Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Statistiek II: Kansrekening
en Inferentiële Statistiek
(Theorie WPO +
formularium)
Prof. Dr. Peter Theuns
Academiejaar 2025-2026
Inhoud:
Hoofdstuk 1 Somregel en basisregels voor kansen
Hoofdstuk 2 Combinatieleer (+ voorbereidingsbundel)
Hoofdstuk 3 Voorwaardelijke kans, productregel en stochastische
onafhankelijkheid
Hoofdstuk 4 Kansbomen en de regel van Bayes
Hoofdstuk 5 Discrete en continue stochasten (+ voorbereidingsbundel)
Hoofdstuk 6 Binomiale verdelingen en normaalbenadering bij binomiale
verdelingen van aantallen
Hoofdstuk 7 Normaalbenadering bij binomiale verdelingen van proporties
en centrale limietstelling (CLS)
Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen
Hoofdstuk 9 Aanvaardingsintervallen en z-test
!!!Formularium: achteraan in document!!!
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
!Je gaat in dit vak rekening moeten houden met de volgorde van
bewerkingen (Links naar rechts) en beduidende cijfers!
Hoofdstuk 1 Somregel en basisregels voor kansen
Kansen drukken de waarschijnlijkheid uit van uitkomsten of
gebeurtenissen waarvan het resultaat nog niet vastligt. Bv: ik selecteer
een willekeurig persoon in de ruimte. Iedereen heeft evenveel kans
geselecteerd te worden. De uitkomstenverzameling (𝛀) zijn alle personen
in de ruimte. Op deze ruimte kunnen we
gebeurtenissen definiëren die (verzameling van)
uitkomsten zijn.
A = de geselecteerde persoon heeft bruin haar
B = de geselecteerde persoon heeft blauwe
ogen
¿A
𝑃𝐴=
¿Ω
Om kansen te bekijken moeten we ook rekening houden met de unie en de
doorsnede. De unie betekent dat we gaan zeggen dat er oftwel het ene is
oftwel het andere, dus en/of. Bij de doorsnede gaan we enkel zeggen dat
het ene en het andere is. We gaan dit verder bespreken in volgend
voorbeeld.
Categorie A = bruin haar
Categorie B = bruine ogen
We zeggen over een persoon dat die bruin haar
heeft en/ of bruine ogen. Dit wil zeggen dat de
persoon of in categorie A is of in
categorie B is. Maar als die
persoon in beide cateogrieën is,
kunnen we zeggen dat die persoon in categorie A en in
categorie B zit.
We zeggen dat als een persoon bruin haar en bruine ogen heeft, dat die in
de doorsnede zit van beide categorieën. De doorsnede is dus het gedeelte
1
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
waar er eigenlijk over lap is tussen 2 of meerdere categorieën. In dit geval
dus het gebied dat zowel bruin haar is als bruine ogen.
We kunnen nu ook een onderscheid maken tussen disjuncte
verzamelingen en niet-disjuncte verzamelingen. 2 disjuncte verzamelingen
zijn
verzamelingen waarbij de doorsnede ledig is, er is geen overlap. Neem nu
bloedgroepen. Mensen kunnen nie tin meerdere bloedgroepen zitten,
daarom dat dit een disjuncte verzameling is. Bij niet-disjuncte
verzamelingen is de doorsnede niet ledig, er is dus wel overlap. Bij sporten
kun je dit duidelijk zien. Er kunnen mensen voetballen, er kunnen mensen
basketballen en er kunnen mensen zijn die beide doen. Dus de doorsnede
is in dit geval niet ledig, of niet leeg.
Er zijn 3 somregels die gebruikt worden bij 3 verschillende soorten
verzamelingen. Opzich is de logica en de werkwijze wel gelijkend, maar er
zijn toch verschillen. Deze gaan we nu eens beter bekijken.
Disjuncte Niet-disjuncte 3 niet-disjuncte
verzamelingen verzamelingen verzamelingen
Hier is er geen Doordat je volledig A Dit is met dezelfde
overlap, dus tel je neemt kom je mee in logica opgebouwd als
gewoon A en B op. die doorsnede, wat bij de niet-disjuncte
hetzelfde aan het verzamelingen. Maar
gebeuren is met B. op het einde doe je
Daarom trek je dus de nog eens de
doorsnede daarvan af. doorsnede van A, B en
C er bij, omdat je eerst
2
, Naam: Levi Pinto da Silva VUB
alle onderlinge
doorsnedes hebt
afgetrokken. Maar de
“grote” doorsnede
moet er wel nog
bijgenomen worden.
