Deel 1: Investeringsanalyse
De tijdwaarde van geld
1) = verzamelen van financiële middelen in de onderneming
(2) = investeren/aanwenden van financiële middelen
(3) = genereren van financiële middelen door de activiteiten
(4a) = herinvesteren/heraanwenden van financiële middelen
(4b) = uitkering van financiële middelen
Wat is tijdswaarde van geld?
Geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag in de toekomst.
Daarom: €100 vandaag ≠ €100 over 3 jaar.
Toekomstige waarde (= ‘Future value’)
Situatie:
Je hebt €10.000
Interest = 5% per jaar
Vraag: hoeveel is dat over meerdere jaren?
Jaar 1 Jaar 2
Interest = 10.000 × 5% = 500 Interest = 10.500 × 5% = 525
Eindsaldo = 10.000 + 500 = 10.500 Eindsaldo = 10.500 + 525 = 11.025
Je krijgt interest op
Je oorspronkelijke 10.000 én op de interest van vorig jaar → samengestelde interest
Verschil: eenvoudige vs samengestelde interest
Enkelvoudige interest: Samengestelde interest
Interest wordt alleen berekend op Interest wordt berekend op
het beginbedrag. beginbedrag + alle vorige interest
Formule: V t =V 0 (1+r ⋅t ) Formule: V t =V 0 ¿
Groeit lineair. Groeit exponentieel
Kapitalisatieformule (samengestelde interest)
Formule: V t =V 0 ¿
o V t = toekomstige waarde op tijdstip t
o V 0= actuele waarde op tijdstip 0
o r = interestvoet
o t = aantal jaren
Contante/actuele waarde (= ‘Present value’):
Actualiseringsformule (verdiscontering)
Vt
Formule: V 0=
( 1+r ¿t
o Vₜ = toekomstige waarde op tijdstip t
o V₀ = actuele waarde op tijdstip 0
o r = verdisconteringsvoet
Voorbeeld: je wil binnen 3 jaar 25.000 EUR, r =5 %
Hoeveel moet je vandaag hebben om binnen t jaar V t te ontvangen?
25.000 25.000
V 0= = =21.595,94
( 1,05 ¿3 1,157625
Actuele waarde daalt bij:
Hogere r
1
, Langere termijn t
2
,Waarom geldt V 0 ≠V t tenzij r =0 ?
Als r >0 , dan groeit geld door interest → heden en toekomst verschillen.
Als r =0 → V t =V 0 → geen groei, geen verschil.
Geld groeit door interest
Dus een toekomstig bedrag moet "teruggebracht" worden naar vandaag.
Wat als r = 0?
Dan wordt de formule: V t =V 0
Er is geen groei, geen vergoeding voor tijd, geen verschil tussen heden en toekomst.
Vermits r >0 heeft geld een tijdwaarde:
Geldstromen/kasstromen op verschillende tijdstippen kunnen in investeringsanalyse niet
vergeleken worden.
Er is nood aan het steeds herrekenen van geldstromen/kasstromen naar eenzelfde tijdstip.
Omdat geld in de toekomst minder zekerheid biedt dan geld vandaag, eisen mensen een
beloning (rente of rendement) om hun consumptie uit te stellen. Daarom geldt: r > 0.
Waarom bestaat tijdswaarde?
Omdat:
Inflatie: dit is een algemene stijging van het prijspeil, waardoor de koopkracht van een
bepaalde geldsom vermindert doorheen de tijd.
Voorkeur voor huidige consumptie: Mensen consumeren liever vandaag dan morgen.
Onzekerheid: Toekomstige betalingen zijn niet 100% zeker.
Toepassing:
Bereken de actuele waarde van een toekomstige geldstroom van 10.000 EUR
10.000
r =10 %, t=10: =3.855,43
( 1,10 ¿10
10.000
r =10 %, t=20 : =1.486,44
( 1,10 ¿20
10.000
r =5 %, t=10: =6.139,13
( 1,05 ¿10
10.000
r =5 %, t=20: =3.768,89
( 1,05 ¿20
Conclusie: de actuele waarde van een toekomstige geldstroom wordt negatief beïnvloed door:
De hoogte van de verdisconteringsvoet: hoe hoger hoe lager de toekomstige waarde
De termijn: hoe langer hoe lager de toekomstige waarde
Toepassing
Je beleggingsadviseur bij de bank beweert dat hij het geld dat je bij hem belegt kan verdubbelen op 8
jaar tijd.
