TEMA-3 TRIGONOMETRÍA
❑ La Trigonometría estudia los triángulos, determinando el valor de sus ángulos y sus lados, es
decir, estudia la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo y las amplitudes de
sus ángulos.
0. SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS.
0.1. SISTEMA SEXAGESIMAL. (DEG)
❑ Un grado sexagesimal es el ángulo central asociado a un arco que
mide la trescientas sesentava parte de la longitud de la
circunferencia.
𝟏𝒐 = 𝟔𝟎′
𝟏′ = 𝟔𝟎′′
𝟏𝒐 = 𝟑. 𝟔𝟎𝟎′′
0.2. SISTEMA CENTESIMAL. (GRAD)
❑ Un grado centesimal es el ángulo central asociado a un arco que
mide la cuatrocientasava parte de la longitud de la
circunferencia.
𝟏𝒈 = 𝟏𝟎𝟎𝒎
𝟏𝒎 = 𝟏𝟎𝟎𝒔
𝟏𝒈 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒔
0.3. SISTEMA DE MEDIDA EN RADIANES. (RAD)
❑ El radián es el ángulo central asociado a un arco de longitud igual
al radio de la circunferencia.
➢ La longitud de la circunferencia es 2𝜋𝑟, por lo tanto, el ángulo
central correspondiente a una circunferencia completa medido en
radianes es de 2𝜋.
➢ Podemos establecer las siguientes equivalencias 360𝑜 ≅ 400 𝑔 ≅ 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
-1- TEORÍA TRIGONOMETRÍA
,0.4. RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS.
1) Conversión del sistema sexagesimal al sistema centesimal y viceversa.
400 𝑔 𝑜
𝑥 = ⋅𝑎
𝑎𝑜 𝑥𝑔 360𝑜
= ⇒
360𝑜 400 𝑔 360𝑜 𝑔
𝑎= ⋅𝑥
{ 400 𝑔
2) Conversión del sistema en radianes al sistema centesimal y viceversa.
400 𝑔
𝑥 = ⋅ 𝑎 𝑟𝑎𝑑
𝑎 𝑟𝑎𝑑 𝑥𝑔 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
= ⇒
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 400 𝑔 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑔
𝑎= ⋅𝑥
{ 400 𝑔
3) Conversión del sistema sexagesimal al sistema en radianes y viceversa.
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑜
𝑥 = ⋅𝑎
𝑎𝑜 𝑥 𝑟𝑎𝑑 360𝑜
= ⇒
360𝑜 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 360𝑜
𝑎= ⋅𝑥
{ 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
Ejemplo Expresa en radianes 45o
𝜋
Ejemplo Expresa en grados sexagesimales 𝑟𝑎𝑑
6
-2- TEORÍA TRIGONOMETRÍA
, 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.
1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.
❑ Las razones trigonométricas se utilizan para medir un ángulo de forma indirecta.
➢ Sea un triángulo rectángulo con el ángulo agudo opuesto al ángulo recto.
❑ Se llama seno de a la razón de la longitud del cateto opuesto al ángulo y la de la
hipotenusa.
𝑃𝑄 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑠𝑒𝑛(𝛼) = =
𝑂𝑃 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
❑ Se llama coseno de a la razón de la longitud del cateto contiguo o adyacente al ángulo y la
de la hipotenusa.
𝑂𝑄 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
𝑐𝑜𝑠(𝛼) = =
𝑂𝑃 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
❑ Se llama tangente de a la razón de la longitud del cateto opuesto al ángulo y la del cateto
contiguo.
𝑃𝑄 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑡𝑔(𝛼) = =
𝑂𝑄 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
1
❑ Se llama cosecante de al inverso del seno de . 𝑐𝑜𝑠 𝑒 𝑐(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
1
❑ Se llama secante de al inverso del coseno de . 𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼)
1
❑ Se llama cotangente de a la inversa de la tangente de . 𝑐𝑜𝑡 𝑔 (𝛼) = 𝑡𝑔(𝛼)
❑ Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homogéneos iguales y los lados
proporcionales.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE DOS TRIÁNGULOS
➢ Dos triángulos son semejantes si verifican que:
1) Tienen los tres lados proporcionales.
2) Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
3) Tienen dos ángulos iguales.
➢ Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son independientes del triángulo rectángulo
elegido.
̅̅̅̅
𝑃𝑄 ̅̅̅̅̅̅̅
𝑃′ 𝑄′ ̅̅̅̅
𝑂𝑄 ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑄′ ̅̅̅̅
𝑃𝑄 ̅̅̅̅̅̅̅
𝑃′ 𝑄′
̅̅̅̅
= ̅̅̅̅̅̅ = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) ̅̅̅̅
= ̅̅̅̅̅̅′ = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ̅̅̅̅
= ̅̅̅̅̅̅ = 𝑡𝑔(𝛼)
𝑂𝑃 𝑂𝑃′ 𝑂𝑃 𝑂𝑃 𝑂𝑄 𝑂𝑄′
-3- TEORÍA TRIGONOMETRÍA
❑ La Trigonometría estudia los triángulos, determinando el valor de sus ángulos y sus lados, es
decir, estudia la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo y las amplitudes de
sus ángulos.
0. SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS.
0.1. SISTEMA SEXAGESIMAL. (DEG)
❑ Un grado sexagesimal es el ángulo central asociado a un arco que
mide la trescientas sesentava parte de la longitud de la
circunferencia.
𝟏𝒐 = 𝟔𝟎′
𝟏′ = 𝟔𝟎′′
𝟏𝒐 = 𝟑. 𝟔𝟎𝟎′′
0.2. SISTEMA CENTESIMAL. (GRAD)
❑ Un grado centesimal es el ángulo central asociado a un arco que
mide la cuatrocientasava parte de la longitud de la
circunferencia.
𝟏𝒈 = 𝟏𝟎𝟎𝒎
𝟏𝒎 = 𝟏𝟎𝟎𝒔
𝟏𝒈 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒔
0.3. SISTEMA DE MEDIDA EN RADIANES. (RAD)
❑ El radián es el ángulo central asociado a un arco de longitud igual
al radio de la circunferencia.
➢ La longitud de la circunferencia es 2𝜋𝑟, por lo tanto, el ángulo
central correspondiente a una circunferencia completa medido en
radianes es de 2𝜋.
➢ Podemos establecer las siguientes equivalencias 360𝑜 ≅ 400 𝑔 ≅ 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
-1- TEORÍA TRIGONOMETRÍA
,0.4. RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS.
1) Conversión del sistema sexagesimal al sistema centesimal y viceversa.
400 𝑔 𝑜
𝑥 = ⋅𝑎
𝑎𝑜 𝑥𝑔 360𝑜
= ⇒
360𝑜 400 𝑔 360𝑜 𝑔
𝑎= ⋅𝑥
{ 400 𝑔
2) Conversión del sistema en radianes al sistema centesimal y viceversa.
400 𝑔
𝑥 = ⋅ 𝑎 𝑟𝑎𝑑
𝑎 𝑟𝑎𝑑 𝑥𝑔 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
= ⇒
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 400 𝑔 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑔
𝑎= ⋅𝑥
{ 400 𝑔
3) Conversión del sistema sexagesimal al sistema en radianes y viceversa.
2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑜
𝑥 = ⋅𝑎
𝑎𝑜 𝑥 𝑟𝑎𝑑 360𝑜
= ⇒
360𝑜 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 360𝑜
𝑎= ⋅𝑥
{ 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
Ejemplo Expresa en radianes 45o
𝜋
Ejemplo Expresa en grados sexagesimales 𝑟𝑎𝑑
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-2- TEORÍA TRIGONOMETRÍA
, 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.
1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.
❑ Las razones trigonométricas se utilizan para medir un ángulo de forma indirecta.
➢ Sea un triángulo rectángulo con el ángulo agudo opuesto al ángulo recto.
❑ Se llama seno de a la razón de la longitud del cateto opuesto al ángulo y la de la
hipotenusa.
𝑃𝑄 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑠𝑒𝑛(𝛼) = =
𝑂𝑃 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
❑ Se llama coseno de a la razón de la longitud del cateto contiguo o adyacente al ángulo y la
de la hipotenusa.
𝑂𝑄 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
𝑐𝑜𝑠(𝛼) = =
𝑂𝑃 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
❑ Se llama tangente de a la razón de la longitud del cateto opuesto al ángulo y la del cateto
contiguo.
𝑃𝑄 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑡𝑔(𝛼) = =
𝑂𝑄 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
1
❑ Se llama cosecante de al inverso del seno de . 𝑐𝑜𝑠 𝑒 𝑐(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
1
❑ Se llama secante de al inverso del coseno de . 𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼)
1
❑ Se llama cotangente de a la inversa de la tangente de . 𝑐𝑜𝑡 𝑔 (𝛼) = 𝑡𝑔(𝛼)
❑ Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homogéneos iguales y los lados
proporcionales.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE DOS TRIÁNGULOS
➢ Dos triángulos son semejantes si verifican que:
1) Tienen los tres lados proporcionales.
2) Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
3) Tienen dos ángulos iguales.
➢ Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son independientes del triángulo rectángulo
elegido.
̅̅̅̅
𝑃𝑄 ̅̅̅̅̅̅̅
𝑃′ 𝑄′ ̅̅̅̅
𝑂𝑄 ̅̅̅̅̅̅
𝑂𝑄′ ̅̅̅̅
𝑃𝑄 ̅̅̅̅̅̅̅
𝑃′ 𝑄′
̅̅̅̅
= ̅̅̅̅̅̅ = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) ̅̅̅̅
= ̅̅̅̅̅̅′ = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ̅̅̅̅
= ̅̅̅̅̅̅ = 𝑡𝑔(𝛼)
𝑂𝑃 𝑂𝑃′ 𝑂𝑃 𝑂𝑃 𝑂𝑄 𝑂𝑄′
-3- TEORÍA TRIGONOMETRÍA