Er zijn in totaal 4 basisregels voor kansen. Deze gaan we nu verder
uitwerken.
Regel 1 Regel 2 Regel 3 Regel 4
Een kans ligt Alle kansen Somregel Complement van een
altijd tussen 0 opgeteld (bij k kans.
en 100% (mag partities) is altijd
ook in 100%
kommagetallen
of breuken)
Uitzonderingen:
∖ = Uitsluiting, met uitzondering van, zonder
P ( A ∖ B )=P ( A ) −P ( A ∩ B )=P ( A )−¿
3decomplementregel!
Minstens 1 = complement nemen van 0
3
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Hoofdstuk 2 Combinatieleer
Voorbereidingsbundel
De faculteit van een natuurlijke getal is het product van dat getal en alle
kleinere natuurlijke getallen (behalve 0). De notatie van de faculteit is !.
We bespreken hier 2 voorbeelden.
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Uitzondering
3 !=3 .2 . 1=6 8 ! 8 .7 . 6 . 5 . 4 . 3 .2 . 1 0! = 1
= =56
6! 6 . 5 . 4 . 3 . 2. 1
Een permutatie van n elementen is een ordening van deze n
verschillende elementen. Dit wordt genoteerd met de formule Pn=n! . Ook
hier bespreken we 3 voorbeelden.
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3
Hoeveel getallen kan Welke Het boekenvoorbeeld
ik maken met de eindrangschikkingen a) Op hoeveel
cijfers 1, 2, 3 en 4? (= zijn er mogelijk voor manieren kan men
aantal ordeningen) 10 ploegen? 7 verschillende
P4 =4 !=24 P10=10 !=3 628 800 boeken
rangschikken?
P7=7 !=5 040
b) Hoeveel manieren
zijn er nog als 1
bepaald boek op de
eerste plaats komt?
P6=6!=720
4
, Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Een variatie van r elementen uit n elementen is een keuze van r
elementen uit een verzameling van n elementen, waarbij de volgorde
waarin men de keuze maakt van belang is. Dit geeft volgende formule,
n!
V rn= . Hier gaan we 4 voorbeelden bekijken.
( n−r ) !
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Voorbeeld 4
Hoeveel getallen van 4 voetbalploegen Je beschikt over 6 Een paswoord bestaat uit 6
4 verschillende (A t.e.m. D) kleuren en moet verschillende letters.
cijfers kan je maken? moeten telkens een vlag met 3 Hoeveel mogelijkheden zijn
10 ! een uit en een verticale banen er? (het paswoord hoeft
V 410= =5 040
( 10−4 ) ! thuiswedstrijd van verschillende geen betekenis te hebben)
tegen elkaar kleuren maken. 26 !
V 626= =165 765 600
spelen. Hoeveel Hoeveel ( 26−6 ) !
wedstrijden zullen verschillende
er gespeeld vlaggen zou je
worden? kunnen maken?
2 4! 3 6!
V 4= =12 V 6= =120
( 4−2 ) ! ( 6−3 ) !
Een combinatie van r elementen uit n elementen is een deelverzameling
van r elementen uit een verzameling van n elementen, waarbij de
volgorde waarin men de keuze maakt NIET van belang is. Een
combinatie is symmetrisch (Bv: combinatie 0 uit 6 = combinatie 6 uit 6, …,
combinatie 3 uit 6 is centraal en uitzonderlijk). Dit resulteert in
r n!
C n= . We gaan dit verduidelijken met 3 voorbeelden.
r ! . ( n−r ) !
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3
Hoeveel wedstrijden Op hoeveel manieren Het lotto-voorbeeld
moeten onze 4 ploegen kan men 3 kinderen A) Op hoeveel manieren kunnen er
spelen als ze telkens kiezen uit een groep 6 nummers getrokken worden uit
maar 1 keer van 15 kinderen? 42?
tegen elke andere ploeg 3 15 ! 6 42 !
C 15= =455 C 42= =5 245 786
spelen? 3 ! . ( 15−3 ) ! 6! . ( 42−6 ) !
4!
C 24= =6
2 ! . ( 4−2 ) ! B) Wat is de kans om de Lotto te
winnen?