VRAAG: Welke gemiddelde jaarlijkse interestvoet/opbrengstvoet belooft hij dan eigenlijk?
V t =V 0 ¿
1
2=1 ¿( 1+r ) =2 8 =1,0905r =0,0905=9,05 %
Meerdere kasstromen in de tijd
Algemene regel
Kapitaliseer of actualiseer de kasstromen naar eenzelfde tijdstip en sommeer de verkregen
resultaten.
Speciale gevallen:
Perpetuïteit
Exponentieel groeiende perpetuïteit
Annuïteit
3
, We hanteren de veronderstelling dat alle jaarlijkse betalingen aan het einde van het jaar gebeuren
(ook op het examen deze veronderstelling, tenzij anders vermeld!)
Toepassing
Een voetbalclub wil een speler aantrekken en doet hem twee potentiële voorstellen:
1. Hij krijgt 5 jaar lang 3 miljoen EUR per jaar (= totaal 15 mil)
2. Hij krijgt nu meteen 4 miljoen EUR en vervolgens 5 jaar lang 2 miljoen EUR per jaar (=totaal
14mil)
Gegeven:
r = 10%
Beslissingsmoment: t = 0
VRAAG: Welk voorstel is financieel het meest interessant?
Algemene methode
Kasstromen op verschillende tijdstippen moeten eerst naar hetzelfde tijdstip worden herleid.
Hier: alles actualiseren naar t = 0.
Ct
Formule: V 0=
( 1+r ¿t
Voorstel 1 Voorstel 2
Kasstromen: C 1=C2 =C3=C 4 =C5 =3 mil Kasstromen: C 0=4.000.000
Actualiseren naar t = 0: C 1=C2 =C3=C 4 =C5 =2.000 .000
3.000 .000 3.000 .000 3.000 .000 3.000Belangrijk:
.000 3.000 .000 niet geactualiseerd te
V 0= + + + + C 0hoeft
1,10 1 ,10 2
1 ,10 3
1 ,10 4
op 5t = 0)
worden (is 1al,10
V 0=11.372.360 , 30 Actualiseren van de jaarlijkse bedragen:
Actuele waarde voorstel 1 = 11.372.360,30 EUR V =4.000 .000+ 2.000 .000 + 2.000.000 + 2.000.000 + 2.000.
0
1,10 1 , 102 1 , 103 1 , 10
V 0=11.581.573 , 54
Actuele waarde voorstel 2 = 11.581.573,54 EUR
Toepassing
Je hebt het volgende spaarplan:
C 0=2.000 EUR (beschikbaar vandaag)
C 1=3.000EUR (beschikbaar op het einde van jaar 1)
C 2=3.500EUR (beschikbaar op het einde van jaar 2)
Veronderstelling: r =5 %
VRAAG: Hoeveel zal je na 2 jaar gespaard hebben?
Bepaal het relevante tijdstip
Het relevante moment is dus t = 2 → We moeten alle kasstromen kapitaliseren naar t = 2.
Formule: V t =C × ¿
Kapitaliseren naar t = 2
Bedrag vandaag (C₀)
Dit bedrag groeit 2 jaar: V 2 (C 0)=2.000× ¿
Bedrag op einde jaar 1 (C₁)
Dit bedrag groeit nog 1 jaar: V 2 (C 1)=3.000 × 1,05=3.150
Bedrag op einde jaar 2 (C₂)
Dit bedrag is al op t = 2 beschikbaar → geen kapitalisatie nodig: V 2 (C 2)=3.500
V 2=2.205+3.150+ 3.500=8.855
Na 2 jaar zal je 8855 EUR bijeen gespaard hebben.
