𝑖=𝑗
Ejemplo 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝑖=1,2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑗 = { 1 𝑠𝑖 𝑖<𝑗
𝑗=1,2,3, −1 𝑠𝑖 𝑖>𝑗
A es de orden 2x3



❑ Decimos que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos
que ocupan el mismo lugar son iguales.

𝑆𝑒𝑎𝑛 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑖=1,2,…,𝑚 𝑦 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑖=1,2,…,𝑝
𝑗=1,2,…,𝑛 𝑗=1,2,…,𝑞
𝐴=𝐵 ⇔ 𝑚 = 𝑝, 𝑛 = 𝑞 𝑦 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ∀ 𝑖, 𝑗



1.2 TIPOS DE MATRICES.

❑ Se llama matriz rectangular a la matriz que tiene distinto número de columnas que de
filas.
1 2 1 0 0 −1
1 0 4
Ejemplo 𝐴=( ) 𝐵 = (3 4) 𝐶=( 3 4 0 2 )
−5 2 −1
5 6 −1 0 1 0

A es de orden 2x3 B es de orden 3x2 C es de orden 3x4

- 1 –TEORÍA DE MATRICES

,❑ Se llama matriz nula a aquella matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero, se
representa por O.
0 0 0 0 0
aij = 0 i, j 𝑂2𝑥3 = ( ) 𝑂2 = ( )
0 0 0 0 0

❑ Se llama matriz fila a aquella matriz de dimensión 1 x n. 𝐴 = (𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 )

Ejemplo 𝐴1𝑥2 = (1 −1) 𝐵1𝑥3 = (0 2 −4)
𝑎11
𝑎21
❑ Se llama matriz columna a aquella matriz de dimensión m x 1. 𝐴 = 𝑎31
…
(𝑎𝑚1 )
0
1
Ejemplo 𝐴2𝑥1 = ( ) 𝐵3𝑥1 = ( 5 )
2
−6


1.3. MATRICES CUADRADAS.

❑ Se llama matriz cuadrada de orden “n” a la matriz que tiene igual número de columnas
que de filas.
0 0 1
1 0
Ejemplo 𝐴 = ( ) 𝐵 = (3 9 −5)
2 4
1 0 7
A es de orden 2 B es de orden 3


❑ Al conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n se le representa por Mn(R).

❑ Dada una matriz cuadrada, se llama diagonal principal a la formada por los elementos que
se encuentran en la línea que va del vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho.
Los elementos que la componen tienen los subíndices iguales (i = j)

❑ Dada una matriz cuadrada, se llama diagonal secundaria a la formada por los elementos
que se encuentran en la línea que va del vértice inferior izquierdo al vértice superior
derecho. Si la matriz es de orden n, los subíndices de los elementos que la componen
verifican que n + 1 = i + j.

❑ Dada una matriz cuadrada, se llama matriz diagonal si los elementos que no están en la
diagonal principal son cero.
aij = 0  i  j
2 0 0
3 0
Ejemplo 𝐴2𝑥2 = ( ) 𝐵3𝑥3 = (0 6 0 )
0 −2
0 0 −8
❑ Dada una matriz cuadrada, se llama matriz escalar a una matriz diagonal en la que todos
los elementos de la diagonal principal son iguales.

𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 𝑦 𝑎11 = 𝑎22 = ⋯ = 𝑎𝑛𝑛
2 0 0
5 0)
Ejemplo 𝐴2𝑥2 = ( 𝐵3𝑥3 = (0 2 0)
0 5
0 0 2
- 2 –TEORÍA DE MATRICES

, ❑ Se llama matriz unidad o identidad a la matriz escalar en la que los elementos de la
diagonal principal son unos.
1 0 0
1 0
Ejemplo 𝐼2 = ( ) 𝐼3 = (0 1 0)
0 1
0 0 1

❑ Dada una matriz cuadrada, se llama matriz triangular superior si todos los elementos que
están por debajo de la diagonal principal son cero.

aij = 0  i  j
2 1 −3
2 1
Ejemplo 𝐴2𝑥2 = ( ) 𝐵3𝑥3 = (0 4 5)
0 3
0 0 3

❑ Dada una matriz cuadrada, se llama matriz triangular inferior si todos los elementos que
están por encima de la diagonal principal son cero.

aij = 0  i  j
2 0 0
2 0
Ejemplo 𝐴2𝑥2 = ( ) 𝐵3𝑥3 = (−1 4 0)
5 3
4 2 3

❑ Dada la matriz A, se llama matriz opuesta de A, – A, a aquella cuyos elementos son los
opuestos de los correspondientes de la matriz inicial.

𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ⇒ −𝐴 = (−𝑎𝑖𝑗 )

1 −2 5 −1 2 −5
Ejemplo 𝐴2𝑥3 = ( ) 𝑜𝑝(𝐴) = −𝐴 = ( )
−4 0 −3 4 0 3

❑ Dada la matriz A de orden m x n, se llama matriz traspuesta de A a la matriz de orden
n x m que resulta de cambiar en A las filas por las columnas y se representa por
A t = t A = A .
( At ) t = A
1 −4
1 3 7
Ejemplo 𝐴2𝑥3 =( ) 𝐴𝑡3𝑥2 = (3 0 )
−4 0 5
7 5
1 2 3 1 4 7
𝐵3 = (4 5 6) 𝐵3𝑡 = (2 5 8)
7 8 9 3 6 9

❑ Una matriz cuadrada es simétrica cuando coincide con su traspuesta, A = At , es decir, si

𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ∀ 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛
1 2 3
𝐵3 = (2 5 6)
3 6 9



3 4
𝐴2 = ( )
4 3
- 3 –TEORÍA DE MATRICES