1 kans op 5 245 786 is
1
=0,00002%
5245 786
r
V ¿ geordende r −tallen
Merk op: C = n =
r
n
P r ¿ ordeningen van elk r −tal
5
Statistiek II: Kansrekening
en Inferentiële Statistiek
(Theorie WPO +
formularium)
Prof. Dr. Peter Theuns
Academiejaar 2025-2026
Inhoud:
Hoofdstuk 1 Somregel en basisregels voor kansen
Hoofdstuk 2 Combinatieleer (+ voorbereidingsbundel)
Hoofdstuk 3 Voorwaardelijke kans, productregel en stochastische
onafhankelijkheid
Hoofdstuk 4 Kansbomen en de regel van Bayes
Hoofdstuk 5 Discrete en continue stochasten (+ voorbereidingsbundel)
Hoofdstuk 6 Binomiale verdelingen en normaalbenadering bij binomiale
verdelingen van aantallen
Hoofdstuk 7 Normaalbenadering bij binomiale verdelingen van proporties
en centrale limietstelling (CLS)
Hoofdstuk 8 Betrouwbaarheidsintervallen
Hoofdstuk 9 Aanvaardingsintervallen en z-test
!!!Formularium: achteraan in document!!!
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
!Je gaat in dit vak rekening moeten houden met de volgorde van
bewerkingen (Links naar rechts) en beduidende cijfers!
Hoofdstuk 1 Somregel en basisregels voor kansen
Kansen drukken de waarschijnlijkheid uit van uitkomsten of
gebeurtenissen waarvan het resultaat nog niet vastligt. Bv: ik selecteer
een willekeurig persoon in de ruimte. Iedereen heeft evenveel kans
geselecteerd te worden. De uitkomstenverzameling (𝛀) zijn alle personen
in de ruimte. Op deze ruimte kunnen we
gebeurtenissen definiëren die (verzameling van)
uitkomsten zijn.
A = de geselecteerde persoon heeft bruin haar
B = de geselecteerde persoon heeft blauwe
ogen
¿A
𝑃𝐴=
¿Ω
Om kansen te bekijken moeten we ook rekening houden met de unie en de
doorsnede. De unie betekent dat we gaan zeggen dat er oftwel het ene is
oftwel het andere, dus en/of. Bij de doorsnede gaan we enkel zeggen dat
het ene en het andere is. We gaan dit verder bespreken in volgend
voorbeeld.
Categorie A = bruin haar
Categorie B = bruine ogen
We zeggen over een persoon dat die bruin haar
heeft en/ of bruine ogen. Dit wil zeggen dat de
persoon of in categorie A is of in
categorie B is. Maar als die
persoon in beide cateogrieën is,
kunnen we zeggen dat die persoon in categorie A en in
categorie B zit.
We zeggen dat als een persoon bruin haar en bruine ogen heeft, dat die in
de doorsnede zit van beide categorieën. De doorsnede is dus het gedeelte
1
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
waar er eigenlijk over lap is tussen 2 of meerdere categorieën. In dit geval
dus het gebied dat zowel bruin haar is als bruine ogen.
We kunnen nu ook een onderscheid maken tussen disjuncte
verzamelingen en niet-disjuncte verzamelingen. 2 disjuncte verzamelingen
zijn
verzamelingen waarbij de doorsnede ledig is, er is geen overlap. Neem nu
bloedgroepen. Mensen kunnen nie tin meerdere bloedgroepen zitten,
daarom dat dit een disjuncte verzameling is. Bij niet-disjuncte
verzamelingen is de doorsnede niet ledig, er is dus wel overlap. Bij sporten
kun je dit duidelijk zien. Er kunnen mensen voetballen, er kunnen mensen
basketballen en er kunnen mensen zijn die beide doen. Dus de doorsnede
is in dit geval niet ledig, of niet leeg.
Er zijn 3 somregels die gebruikt worden bij 3 verschillende soorten
verzamelingen. Opzich is de logica en de werkwijze wel gelijkend, maar er
zijn toch verschillen. Deze gaan we nu eens beter bekijken.
Disjuncte Niet-disjuncte 3 niet-disjuncte
verzamelingen verzamelingen verzamelingen
Hier is er geen Doordat je volledig A Dit is met dezelfde
overlap, dus tel je neemt kom je mee in logica opgebouwd als
gewoon A en B op. die doorsnede, wat bij de niet-disjuncte
hetzelfde aan het verzamelingen. Maar
gebeuren is met B. op het einde doe je
Daarom trek je dus de nog eens de
doorsnede daarvan af. doorsnede van A, B en
C er bij, omdat je eerst
2
, Naam: Levi Pinto da Silva VUB
alle onderlinge
doorsnedes hebt
afgetrokken. Maar de
“grote” doorsnede
moet er wel nog
bijgenomen worden.