4
De tijdwaarde van geld
1) = verzamelen van financiële middelen in de onderneming
(2) = investeren/aanwenden van financiële middelen
(3) = genereren van financiële middelen door de activiteiten
(4a) = herinvesteren/heraanwenden van financiële middelen
(4b) = uitkering van financiële middelen
Wat is tijdswaarde van geld?
Geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag in de toekomst.
Daarom: €100 vandaag ≠ €100 over 3 jaar.
Toekomstige waarde (= ‘Future value’)
Situatie:
Je hebt €10.000
Interest = 5% per jaar
Vraag: hoeveel is dat over meerdere jaren?
Jaar 1 Jaar 2
Interest = 10.000 × 5% = 500 Interest = 10.500 × 5% = 525
Eindsaldo = 10.000 + 500 = 10.500 Eindsaldo = 10.500 + 525 = 11.025
Je krijgt interest op
Je oorspronkelijke 10.000 én op de interest van vorig jaar → samengestelde interest
Verschil: eenvoudige vs samengestelde interest
Enkelvoudige interest: Samengestelde interest
Interest wordt alleen berekend op Interest wordt berekend op
het beginbedrag. beginbedrag + alle vorige interest
Formule: V t =V 0 (1+r ⋅t ) Formule: V t =V 0 ¿
Groeit lineair. Groeit exponentieel
Kapitalisatieformule (samengestelde interest)
Formule: V t =V 0 ¿
o V t = toekomstige waarde op tijdstip t
o V 0= actuele waarde op tijdstip 0
o r = interestvoet
o t = aantal jaren
Contante/actuele waarde (= ‘Present value’):
Actualiseringsformule (verdiscontering)
Vt
Formule: V 0=
( 1+r ¿t
o Vₜ = toekomstige waarde op tijdstip t
o V₀ = actuele waarde op tijdstip 0
o r = verdisconteringsvoet
Voorbeeld: je wil binnen 3 jaar 25.000 EUR, r =5 %
Hoeveel moet je vandaag hebben om binnen t jaar V t te ontvangen?
25.000 25.000
V 0= = =21.595,94
( 1,05 ¿3 1,157625
Actuele waarde daalt bij:
Hogere r
1
, Langere termijn t
2
,Waarom geldt V 0 ≠V t tenzij r =0 ?
Als r >0 , dan groeit geld door interest → heden en toekomst verschillen.
Als r =0 → V t =V 0 → geen groei, geen verschil.
Geld groeit door interest
Dus een toekomstig bedrag moet "teruggebracht" worden naar vandaag.
Wat als r = 0?
Dan wordt de formule: V t =V 0
Er is geen groei, geen vergoeding voor tijd, geen verschil tussen heden en toekomst.
Vermits r >0 heeft geld een tijdwaarde:
Geldstromen/kasstromen op verschillende tijdstippen kunnen in investeringsanalyse niet
vergeleken worden.
Er is nood aan het steeds herrekenen van geldstromen/kasstromen naar eenzelfde tijdstip.
Omdat geld in de toekomst minder zekerheid biedt dan geld vandaag, eisen mensen een
beloning (rente of rendement) om hun consumptie uit te stellen. Daarom geldt: r > 0.
Waarom bestaat tijdswaarde?
Omdat:
Inflatie: dit is een algemene stijging van het prijspeil, waardoor de koopkracht van een
bepaalde geldsom vermindert doorheen de tijd.
Voorkeur voor huidige consumptie: Mensen consumeren liever vandaag dan morgen.
Onzekerheid: Toekomstige betalingen zijn niet 100% zeker.
Toepassing:
Bereken de actuele waarde van een toekomstige geldstroom van 10.000 EUR
10.000
r =10 %, t=10: =3.855,43
( 1,10 ¿10
10.000
r =10 %, t=20 : =1.486,44
( 1,10 ¿20
10.000
r =5 %, t=10: =6.139,13
( 1,05 ¿10
10.000
r =5 %, t=20: =3.768,89
( 1,05 ¿20
Conclusie: de actuele waarde van een toekomstige geldstroom wordt negatief beïnvloed door:
De hoogte van de verdisconteringsvoet: hoe hoger hoe lager de toekomstige waarde
De termijn: hoe langer hoe lager de toekomstige waarde
Toepassing
Je beleggingsadviseur bij de bank beweert dat hij het geld dat je bij hem belegt kan verdubbelen op 8
jaar tijd.
