Reken-wiskundedidactiek
Verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
Zanten, Bergh, Brom-Snijders & Hutten
Tweede druk, 2014
, 1. Samenhang
1.1 Verhoudingen zijn de basis
1.1.1 Overeenkomsten
• Bij ieder domein kun je een relatief aspect onderscheiden: kommagetallen zijn decimale
breuken; breuken en procenten kunnen beiden een verhouding aangeven; breuken en komma
getallen kom je tegen als meetinstrumenten.
• Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en geheel dat op 100 is gesteld en een
breuk tussen een deel en een geheel (het geheel is 1).
• Verschillen: de domeinen kennen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit:
geld = een kommagetal, en procenten bijvoorbeeld bij kortingen en rente.
1.1.2 Absoluut en relatief
• Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of getallen verwijzen.
• Relatieve gegevens zijn hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke aantal aan kunt aflezen (bijvoorbeeld verhoudingen).
1.2 Onderlinge relaties
1.2.1 Begrip
• Rationeel getal = alle getallen die je als breuk kunt schrijven (dus ook hele getallen).
• Natuurlijke getallen = alle getallen hoger of gelijk aan 0, zonder kommagetal.
• Gehele getallen = onder, boven en gelijk aan 0, zonder decimalen achter de komma.
Natuurlijke getallen, gehele getallen en breuken zijn rationale getallen.
Van breuk naar kommagetal:
Sommige breuken omgezet in kommagetallen gaan zich herhalen. Bijvoorbeeld 1/7 =
0,142857142857…..enz. De breuk 1/7 wordt een repeterende breuk genoemd en de sliert (de cijfers
achter de komma) heet het repetendum.
Zo verander je een breuk in een kommagetal: 1.Hoeveel van het onderste getal (de noemer)
Voorbeeld: 3/7 veranderen in een kommagetal: passen er in het bovenste getal (de teller)?
Hoeveel zevens gaan er in 3? = 0 rest 3 2. Het antwoord is meestal 0 rest … (wat houd
Hoeveel zevens gaan er in 30? = 4 rest 2 je over.
Hoeveel zevens gaan er in 20? = 2 rest 6 3. Het restgetal doe je x 10 en je stelt de vraag
Hoeveel zevens gaan er in 60? = 8 rest 4 opnieuw.
Hoeveel zevens gaan er in 40? = 5 rest 5 4. hoeveel (noemer) past er in (restgetal x10)
Hoeveel zevens gaan er in 50? = 7 rest 1 5. Hier houdt je weer een restgetal over en die
Hoeveel zevens gaan er in 10? = 1 rest 3 doe je weer x 10 en je stelt de vraag opnieuw.
Bij een repeterende breuk kun je eindeloos 6. Door blijven gaan tot je niet meer verder
doorgaan. kunt of tot je het repetendum hebt gevonden.
0,428571 7.De getallen voor het woord ‘rest’ zet je
achter elkaar en zo krijg je het antwoord.
Van kommagetal naar breuk
• Bij niet repeterende breuken: Bijvoorbeeld 3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 3
38/250 = 3 19/125 (door vereenvoudigen). Je schrijft het getal dus als een tiendelige breuk die je
verder vereenvoudigt.
,• Bij een repeterende breuk (dit is een handigheid): vermenigvuldig het gezochte getal zo vaak met
10 als het repetendum lang is. Bijvoorbeeld bij 1/7: 0,142857142857 = 6 cijfers, dus het gezochte
getal x 1.000.000. Trek van deze uitkomst de gezochte breuk af, dan verwijden de decimalen.
Bijvoorbeeld: 0,142857142857 x 1.000.000 = 142857,142857 hier haal je 1/7 (dus 0,142857)
vanaf, dan krijg je 142857. Zo verdwijnen de decimalen. Dit is de teller. De noemer wordt dan
1.000.000 – 7 = 999.999 (je trekt er namelijk 1/7 vanaf, omdat je dit al eerder ook hebt gedaan
om de decimalen te laten verdwijnen).
Operator = Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Bijvoorbeeld 3/5 geeft aan dat
het geheel door 5 gedeeld wordt en dan x 3. Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator
zijn. Een percentage geeft altijd een gegeven aan en is dus altijd een operator.
2. Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
2.1.1 Evenredige verbanden
• Recht evenredig verband = Een verhouding tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot of
klein wordt, het andere getal dat ook wordt. Bijvoorbeeld een verhouding tussen prijs en
gewicht.