Er zijn in totaal 4 basisregels voor kansen. Deze gaan we nu verder
uitwerken.
Regel 1 Regel 2 Regel 3 Regel 4
Een kans ligt Alle kansen Somregel Complement van een
altijd tussen 0 opgeteld (bij k kans.
en 100% (mag partities) is altijd
ook in 100%
kommagetallen
of breuken)
Uitzonderingen:
∖ = Uitsluiting, met uitzondering van, zonder
P ( A ∖ B )=P ( A ) −P ( A ∩ B )=P ( A )−¿
3decomplementregel!
Minstens 1 = complement nemen van 0
3
,Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Hoofdstuk 2 Combinatieleer
Voorbereidingsbundel
De faculteit van een natuurlijke getal is het product van dat getal en alle
kleinere natuurlijke getallen (behalve 0). De notatie van de faculteit is !.
We bespreken hier 2 voorbeelden.
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Uitzondering
3 !=3 .2 . 1=6 8 ! 8 .7 . 6 . 5 . 4 . 3 .2 . 1 0! = 1
= =56
6! 6 . 5 . 4 . 3 . 2. 1
Een permutatie van n elementen is een ordening van deze n
verschillende elementen. Dit wordt genoteerd met de formule Pn=n! . Ook
hier bespreken we 3 voorbeelden.
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3
Hoeveel getallen kan Welke Het boekenvoorbeeld
ik maken met de eindrangschikkingen a) Op hoeveel
cijfers 1, 2, 3 en 4? (= zijn er mogelijk voor manieren kan men
aantal ordeningen) 10 ploegen? 7 verschillende
P4 =4 !=24 P10=10 !=3 628 800 boeken
rangschikken?
P7=7 !=5 040
b) Hoeveel manieren
zijn er nog als 1
bepaald boek op de
eerste plaats komt?
P6=6!=720
4
, Naam: Levi Pinto da Silva VUB
Een variatie van r elementen uit n elementen is een keuze van r
elementen uit een verzameling van n elementen, waarbij de volgorde
waarin men de keuze maakt van belang is. Dit geeft volgende formule,
n!
V rn= . Hier gaan we 4 voorbeelden bekijken.
( n−r ) !
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Voorbeeld 4
Hoeveel getallen van 4 voetbalploegen Je beschikt over 6 Een paswoord bestaat uit 6
4 verschillende (A t.e.m. D) kleuren en moet verschillende letters.
cijfers kan je maken? moeten telkens een vlag met 3 Hoeveel mogelijkheden zijn
10 ! een uit en een verticale banen er? (het paswoord hoeft
V 410= =5 040
( 10−4 ) ! thuiswedstrijd van verschillende geen betekenis te hebben)
tegen elkaar kleuren maken. 26 !
V 626= =165 765 600
spelen. Hoeveel Hoeveel ( 26−6 ) !
wedstrijden zullen verschillende
er gespeeld vlaggen zou je
worden? kunnen maken?
2 4! 3 6!
V 4= =12 V 6= =120
( 4−2 ) ! ( 6−3 ) !
Een combinatie van r elementen uit n elementen is een deelverzameling
van r elementen uit een verzameling van n elementen, waarbij de
volgorde waarin men de keuze maakt NIET van belang is. Een
combinatie is symmetrisch (Bv: combinatie 0 uit 6 = combinatie 6 uit 6, …,
combinatie 3 uit 6 is centraal en uitzonderlijk). Dit resulteert in
r n!
C n= . We gaan dit verduidelijken met 3 voorbeelden.
r ! . ( n−r ) !
Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3
Hoeveel wedstrijden Op hoeveel manieren Het lotto-voorbeeld
moeten onze 4 ploegen kan men 3 kinderen A) Op hoeveel manieren kunnen er
spelen als ze telkens kiezen uit een groep 6 nummers getrokken worden uit
maar 1 keer van 15 kinderen? 42?
tegen elke andere ploeg 3 15 ! 6 42 !
C 15= =455 C 42= =5 245 786
spelen? 3 ! . ( 15−3 ) ! 6! . ( 42−6 ) !
4!
C 24= =6
2 ! . ( 4−2 ) ! B) Wat is de kans om de Lotto te
winnen?
1 kans op 5 245 786 is
1
=0,00002%
5245 786
r
V ¿ geordende r −tallen
Merk op: C = n =
r
n
P r ¿ ordeningen van elk r −tal
5
