ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Compendio Teórico Completo para Examen Final
1. Concepto Fundamental de Función
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado
f(x), de un conjunto E. Es decir, es una correspondencia entre dos conjuntos donde se deben cumplir dos
condiciones críticas:
1. Existencia 2. Unicidad
Todo elemento del dominio debe poseer una Dicha imagen debe ser única. Un elemento del
imagen asignada en el conjunto de llegada. dominio no puede estar relacionado con dos
imágenes distintas.
Analogía de la Máquina
Puedes imaginar una función como una máquina donde x representa la entrada y f(x) es la salida producida
según la regla de la función.
Dominio y Conjunto Imagen
• Dominio: Es el conjunto de todos los valores de entrada posibles para la función. En otras palabras, son todos
los valores que puede tomar la variable independiente (usualmente llamada x) para los cuales la función está
definida (el resultado existe dentro de los números reales).
• Conjunto Imagen (o Rango): Es el conjunto de todos los valores de salida efectivamente obtenidos. Está
formado por todos los valores que toma la variable dependiente y, cuyos resultados dependen de la asignación
de x.
2. Análisis de Funciones Lineales y Simetría
Elementos de la Función Lineal (y = mx + h)
• Pendiente (m): Es la razón de cambio o cociente entre la variación de la variable dependiente (Δy) y la
variación de la variable independiente (Δx) entre dos puntos cualesquiera:
m = Δy / Δx
Significado geométrico: Determina la inclinación de la recta respecto al eje positivo de las abscisas (x).
• Ordenada al Origen (h): Es el valor donde la gráfica interseca al eje de ordenadas (eje y). Corresponde al
valor numérico de la función evaluada en cero: f(0) = h.
Simetría de una Función
• Función Par: Simétrica respecto al eje de ordenadas (y). Cumple que f(-x) = f(x). Al cambiar el signo de la
variable independiente, el valor de la función no varía.
• Función Impar: Simétrica respecto al origen de coordenadas (0,0). Cumple que f(-x) = -f(x). Al cambiar el signo
de x, la función cambia completamente de signo.
Análisis Matemático I - Resumen Teórico 1
, Crecimiento y Decrecimiento
• Función Creciente: Una función es creciente en un intervalo I si para cualquier par de valores con x < x , se
1 2
cumple que f(x1) < f(x2).
• Función Decreciente: Una función f es decreciente sobre un intervalo I si para cualquier par con x < x , se
1 2
cumple que f(x1) > f(x2). Es decir, al aumentar la variable independiente, disminuye el valor de la función.
3. Clasificación de Funciones Algebraicas
Una función f se llama función algebraica si puede construirse utilizando exclusivamente operaciones algebraicas
(suma, resta, multiplicación, división y radicación) comenzando a partir de funciones polinomiales.
A. Función Polinómica
Formada por una suma algebraica de términos donde la variable independiente está elevada a potencias enteras
no negativas.
• Dominio: Todo el conjunto de los números reales (ℝ).
• Grado: Determinado por el mayor exponente de la variable cuyo coeficiente sea distinto de cero.
B. Función Racional
Se define como el cociente de dos funciones polinomiales: f(x) = P(x) / Q(x).
• Dominio: Formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador (Q(x) = 0).
Presentan discontinuidades en esos puntos.
• Asíntotas:
◦ Asíntota Vertical (AV): Se obtiene igualando el denominador a cero (si no se simplifica con el numerador).
◦ Asíntota Horizontal (AH): Depende de los grados:
▪ Si grado(P) < grado(Q) ⇒ y = 0.
▪ Si grado(P) = grado(Q) ⇒ cociente de los coeficientes principales.
▪ Si grado(P) > grado(Q) ⇒ No existe asíntota horizontal.
◦ Asíntota Oblicua (AO): Existe cuando grado(P) es exactamente uno mayor que grado(Q). Se obtiene
mediante división polinómica.
• Función Recíproca (f(x) = 1/x): Es la función racional más simple. Su gráfica es una hipérbola con AV en x = 0
y AH en y = 0.
C. Función Irracional y Función Raíz
La variable independiente aparece dentro de una raíz o elevada a un exponente fraccionario (ejemplo: f(x) = √(5x -
1)). Si no contiene raíces afectando a x, se clasifica como racional.
Índice Par (ej. n = 2, 4, 6) Índice Impar (ej. n = 3, 5, 7)
• Dominio: Requiere radicando ≥ 0 (las raíces • Dominio: Todos los números reales (ℝ).
pares de negativos no son reales). • Gráfica: Pasa por el origen y se extiende
• Gráfica (n=2): Mitad superior de una parábola hacia ambos signos de x.
que abre hacia la derecha.