• Naar rato stijgen = in verhouding stijgen.
• Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Verhoudingen maken vergelijken mogelijk.
• Percentages zijn gestandaardiseerde verhoudingen: het totaal is op 100 gesteld. Bij niet
gestandaardiseerde verhoudingen kan get totaal op van alles gesteld zijn zoals 2 op de 7. Dit is
lastiger te vergelijken dan procenten.
• Kwalitatieve verhoudingen= Als het geen getal te pas komt, de verhouding is in woorden.
• Kwantitatieve verhouding = De verhouding wordt uitgedrukt in 1 of meer getallen.
• Een kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband. Een meetkundige verhouding is
altijd kwalitatief.
• Interne verhouding = als één verhouding één grootheid of eenheid betreft. Bijvoorbeeld: 1 op de
4 studenten.
• Externe verhouding = Betreft twee verschillende grootheden. Bijvoorbeeld afgelegde afstand in
een bepaalde tijd.
• Verhoudingsdeling = deeltal en deler representeren hetzelfde. Bijvoorbeeld: hoeveel groepjes
van 4 snoepjes kan je met 12 snoepjes maken? 12 snoepjes : 4 snoepjes = 3 groepjes. (interne
verhouding)
• Verdelingsdeling = Deeltal en deler representeren iets anders. Bijvoorbeeld: 3 kinderen verdelen
12 snoepjes. Hoeveel snoepjes krijgt ieder kind? 12 snoepjes : 3 kinderen = 4 snoepjes. (externe
verhouding)
• Lineair verband = een verband tussen twee grootheden dat in een grafiek een rechte lijn heeft.
Gaat de grafiek door de oorsprong, dan is het verband een evenredig verband, ofwel een
verhouding.
, 2.1.2 Niet evenredige verbanden
Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding. Verbanden tussen lengte,
oppervlakte en inhoud zijn geen verhoudingen. Verdubbelen wordt dan: De lengte = L² oppervlakte is
o4 en inhoud = i8
Als je iets vergroot wat zowel lengte, oppervlakte als inhoud heeft,
dan is dit geen verhouding. Een kubus twee keer zo groot maken, betekent dat niet alleen zijn
lengte vergroot wordt, maar ook de breedte en de inhoud, anders heb je geen kubus meer. De
lengte wordt twee keer zo groot, en de oppervlakte wordt in 2 richtingen verdubbeld: in de
lengte en in de breedte. De oppervlakte wordt dus vier keer zo groot. De inhoud wordt in drie
richtingen verdubbeld: in de lengte, diepte en hoogte. Dus de inhoud wordt 8 keer zo groot.
Er zijn ook verbanden die wel evenredig zijn, maar geen verhouding zijn: omgekeerd evenredige
verbanden. Bijvoorbeeld het verband tussen snelheid en tijd: hoe sneller je fietst, hoe minder tijd het
kost.
2.1.3 Bijzondere verhoudingen
Gulden snede = een lijnstuk (bv. Rechthoek) zo in tweeën delen, dat de verhouding van het kleinste
deel t.o.v. het grootste deel, dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk.
Het precieze verhoudingsgetal heeft een oneindig aantal decimalen en wordt aangeduid als Φ phi.
• Pi π: als je de omtrek van een cirkel deelt door de diameter, komt er altijd hetzelfde getal uit:
22/7, ofwel 3,1415926….
• Irrationeel getal = getal met oneindig veel decimalen, zonder een regelmaat (geen repeterende
getallen).
Omtrek van een cirkel berekenen:
Straal (r) = de afstand tussen middelpunt en de cirkellijn
Diameter = de doorsnede van een cirkel
1. Omtrek van een cirkel is π (3.14) x diameter
2. OF 2 x π (3.14) x de straal
2.1.4 Wiskundetaal bij verhoudingen
• Verhoudingen kunnen met woorden en getallen worden aangeduid. Iets is naar of in verhouding.
• Formele verhoudingstaal is 1 op de 4 of 1 op de 4, 1 staat tot 4
• Formele notatie: 1:4, ¼, 25%
• In groep 3 /4 komen getalsmatige verhoudingen voor het eerst aan de orde, in kwalitatieve
vergelijkingen (ik ben groter dan jij). In de bovenbouw wordt formele notatie geïntroduceerd.
2.2 Verhoudingen in de basisschool
• Verhoudingen in groep 1 t/m 4 vooral informeel, vanaf groep 5 steeds nadrukkelijker en
formeler.
Verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
Zanten, Bergh, Brom-Snijders & Hutten
Tweede druk, 2014
, 1. Samenhang
1.1 Verhoudingen zijn de basis
1.1.1 Overeenkomsten
• Bij ieder domein kun je een relatief aspect onderscheiden: kommagetallen zijn decimale
breuken; breuken en procenten kunnen beiden een verhouding aangeven; breuken en komma
getallen kom je tegen als meetinstrumenten.
• Een percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en geheel dat op 100 is gesteld en een
breuk tussen een deel en een geheel (het geheel is 1).
• Verschillen: de domeinen kennen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit:
geld = een kommagetal, en procenten bijvoorbeeld bij kortingen en rente.
1.1.2 Absoluut en relatief
• Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of getallen verwijzen.
• Relatieve gegevens zijn hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke aantal aan kunt aflezen (bijvoorbeeld verhoudingen).
1.2 Onderlinge relaties
1.2.1 Begrip
• Rationeel getal = alle getallen die je als breuk kunt schrijven (dus ook hele getallen).
• Natuurlijke getallen = alle getallen hoger of gelijk aan 0, zonder kommagetal.
• Gehele getallen = onder, boven en gelijk aan 0, zonder decimalen achter de komma.
Natuurlijke getallen, gehele getallen en breuken zijn rationale getallen.
Van breuk naar kommagetal:
Sommige breuken omgezet in kommagetallen gaan zich herhalen. Bijvoorbeeld 1/7 =
0,142857142857…..enz. De breuk 1/7 wordt een repeterende breuk genoemd en de sliert (de cijfers
achter de komma) heet het repetendum.
Zo verander je een breuk in een kommagetal: 1.Hoeveel van het onderste getal (de noemer)
Voorbeeld: 3/7 veranderen in een kommagetal: passen er in het bovenste getal (de teller)?
Hoeveel zevens gaan er in 3? = 0 rest 3 2. Het antwoord is meestal 0 rest … (wat houd
Hoeveel zevens gaan er in 30? = 4 rest 2 je over.
Hoeveel zevens gaan er in 20? = 2 rest 6 3. Het restgetal doe je x 10 en je stelt de vraag
Hoeveel zevens gaan er in 60? = 8 rest 4 opnieuw.
Hoeveel zevens gaan er in 40? = 5 rest 5 4. hoeveel (noemer) past er in (restgetal x10)
Hoeveel zevens gaan er in 50? = 7 rest 1 5. Hier houdt je weer een restgetal over en die
Hoeveel zevens gaan er in 10? = 1 rest 3 doe je weer x 10 en je stelt de vraag opnieuw.
Bij een repeterende breuk kun je eindeloos 6. Door blijven gaan tot je niet meer verder
doorgaan. kunt of tot je het repetendum hebt gevonden.
0,428571 7.De getallen voor het woord ‘rest’ zet je
achter elkaar en zo krijg je het antwoord.
Van kommagetal naar breuk
• Bij niet repeterende breuken: Bijvoorbeeld 3,152 = 3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 3
38/250 = 3 19/125 (door vereenvoudigen). Je schrijft het getal dus als een tiendelige breuk die je
verder vereenvoudigt.
,• Bij een repeterende breuk (dit is een handigheid): vermenigvuldig het gezochte getal zo vaak met
10 als het repetendum lang is. Bijvoorbeeld bij 1/7: 0,142857142857 = 6 cijfers, dus het gezochte
getal x 1.000.000. Trek van deze uitkomst de gezochte breuk af, dan verwijden de decimalen.
Bijvoorbeeld: 0,142857142857 x 1.000.000 = 142857,142857 hier haal je 1/7 (dus 0,142857)
vanaf, dan krijg je 142857. Zo verdwijnen de decimalen. Dit is de teller. De noemer wordt dan
1.000.000 – 7 = 999.999 (je trekt er namelijk 1/7 vanaf, omdat je dit al eerder ook hebt gedaan
om de decimalen te laten verdwijnen).
Operator = Een operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Bijvoorbeeld 3/5 geeft aan dat
het geheel door 5 gedeeld wordt en dan x 3. Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator
zijn. Een percentage geeft altijd een gegeven aan en is dus altijd een operator.
2. Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
2.1.1 Evenredige verbanden
• Recht evenredig verband = Een verhouding tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot of
klein wordt, het andere getal dat ook wordt. Bijvoorbeeld een verhouding tussen prijs en
gewicht.
