4 Trillingen
4.1 Eigenschappen van trillingen
A 1
a Een trilling is een periodieke beweging rondom een evenwichtsstand.
b De periode van een trilling is de tijd die één volledige op-en-neer-beweging (of heen-en-
weer-beweging) duurt.
c De uitwijking van een trilling is de afstand tot de evenwichtsstand.
d De amplitude van een trilling is de maximale uitwijking.
e De trillingstijd van een trilling is de tijd die één volledige trilling duurt.
f De frequentie van een trilling is het aantal trillingen dat er per seconde wordt uitgevoerd.
g De fase van een trilling is het aantal uitgevoerde trillingen.
h De gereduceerde fase van een trilling is het aantal trillingen dat een trillend voorwerp
heeft gemaakt sinds het voor het laatst door de evenwichtsstand naar rechts (of om-
hoog) is gegaan.
A 2
a u=0
b u = 45 cm of u = −45 cm
c u = 45 cm of u = −45 cm
d u=0
e De uitwijking u kan waarden hebben tussen – A en A, dus tussen − 45 cm en + 45 cm.
Het kan dus wel − 30 cm (B) en + 30 cm (C) zijn, maar niet − 60 cm (A) of + 60 cm (D).
A 3
a In woorden: de trillingstijd is het omgekeerde van de frequentie of: de frequentie is het
omgekeerde van de trillingstijd.
1 1
In formulevorm: T = of f = .
f T
b De trillingstijd en de frequentie van een trilling zijn omgekeerd evenredig met elkaar, dus
als de trillingstijd twee keer zo groot wordt, wordt de frequentie twee keer zo klein.
B 4
a Dat de uitwijking op een gegeven moment 1,5 cm is. Meestal worden positieve getallen
gebruikt om een uitwijking naar boven (of naar rechts) aan te geven.
Dus het totale antwoord luidt: de uitwijking is 1,5 cm naar boven (of naar rechts).
Of: het blokje bevindt zich 1,5 cm boven (of rechts van) de evenwichtsstand.
b De uitwijking is nu 2,3 cm naar beneden of: het blokje bevindt zich 2,3 cm onder de
evenwichtsstand.
c De amplitude (de maximale uitwijking) is 4,0 cm of: het blokje trilt tussen 4,0 cm onder
de evenwichtsstand en 4,0 cm boven de evenwichtsstand.
d De fase is 2,75, dat betekent dat het voorwerp in de uiterste stand beneden zit.
Of: het blokje heeft na de eerste maal door de evenwichtsstand omhoog te zijn gegaan
2,75 trillingen doorlopen.
e Het blokje heeft een halve trilling doorlopen sinds het voor het laatst door de evenwichts-
stand omhoog is gegaan (en gaat dus door de evenwichtsstand omlaag).
f f = 2,5 Hz
1 1
g T= = = 0,40 s
f 2,5
h Je meet dan de tijd van 10 trillingstijden, dus t = 10 ∙ T = 10 × 0,40 s = 4,0 s (of iets in
de buurt door een meetonnauwkeurigheid).
76 | Hoofdstuk 4 © Noordhoff Uitgevers bv
, B 5
1 1
a T= = = 2,86 s = 2,9 s.
f 0,35
b Het kind maakt dus 0,35 trillingen in 1 seconde.
In 8,0 seconde is dat dus 8,0 × zoveel: 8,0 × 0,35 = 2,8 trillingen.
8,0
Alternatieve methode: in 8,0 seconden voert het kind = 2,8 trillingen uit.
2,86
c In 16 seconden voert het kind dan twee maal zoveel trillingen uit, dus 2 × 2,8 = 5,6.
De gereduceerde fase is dan dus 0,6 (mits met fase 0 begonnen).
B 6
15
a dobber: T= = 0,43 s
35
30
slinger: T= = 2,1 s
14
35
b dobber: f= = 2,3 Hz
15
14
slinger: f= = 0,47 Hz
30
c dobber: f · T = 0,43… × 2,3333.. = 1,0
slinger: f · T = 2,1… × 0,4666.. = 1,0
d Deze formule kun je ook schrijven als: f · T = 1. Dus altijd als je f en T met elkaar
vermenigvuldigt, komt daar 1 uit. Je moet dan wel rekenen met niet-afgeronde waardes!
