Estadística Empresarial. Estimación puntual

Estadística. Tema 5: Estimación puntual
1. Muestra aleatoria simple.
Suponemos que queremos estudiar una población X.

Para tomar una muestra, se selecciona entre los individuos de la población, a un número concreto y se observa que
valor toma X sobre él.

( , ,..., ) REALIZACIÓN MUESTRAL

( , ,..., ) Conjunto de valores de la población que queremos estudiar.

Si consideramos muestreo por reemplazamiento, entonces, estas ni variables son idénticas*

Definición: Muestra aleatoria simple:

Sea X una v.a., con función de distribución F(x).

Sea , ,..., una colección de v.a.i.i.d. como la variable X.

Se dice que:

( , ,..., es una muestra aleatoria simple (m.a.s)

Técnicas de muestreo:

- Con reemplazamiento población infinita
- Sin reemplazamiento
Población finita

2. Parámetros poblacionales.
Definición: Se define un parámetro poblacional como un valor que permite caracterizar a una población con una
cierta distribución.

Obs: Sea X v.a. que sigue la característica que se quiere estudiar sobre los elementos de la población. La distribución
de X viene determinada por el valor de uno o varios parámetros desconocidos que la definan.

Nuestro objetivo a partir de la información de una muestra, asignar un valor concreto a dichos parámetros
desconocidos.

3. Estadística y estimador.
Problema: Sea X una v.a. que caracteriza la población de estudio, como la función de distribución F(x, ), siendo el
parámetro cuyo valor es desconocido y de cuyo estudio es objeto nuestra investigación.

Herramienta: la v.a.s. ( , ,..., v.a.i.i.d. según X.

Definición: Dada una población X. Con función de distribución F(x, ), con desconocida. Sea ( , ,..., m.a.s.
de X. Se define un estadístico como una función de la muestra, es decir:

T= g( , ,..., )

,Definición: ESTIMADOR: Si un ESTADÍSTICO , se utiliza para tratar de averiguar el valor de una parámetro
desconocido a partir de m.a.s., entonces recibe el nombre de estimador.

Obs: ( , ,..., m.a.s. T= g( , ,..., ) estimador para .

( , ,..., ) realización muestral

̂ = g( , ,..., ) estimación para

4. Estimadores más empleados.
Parámetros poblacionales más frecuentes:

Sea una población de tamaño N

∑ Media

= ∑ Varianza

P= ∑ = 1 si el individuo i pertenece a la clase

0 si el individuo i NO pertenece a la clase

Proporción poblacional

Estimadores: Sea ( , ,..., una v.a.s. de tamaño n.

Se define los siguientes estimadores:

= ∑ Media muestral

= ∑ Varianza muestral

= ∑ , = 1 con probabilidad p

0 con probabilidad p-1

Proporción muestral




T= g( , ,..., ) ̂ = g( , ,..., )

Estimador Estimación

Fórmula Valor numérico

, 5. Distribución muestral de un estimador.
Ejemplo: Distribución de puntos de un ejercicio:

m.a.s. tamaño 2 ( , )
0 30 0´6 0 0
0´5 15 0´3 0´15 0´075 = es una estimación de = E[X]
1 5 0´1 0´1 0´1
TOTAL 50 1 0´25 0´175
Var(X)

Probabilidad media real E[X]



( , ) p( , ) = = [( , +( , ]
(0,0) 0´36 0 0
(0,0´5) 0´18 0´25 0´125
(0,1) 0´06 0´5 0´5
(0´5,0) 0´18 0´25 0´125
(0´5,0´5) 0´9 0´5 0
(0´5,1) 0´03 0´75 0´125
(1,0) 0´06 0´5 0´5
(1,0´5) 0´03 0´75 0´125
(1,1) 0´01 1 0
1




= [( , +( , ]
0 0´36 0 0 0´46 0
0´25 0´36 0´09 0´125 0´42 0´0525
0´5 0´21 0´105 0´5 0´12 0´06
0´75 0´06 0´045 1 0´1125
1 0´01 0´01
1 0´25
Var (X) = E[ ]-(E[X] = 0´175-(0´25 = 0´175 –
0´0625= 0´1125

= ∑


6. Propiedades de los estimadores: INSESGADEZ Y EFICIENCIA.
Error cuadrático medio:

̂ = g( , ,..., ) estimación para *

ECM= E[(̂ - ]

Desarrollo del ECM ¡importante!

ECM= E[( ̂- ]= E[ - 2̂ + ̂ ]= E[ ̂ - 2E[ ̂ + = E[̂ -( E[̂ + (E[X] -2 E[̂ +

Var ̂ (E[̂ - , valor del parámetro

Sesgo