Análisis Matemático I - Resumen Teórico 2
Compendio Teórico Completo para Examen Final
1. Concepto Fundamental de Función
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado
f(x), de un conjunto E. Es decir, es una correspondencia entre dos conjuntos donde se deben cumplir dos
condiciones críticas:
1. Existencia 2. Unicidad
Todo elemento del dominio debe poseer una Dicha imagen debe ser única. Un elemento del
imagen asignada en el conjunto de llegada. dominio no puede estar relacionado con dos
imágenes distintas.
Analogía de la Máquina
Puedes imaginar una función como una máquina donde x representa la entrada y f(x) es la salida producida
según la regla de la función.
Dominio y Conjunto Imagen
• Dominio: Es el conjunto de todos los valores de entrada posibles para la función. En otras palabras, son todos
los valores que puede tomar la variable independiente (usualmente llamada x) para los cuales la función está
definida (el resultado existe dentro de los números reales).
• Conjunto Imagen (o Rango): Es el conjunto de todos los valores de salida efectivamente obtenidos. Está
formado por todos los valores que toma la variable dependiente y, cuyos resultados dependen de la asignación
de x.
2. Análisis de Funciones Lineales y Simetría
Elementos de la Función Lineal (y = mx + h)
• Pendiente (m): Es la razón de cambio o cociente entre la variación de la variable dependiente (Δy) y la
variación de la variable independiente (Δx) entre dos puntos cualesquiera:
m = Δy / Δx
Significado geométrico: Determina la inclinación de la recta respecto al eje positivo de las abscisas (x).
• Ordenada al Origen (h): Es el valor donde la gráfica interseca al eje de ordenadas (eje y). Corresponde al
valor numérico de la función evaluada en cero: f(0) = h.
Simetría de una Función
• Función Par: Simétrica respecto al eje de ordenadas (y). Cumple que f(-x) = f(x). Al cambiar el signo de la
variable independiente, el valor de la función no varía.
• Función Impar: Simétrica respecto al origen de coordenadas (0,0). Cumple que f(-x) = -f(x). Al cambiar el signo
de x, la función cambia completamente de signo.
Análisis Matemático I - Resumen Teórico 1
, Crecimiento y Decrecimiento
• Función Creciente: Una función es creciente en un intervalo I si para cualquier par de valores con x < x , se
1 2
cumple que f(x1) < f(x2).
• Función Decreciente: Una función f es decreciente sobre un intervalo I si para cualquier par con x < x , se
1 2
cumple que f(x1) > f(x2). Es decir, al aumentar la variable independiente, disminuye el valor de la función.
3. Clasificación de Funciones Algebraicas
Una función f se llama función algebraica si puede construirse utilizando exclusivamente operaciones algebraicas
(suma, resta, multiplicación, división y radicación) comenzando a partir de funciones polinomiales.
A. Función Polinómica
Formada por una suma algebraica de términos donde la variable independiente está elevada a potencias enteras
no negativas.
• Dominio: Todo el conjunto de los números reales (ℝ).
• Grado: Determinado por el mayor exponente de la variable cuyo coeficiente sea distinto de cero.
B. Función Racional
Se define como el cociente de dos funciones polinomiales: f(x) = P(x) / Q(x).
• Dominio: Formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador (Q(x) = 0).
Presentan discontinuidades en esos puntos.
• Asíntotas:
◦ Asíntota Vertical (AV): Se obtiene igualando el denominador a cero (si no se simplifica con el numerador).
◦ Asíntota Horizontal (AH): Depende de los grados:
▪ Si grado(P) < grado(Q) ⇒ y = 0.
▪ Si grado(P) = grado(Q) ⇒ cociente de los coeficientes principales.
▪ Si grado(P) > grado(Q) ⇒ No existe asíntota horizontal.
◦ Asíntota Oblicua (AO): Existe cuando grado(P) es exactamente uno mayor que grado(Q). Se obtiene
mediante división polinómica.
• Función Recíproca (f(x) = 1/x): Es la función racional más simple. Su gráfica es una hipérbola con AV en x = 0
y AH en y = 0.
C. Función Irracional y Función Raíz
La variable independiente aparece dentro de una raíz o elevada a un exponente fraccionario (ejemplo: f(x) = √(5x -
1)). Si no contiene raíces afectando a x, se clasifica como racional.
Índice Par (ej. n = 2, 4, 6) Índice Impar (ej. n = 3, 5, 7)
• Dominio: Requiere radicando ≥ 0 (las raíces • Dominio: Todos los números reales (ℝ).
pares de negativos no son reales). • Gráfica: Pasa por el origen y se extiende
• Gráfica (n=2): Mitad superior de una parábola hacia ambos signos de x.
que abre hacia la derecha.
Análisis Matemático I - Resumen Teórico 2