B 7
1,0
a In 1,0 s vinden = 8,0 trillingen plaats.
0,125
b De frequentie is het aantal trillingen per seconde, dus f = 8,0 Hz.
1 1
c f= = = 8,00 Hz. Het antwoord is dus gelijk aan dat op vraag b.
T 0,125
d Van de ene naar de andere uiterste stand en weer terug is één trillingstijd; alléén heen is
dus een halve trillingstijd. Er verstrijkt dus ∆t = ½ T = ½ × 0,125 = 0,0625 s.
∆t 0,0625
e ∆ϕ = = = 0,500
T 0,125
f Als het blad op een bepaald moment in de bovenste uiterste stand is, is het niet alleen
½ T later, maar ook 1½ T, 2½ T, 3½ T, enzovoorts in de onderste uiterste stand. Als je
dus niet ‘eerstvolgende’ noemt, kan het tijdverschil ook al deze waarden hebben.
g Nee, dat zou dan niet nodig geweest zijn, want of het faseverschil ∆ϕ nu gelijk is aan ½,
1½, 2½ of 3½, voor het gereduceerde faseverschil geldt dan toch steeds ∆ϕr = ½.
B 8
20
A f= = 1,3 Hz
15
140
B f= = 2,33 Hz
60
850
C f= = 12 Hz
70
A–B–C
© Noordhoff Uitgevers bv Trillingen | 77
, C 9
a f = 96,8 MHz = 96,8 ∙ 106 Hz
1 1
T= = = 1,03 · 10−8 s (= 10,3 ns)
f 96,8 ∙ 106
b T = 1432 µs = 1432 ∙ 10−6 s
1 1
f= = = 698,3 Hz
T 1432 ∙ 10−6
c Deze frequentie komt overeen met de f2 op het toetsenbord.
C 10
a In de uiterste stand van een trilling keert het trillend voorwerp van bewegingsrichting om;
de snelheid is dan even gelijk aan nul.
b Synchroon betekent gelijktijdig.
c Ja, ze gaan steeds tegelijkertijd door de evenwichtsstand omhoog, zijn tegelijkertijd in
de uiterste stand boven, enzovoorts. Dan zijn hun gereduceerde fasen steeds gelijk.
d Nee, de fasen hoeven niet steeds gelijk te zijn. Myra kan bijvoorbeeld al drie sprongen
hebben gemaakt voordat Natasha begon mee te doen. De fase van Myra is en blijft dan
voortdurend drie groter dan die van Natasha.
e De gereduceerde fase is nul als ze door de evenwichtsstand omhoog gaan. Driekwart
trilling later bevinden ze zich in de uiterste stand beneden.
f In termen van de fase betekent synchroon dat het gereduceerde faseverschil nul is.
C 11
a Om de afstand tussen de linker- en rechter uiterste stand te meten, moet je links en
rechts hetzelfde punt nemen, bijvoorbeeld de linkerkant van de gele schijf. In de foto is
de afstand 5,2 cm, in werkelijkheid dus 5 × 5,2 = 26 cm. De amplitude (afstand van
uiterste stand tot evenwichtsstand) is dus 13 cm.
b In de figuur kun je tellen dat de stroboscoop 9 keer geflitst heeft. Er zijn dus 8 intervallen
tussen de flitsen verstreken. De frequentie is 10,0 Hz, dus de tijd tussen twee flitsen is
1
= 0,100 s.
10,0
De beweging van rechts naar links duurt dus: 8 × 0,100 = 0,800 s.
De beweging van rechts naar links is echter maar een halve slingerbeweging.
Je moet die 0,800 s dus nog met twee vermenigvuldigen. Eindantwoord: T = 1,60 s.
D 12
1 1
a T= = = 1,22 s
f 0,82
Als het blokje voor de tweede keer door de evenwichtsstand omhoog gaat, heeft het:
– één hele trilling gemaakt, dan is het weer in de uiterste stand boven;
– daarna een halve trilling gemaakt, dan is het in de uiterste stand beneden;
– tot slot een kwart trilling gemaakt van de onderste uiterste stand tot de
evenwichtsstand.