• Naar rato stijgen = in verhouding stijgen.
• Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Verhoudingen maken vergelijken mogelijk.
• Percentages zijn gestandaardiseerde verhoudingen: het totaal is op 100 gesteld. Bij niet
gestandaardiseerde verhoudingen kan get totaal op van alles gesteld zijn zoals 2 op de 7. Dit is
lastiger te vergelijken dan procenten.
• Kwalitatieve verhoudingen= Als het geen getal te pas komt, de verhouding is in woorden.
• Kwantitatieve verhouding = De verhouding wordt uitgedrukt in 1 of meer getallen.
• Een kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband. Een meetkundige verhouding is
altijd kwalitatief.
• Interne verhouding = als één verhouding één grootheid of eenheid betreft. Bijvoorbeeld: 1 op de
4 studenten.
• Externe verhouding = Betreft twee verschillende grootheden. Bijvoorbeeld afgelegde afstand in
een bepaalde tijd.
• Verhoudingsdeling = deeltal en deler representeren hetzelfde. Bijvoorbeeld: hoeveel groepjes
van 4 snoepjes kan je met 12 snoepjes maken? 12 snoepjes : 4 snoepjes = 3 groepjes. (interne
verhouding)
• Verdelingsdeling = Deeltal en deler representeren iets anders. Bijvoorbeeld: 3 kinderen verdelen
12 snoepjes. Hoeveel snoepjes krijgt ieder kind? 12 snoepjes : 3 kinderen = 4 snoepjes. (externe
verhouding)
• Lineair verband = een verband tussen twee grootheden dat in een grafiek een rechte lijn heeft.
Gaat de grafiek door de oorsprong, dan is het verband een evenredig verband, ofwel een
verhouding.
, 2.1.2 Niet evenredige verbanden
Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding. Verbanden tussen lengte,
oppervlakte en inhoud zijn geen verhoudingen. Verdubbelen wordt dan: De lengte = L² oppervlakte is
o4 en inhoud = i8
Als je iets vergroot wat zowel lengte, oppervlakte als inhoud heeft,
dan is dit geen verhouding. Een kubus twee keer zo groot maken, betekent dat niet alleen zijn
lengte vergroot wordt, maar ook de breedte en de inhoud, anders heb je geen kubus meer. De
lengte wordt twee keer zo groot, en de oppervlakte wordt in 2 richtingen verdubbeld: in de
lengte en in de breedte. De oppervlakte wordt dus vier keer zo groot. De inhoud wordt in drie
richtingen verdubbeld: in de lengte, diepte en hoogte. Dus de inhoud wordt 8 keer zo groot.
Er zijn ook verbanden die wel evenredig zijn, maar geen verhouding zijn: omgekeerd evenredige
verbanden. Bijvoorbeeld het verband tussen snelheid en tijd: hoe sneller je fietst, hoe minder tijd het
kost.
2.1.3 Bijzondere verhoudingen
Gulden snede = een lijnstuk (bv. Rechthoek) zo in tweeën delen, dat de verhouding van het kleinste
deel t.o.v. het grootste deel, dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk.
Het precieze verhoudingsgetal heeft een oneindig aantal decimalen en wordt aangeduid als Φ phi.
• Pi π: als je de omtrek van een cirkel deelt door de diameter, komt er altijd hetzelfde getal uit:
22/7, ofwel 3,1415926….
• Irrationeel getal = getal met oneindig veel decimalen, zonder een regelmaat (geen repeterende
getallen).
Omtrek van een cirkel berekenen:
Straal (r) = de afstand tussen middelpunt en de cirkellijn
Diameter = de doorsnede van een cirkel
1. Omtrek van een cirkel is π (3.14) x diameter
2. OF 2 x π (3.14) x de straal
2.1.4 Wiskundetaal bij verhoudingen
• Verhoudingen kunnen met woorden en getallen worden aangeduid. Iets is naar of in verhouding.
• Formele verhoudingstaal is 1 op de 4 of 1 op de 4, 1 staat tot 4
• Formele notatie: 1:4, ¼, 25%
• In groep 3 /4 komen getalsmatige verhoudingen voor het eerst aan de orde, in kwalitatieve
vergelijkingen (ik ben groter dan jij). In de bovenbouw wordt formele notatie geïntroduceerd.
2.2 Verhoudingen in de basisschool
• Verhoudingen in groep 1 t/m 4 vooral informeel, vanaf groep 5 steeds nadrukkelijker en
formeler.
