1.1 Calculus 1
R reële getallen
N natuurlijke getallen ,0,1,2,…-
Z gehele getallen ,…,-2,-1,0,1,2,…-
Q rationale getallen (te schrijven als een breuk van gehele getallen)
C complexe getallen
Complexe getallen
Dictaat: Complex H1-H7
We voeren twee nieuwe, niet reële getallen in, die we i en –i noemen via de definitie i2 = (-i)2 = -1.
Complexe getallen zijn alle getallen van de vorm a + bi, waar a en b reëel zijn. We noteren de
verzameling van de complexe getallen met c. Dus c = { a + bi | a, b є r }
Vb: z = 3 + 2i w = -1 – i
z+w=2+i
z – w = 4 + 3i
z ∙ w = (3 + 2i)(-1 – i) = -3 - 5i – 2i2 = -1 – 5i
z = 3 + 2i = (3 + 2i)(-1 + i) = -5 + i = -5 + i om een term x + by uit de noemer weg te
w -1 – i (-1 – i)(-1 + i) 2 2 2 halen, vermenigvuldigen we teller en noemer
met x – by.
Voor het complexe getal z = a + bi noemen we het getal z = a – bi de complex geconjugeerde of
complex toegevoegde van het getal z. Voor z is a het reële deel en b het imaginaire deel. We noteren
het imaginaire deel met Im z = a en het reële deel met Re z = b.
We identificeren een complex getal met een punt in het platte vlak: x + iy (x, y), waarbij 1 dus op
(1, 0), i op (0, 1) en een reëel getal x op (x, 0) ligt.
Getallen van de vorm iy heten imaginaire getallen, de verzameling { iy: y є r } heet de imaginaire as.
Punten in het platte vlak kun je ook met poolcoördinaten weergeven: elk punt P wordt eenduidig
bepaald door de afstand r tot (0, 0) en de hoek φ die het lijnstuk van P naar 0 maakt met de positieve
x-as. Het paar (r, φ) zijn de poolcoördinaten van P, met de afspraak –π < φ ≤ π.
x = r cos φ en y = r sin φ
r = √(x2 + y2)
, cos φ = x . sin φ = y .
√(x2 + y2) √(x2 + y2)
r = modulus = |z|
φ = hoofdwaarde van het argument van z = Arg z
We spreken van het argument van z als we ons niet langer beperken tot –π < 0 ≤ π. Notatie: arg z.
Bij vermenigvuldigen van complexe getallen moet je de moduli van de complexe getallen met elkaar
vermenigvuldigen en de argumenten bij elkaar optellen.
|z1z2| = |z1| ∙ |z2| arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
We hanteren als notatie eiφ = cos φ + i sin φ, dus een complex getal z met modulus r en argument φ
is te schrijven als: z = r cos φ + ir sin φ = r(cos φ + i sin φ) = reiφ.
De Moivre’s stelling: zn = rn(cos nφ + i sin nφ). Dus we verheffen de modulus tot macht n en
vermenigvuldigen de argumenten met n.
Volledige inductie
Dictaat: Inductie H1, H3
Somnotatie:
∑
Volledige inductie is een methode om beweringen te bewijzen die voor alle natuurlijke getallen n
waar zijn. De manier waarop je hierbij te werk gaat is als volgt:
1) Basisstap: laat zien dat de bewering waar is voor n=1.
2) Inductiestap: laat zien dat de bewering waar is voor het getal m+1 als deze waar is voor m.
∑ ∑
Het binomium van Newton
De uitwerking van de tweeterm (a + b)n voor willekeurige n є N.
Voor een geheel getal n ≥ 0 schrijven we
n! =1∙2∙…∙n als n є N (Spreek uit: n-faculteit)
=1 als n = 0
(n + 1)! = n! ∙ (n + 1)
Verder: ( )
( )
( ) ( )
De binomiaalformule van Newton:
R reële getallen
N natuurlijke getallen ,0,1,2,…-
Z gehele getallen ,…,-2,-1,0,1,2,…-
Q rationale getallen (te schrijven als een breuk van gehele getallen)
C complexe getallen
Complexe getallen
Dictaat: Complex H1-H7
We voeren twee nieuwe, niet reële getallen in, die we i en –i noemen via de definitie i2 = (-i)2 = -1.
Complexe getallen zijn alle getallen van de vorm a + bi, waar a en b reëel zijn. We noteren de
verzameling van de complexe getallen met c. Dus c = { a + bi | a, b є r }
Vb: z = 3 + 2i w = -1 – i
z+w=2+i
z – w = 4 + 3i
z ∙ w = (3 + 2i)(-1 – i) = -3 - 5i – 2i2 = -1 – 5i
z = 3 + 2i = (3 + 2i)(-1 + i) = -5 + i = -5 + i om een term x + by uit de noemer weg te
w -1 – i (-1 – i)(-1 + i) 2 2 2 halen, vermenigvuldigen we teller en noemer
met x – by.
Voor het complexe getal z = a + bi noemen we het getal z = a – bi de complex geconjugeerde of
complex toegevoegde van het getal z. Voor z is a het reële deel en b het imaginaire deel. We noteren
het imaginaire deel met Im z = a en het reële deel met Re z = b.
We identificeren een complex getal met een punt in het platte vlak: x + iy (x, y), waarbij 1 dus op
(1, 0), i op (0, 1) en een reëel getal x op (x, 0) ligt.
Getallen van de vorm iy heten imaginaire getallen, de verzameling { iy: y є r } heet de imaginaire as.
Punten in het platte vlak kun je ook met poolcoördinaten weergeven: elk punt P wordt eenduidig
bepaald door de afstand r tot (0, 0) en de hoek φ die het lijnstuk van P naar 0 maakt met de positieve
x-as. Het paar (r, φ) zijn de poolcoördinaten van P, met de afspraak –π < φ ≤ π.
x = r cos φ en y = r sin φ
r = √(x2 + y2)
, cos φ = x . sin φ = y .
√(x2 + y2) √(x2 + y2)
r = modulus = |z|
φ = hoofdwaarde van het argument van z = Arg z
We spreken van het argument van z als we ons niet langer beperken tot –π < 0 ≤ π. Notatie: arg z.
Bij vermenigvuldigen van complexe getallen moet je de moduli van de complexe getallen met elkaar
vermenigvuldigen en de argumenten bij elkaar optellen.
|z1z2| = |z1| ∙ |z2| arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
We hanteren als notatie eiφ = cos φ + i sin φ, dus een complex getal z met modulus r en argument φ
is te schrijven als: z = r cos φ + ir sin φ = r(cos φ + i sin φ) = reiφ.
De Moivre’s stelling: zn = rn(cos nφ + i sin nφ). Dus we verheffen de modulus tot macht n en
vermenigvuldigen de argumenten met n.
Volledige inductie
Dictaat: Inductie H1, H3
Somnotatie:
∑
Volledige inductie is een methode om beweringen te bewijzen die voor alle natuurlijke getallen n
waar zijn. De manier waarop je hierbij te werk gaat is als volgt:
1) Basisstap: laat zien dat de bewering waar is voor n=1.
2) Inductiestap: laat zien dat de bewering waar is voor het getal m+1 als deze waar is voor m.
∑ ∑
Het binomium van Newton
De uitwerking van de tweeterm (a + b)n voor willekeurige n є N.
Voor een geheel getal n ≥ 0 schrijven we
n! =1∙2∙…∙n als n є N (Spreek uit: n-faculteit)
=1 als n = 0
(n + 1)! = n! ∙ (n + 1)
Verder: ( )
( )
( ) ( )
De binomiaalformule van Newton:
