Tema-8 MATEMÁTICAS 1ºBACH

TEMA-8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y
RAMAS INFINITAS

1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO.
1.1. LÍMITE CUANDO x→+.

❑ Una función f(x) tiene límite L al tender x a + , cuando podemos hacer f(x) tan próximo
a L como queramos, siempre que x sea suficientemente grande, es decir,

lim f (x ) = L    0 K 0 / x  K  f (x ) − L  
x →+


➢ La función f tiene por límite L al tender x a + 
L y

si y sólo si para cualquier número real positivo ,
por pequeño que sea, existe un número K, x
suficientemente grande, tal que para todo
número x mayor que K se verifica que, la
distancia entre f(x) y L se hace tan pequeña
como hemos fijado.

Ejemplo 8
y



Los valores de la función se aproximan a 3. lim f (x ) = 3
7
6
x → + 5
4
3
2
1
x

-1
-2
-3
-4
-5
-6


Ejemplo
Aunque las imágenes oscilan, las oscilaciones son cada vez más pequeñas. lim f (x ) = 3
x → +

y
7
6
5
4
3
2
1
x


Ejemplo
Los valores de la función oscilan separándose considerablemente de cualquier valor fijo, por lo tanto,
no existe lim f (x ) = 3
x → + y
4

3

2

1
x




- 1 –TEORÍA DE LÍMITES. DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

,❑ Una función tiene como límite +  en +  cuando podemos hacer f(x) tan grande como
queramos, siempre que x sea suficientemente grande.

lim f (x ) = +  K  0  H  0/ xH  f (x )  K
x →+


❑ Una función tiene como límite +  en +  y

si y sólo si para un número real positivo K, tan
grande como queramos, se verifica que el
valor de la función es mayor que el número x
prefijado K para valores de x
suficientemente grandes.



Ejemplo
Aunque de trecho en trecho los valores de la función crecen hay valores intermedios en los que queda
por debajo, por lo tanto, no existe lim f (x ) .
x →+
y




x




Ejemplo
lim f (x ) = +
y
Los valores de la función crecen indefinidamente.
x →+




x




Ejemplo
Aunque oscilando, los valores de la función crecen más y más, superando cualquier valor prefijado.
lim f (x ) = + y
x →+




x




- 2 –TEORÍA DE LÍMITES. DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

,❑ Una función tiene como límite -  en +  cuando podemos hacer f(x) tan pequeño como
queramos, siempre que x sea suficientemente grande.

lim f (x ) = −  K  0  H  0/ xH  f (x )  K
x →+



❑ Una función tiene como límite -  en +  si y sólo si para un número real negativo K, tan
pequeño como queramos, se verifica que el valor de la función es menor que el número
prefijado K para valores de x suficientemente grandes.
Ejemplo y x
lim f (x ) = −
x →+




Ejemplo
Los valores de las imágenes decrecen indefinidamente lim f (x ) = −
x →+
x
y




Ejemplo
Aunque oscilando, los valores de la función decrecen globalmente, quedando por debajo de cualquier
valor prefijado, por lo tanto lim f (x ) = −
x →+


y x




- 3 –TEORÍA DE LÍMITES. DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

, 1.2. LÍMITE CUANDO x→- .

❑ Una función f(x) tiene límite L al tender x a - , cuando podemos hacer f(x) tan próximo
a L como queramos, siempre que x sea suficientemente pequeño, es decir,

lim f (x ) = L    0  H  0/ x  H  f (x ) − L  
x →−


➢ La función f tiene por límite L al tender x a -  si y sólo y


si para cualquier número real positivo , por pequeño que
sea, existe un número H, suficientemente pequeño, tal
que para todo número x menor que H se verifica que, la
distancia entre f(x) y L se hace tan pequeña como hemos
x
fijado.

Ejemplo
10 y
lim f ( x ) = 2
x → − 8
6
4
2
x

-2




❑ Una función tiene como límite +  en -  cuando podemos hacer f(x) tan grande como
queramos, siempre que x sea suficientemente pequeño.
y
lim f (x ) = +  K  0  H  0/ xH  f (x )  K
x →−


❑ Una función tiene como límite +  en -  si y sólo si para un número
real positivo K, tan grande como queramos, se verifica que el valor de la
función es mayor que el número prefijado K para valores de x
suficientemente pequeño.
x
Ejemplo

No existe lim f ( x ) y
x→ −




x




- 4 –TEORÍA DE LÍMITES. DE FUNCIONES. CONTINUIDAD