VRAAG: Welke gemiddelde jaarlijkse interestvoet/opbrengstvoet belooft hij dan eigenlijk?
V t =V 0 ¿
1
2=1 ¿( 1+r ) =2 8 =1,0905r =0,0905=9,05 %
Meerdere kasstromen in de tijd
Algemene regel
Kapitaliseer of actualiseer de kasstromen naar eenzelfde tijdstip en sommeer de verkregen
resultaten.
Speciale gevallen:
Perpetuïteit
Exponentieel groeiende perpetuïteit
Annuïteit
3
, We hanteren de veronderstelling dat alle jaarlijkse betalingen aan het einde van het jaar gebeuren
(ook op het examen deze veronderstelling, tenzij anders vermeld!)
Toepassing
Een voetbalclub wil een speler aantrekken en doet hem twee potentiële voorstellen:
1. Hij krijgt 5 jaar lang 3 miljoen EUR per jaar (= totaal 15 mil)
2. Hij krijgt nu meteen 4 miljoen EUR en vervolgens 5 jaar lang 2 miljoen EUR per jaar (=totaal
14mil)
Gegeven:
r = 10%
Beslissingsmoment: t = 0
VRAAG: Welk voorstel is financieel het meest interessant?
Algemene methode
Kasstromen op verschillende tijdstippen moeten eerst naar hetzelfde tijdstip worden herleid.
Hier: alles actualiseren naar t = 0.
Ct
Formule: V 0=
( 1+r ¿t
Voorstel 1 Voorstel 2
Kasstromen: C 1=C2 =C3=C 4 =C5 =3 mil Kasstromen: C 0=4.000.000
Actualiseren naar t = 0: C 1=C2 =C3=C 4 =C5 =2.000 .000
3.000 .000 3.000 .000 3.000 .000 3.000Belangrijk:
.000 3.000 .000 niet geactualiseerd te
V 0= + + + + C 0hoeft
1,10 1 ,10 2
1 ,10 3
1 ,10 4
op 5t = 0)
worden (is 1al,10
V 0=11.372.360 , 30 Actualiseren van de jaarlijkse bedragen:
Actuele waarde voorstel 1 = 11.372.360,30 EUR V =4.000 .000+ 2.000 .000 + 2.000.000 + 2.000.000 + 2.000.
0
1,10 1 , 102 1 , 103 1 , 10
V 0=11.581.573 , 54
Actuele waarde voorstel 2 = 11.581.573,54 EUR
Toepassing
Je hebt het volgende spaarplan:
C 0=2.000 EUR (beschikbaar vandaag)
C 1=3.000EUR (beschikbaar op het einde van jaar 1)
C 2=3.500EUR (beschikbaar op het einde van jaar 2)
Veronderstelling: r =5 %
VRAAG: Hoeveel zal je na 2 jaar gespaard hebben?
Bepaal het relevante tijdstip
Het relevante moment is dus t = 2 → We moeten alle kasstromen kapitaliseren naar t = 2.
Formule: V t =C × ¿
Kapitaliseren naar t = 2
Bedrag vandaag (C₀)
Dit bedrag groeit 2 jaar: V 2 (C 0)=2.000× ¿
Bedrag op einde jaar 1 (C₁)
Dit bedrag groeit nog 1 jaar: V 2 (C 1)=3.000 × 1,05=3.150
Bedrag op einde jaar 2 (C₂)
Dit bedrag is al op t = 2 beschikbaar → geen kapitalisatie nodig: V 2 (C 2)=3.500
V 2=2.205+3.150+ 3.500=8.855
Na 2 jaar zal je 8855 EUR bijeen gespaard hebben.
4
