1. Propositielogica
Talen
Natuurlijke talen:
- Engels, Nederlands
- Niet precies
Formele talen:
- Computertaal, logisch
- Wel precies
Tekens
Alfabet en proposities
- Het alfabet is de verzameling ∑ ≔ A ∪ V ∪ H
Hiermee kunnen woorden uit deze taal als volgt worden opgebouwd:
- Een atoom is een woord
- Als 𝑓 en 𝑔 woorden zijn, dan zijn (𝑓 ∧ 𝑔), (𝑓 ∨ 𝑔), (𝑓 → 𝑔), (𝑓 ↔ 𝑔) en ¬𝑓 woorden
- Alle woorden worden op deze manier gevormd
De woorden van deze taal noemen we proposities
Afspraken propositielogica
- Buitenste haakjes kan je weglaten, binnenste niet
Afspraak:
- ¬ bindt sterker dan ∧
- ∧ bindt sterker dan ∨
- ∨ bindt sterker dan →
- →bindt sterker dan ↔
Als je er een rangorde van maakt krijg je:
1. ¬
2. ∧
3. ∨
4. →
5. ↔
,Associativiteit
Alle voegtekens zijn rechts associatief, dus 𝐴 𝑣 𝐵 𝑣 C wordt 𝐴 𝑣 (𝐵 𝑣 C)
Waarheidstabellen
Tabel van ∧
Tabel van ∨
Tabel van ¬
Tabel van →
Toelichting bij tabel
, Tabel van ↔
De formule 𝑥 ↔ 𝑦 is ook te schrijven als (𝑥 → 𝑦) ∧ (𝑦 → 𝑥) of als (𝑥 ∨ 𝑦) → (𝑥 ∧ 𝑦)
Waardetoekenning
Een model in de propositielogica is een waardentoekenning of valuatie van de atomen
Om de waarde van een propositie 𝑓 te bepalen hoeven we niet de waarden van alle atomen te
weten, maar alleen van de atomen die in 𝑓 voorkomen
- We zullen daarom een model vaak gelijkstellen aan een eindige waardentoekenning
Tautologie/Logisch waar/Logisch gevolg
Als een propositie waar is in ieder model (waarheidstabel heeft alleen maar 1-en) is de propositie
logisch waar (logisch ware propositie wordt ook tautologie genoemd)
- Notatie logisch waar: ⊨ 𝑓
- Notatie niet logisch waar: ⊭ 𝑓
Logisch equivalent
Twee proposities zijn logisch equivalent als 𝑓 waar is in een model, dan en slechts dan als 𝑔 waar is in
dat model
- Notatie: 𝑓 ≡ 𝑔
Voorbeeld: 𝑎 ∧ 𝑎 is logisch equivalent met 𝑎, dus 𝑎 ∧ 𝑎 ≡ 𝑎
Wetten van De Morgan:
- ¬(𝑓 ∧ 𝑔) ≡ ¬𝑓 ∨ ¬ 𝑔
- ¬(𝑓 ∨ 𝑔) ≡ ¬𝑓 ∧ ¬ 𝑔
Is eigenlijk wiskunde papagaaienbek methode
Talen
Natuurlijke talen:
- Engels, Nederlands
- Niet precies
Formele talen:
- Computertaal, logisch
- Wel precies
Tekens
Alfabet en proposities
- Het alfabet is de verzameling ∑ ≔ A ∪ V ∪ H
Hiermee kunnen woorden uit deze taal als volgt worden opgebouwd:
- Een atoom is een woord
- Als 𝑓 en 𝑔 woorden zijn, dan zijn (𝑓 ∧ 𝑔), (𝑓 ∨ 𝑔), (𝑓 → 𝑔), (𝑓 ↔ 𝑔) en ¬𝑓 woorden
- Alle woorden worden op deze manier gevormd
De woorden van deze taal noemen we proposities
Afspraken propositielogica
- Buitenste haakjes kan je weglaten, binnenste niet
Afspraak:
- ¬ bindt sterker dan ∧
- ∧ bindt sterker dan ∨
- ∨ bindt sterker dan →
- →bindt sterker dan ↔
Als je er een rangorde van maakt krijg je:
1. ¬
2. ∧
3. ∨
4. →
5. ↔
,Associativiteit
Alle voegtekens zijn rechts associatief, dus 𝐴 𝑣 𝐵 𝑣 C wordt 𝐴 𝑣 (𝐵 𝑣 C)
Waarheidstabellen
Tabel van ∧
Tabel van ∨
Tabel van ¬
Tabel van →
Toelichting bij tabel
, Tabel van ↔
De formule 𝑥 ↔ 𝑦 is ook te schrijven als (𝑥 → 𝑦) ∧ (𝑦 → 𝑥) of als (𝑥 ∨ 𝑦) → (𝑥 ∧ 𝑦)
Waardetoekenning
Een model in de propositielogica is een waardentoekenning of valuatie van de atomen
Om de waarde van een propositie 𝑓 te bepalen hoeven we niet de waarden van alle atomen te
weten, maar alleen van de atomen die in 𝑓 voorkomen
- We zullen daarom een model vaak gelijkstellen aan een eindige waardentoekenning
Tautologie/Logisch waar/Logisch gevolg
Als een propositie waar is in ieder model (waarheidstabel heeft alleen maar 1-en) is de propositie
logisch waar (logisch ware propositie wordt ook tautologie genoemd)
- Notatie logisch waar: ⊨ 𝑓
- Notatie niet logisch waar: ⊭ 𝑓
Logisch equivalent
Twee proposities zijn logisch equivalent als 𝑓 waar is in een model, dan en slechts dan als 𝑔 waar is in
dat model
- Notatie: 𝑓 ≡ 𝑔
Voorbeeld: 𝑎 ∧ 𝑎 is logisch equivalent met 𝑎, dus 𝑎 ∧ 𝑎 ≡ 𝑎
Wetten van De Morgan:
- ¬(𝑓 ∧ 𝑔) ≡ ¬𝑓 ∨ ¬ 𝑔
- ¬(𝑓 ∨ 𝑔) ≡ ¬𝑓 ∧ ¬ 𝑔
Is eigenlijk wiskunde papagaaienbek methode