In totaal heeft het blokje dus 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75 trilling gemaakt.
t = 1,75 × T = 1,75 × 1,22 = 2,1 s
b De snelheid is nul in elke uiterste stand. De eerste uiterste stand is na ½T, dus na
0,61 s, de tweede na 1T, dus na 1,22 s, de derde na 1½T, dus na 1,83 s. De volgende
keer (na 2T = 2,44 s) valt na het antwoord van a (2,1 s). Het antwoord is dus: drie keer.
(NB.: t = 0 s telt niet mee, want er staat ‘tussen t = 0 s en …’).
c Tussen het door de evenwichtsstand omhoog gaan en de uiterste stand boven verstrijkt
een kwart trilling, dus ϕ 0 = ¼.
d ϕ = f ∙ t + ϕ 0 = 0,82 × 2,00 + 0,25 = 1,64 + 0,25 = 1,89 = 1,9
78 | Hoofdstuk 4 © Noordhoff Uitgevers bv
4.1 Eigenschappen van trillingen
A 1
a Een trilling is een periodieke beweging rondom een evenwichtsstand.
b De periode van een trilling is de tijd die één volledige op-en-neer-beweging (of heen-en-
weer-beweging) duurt.
c De uitwijking van een trilling is de afstand tot de evenwichtsstand.
d De amplitude van een trilling is de maximale uitwijking.
e De trillingstijd van een trilling is de tijd die één volledige trilling duurt.
f De frequentie van een trilling is het aantal trillingen dat er per seconde wordt uitgevoerd.
g De fase van een trilling is het aantal uitgevoerde trillingen.
h De gereduceerde fase van een trilling is het aantal trillingen dat een trillend voorwerp
heeft gemaakt sinds het voor het laatst door de evenwichtsstand naar rechts (of om-
hoog) is gegaan.
A 2
a u=0
b u = 45 cm of u = −45 cm
c u = 45 cm of u = −45 cm
d u=0
e De uitwijking u kan waarden hebben tussen – A en A, dus tussen − 45 cm en + 45 cm.
Het kan dus wel − 30 cm (B) en + 30 cm (C) zijn, maar niet − 60 cm (A) of + 60 cm (D).
A 3
a In woorden: de trillingstijd is het omgekeerde van de frequentie of: de frequentie is het
omgekeerde van de trillingstijd.
1 1
In formulevorm: T = of f = .
f T
b De trillingstijd en de frequentie van een trilling zijn omgekeerd evenredig met elkaar, dus
als de trillingstijd twee keer zo groot wordt, wordt de frequentie twee keer zo klein.
B 4
a Dat de uitwijking op een gegeven moment 1,5 cm is. Meestal worden positieve getallen
gebruikt om een uitwijking naar boven (of naar rechts) aan te geven.
Dus het totale antwoord luidt: de uitwijking is 1,5 cm naar boven (of naar rechts).
Of: het blokje bevindt zich 1,5 cm boven (of rechts van) de evenwichtsstand.
b De uitwijking is nu 2,3 cm naar beneden of: het blokje bevindt zich 2,3 cm onder de
evenwichtsstand.
c De amplitude (de maximale uitwijking) is 4,0 cm of: het blokje trilt tussen 4,0 cm onder
de evenwichtsstand en 4,0 cm boven de evenwichtsstand.
d De fase is 2,75, dat betekent dat het voorwerp in de uiterste stand beneden zit.
Of: het blokje heeft na de eerste maal door de evenwichtsstand omhoog te zijn gegaan
2,75 trillingen doorlopen.
e Het blokje heeft een halve trilling doorlopen sinds het voor het laatst door de evenwichts-
stand omhoog is gegaan (en gaat dus door de evenwichtsstand omlaag).
f f = 2,5 Hz
1 1
g T= = = 0,40 s
f 2,5
h Je meet dan de tijd van 10 trillingstijden, dus t = 10 ∙ T = 10 × 0,40 s = 4,0 s (of iets in
de buurt door een meetonnauwkeurigheid).
76 | Hoofdstuk 4 © Noordhoff Uitgevers bv
, B 5
1 1
a T= = = 2,86 s = 2,9 s.
f 0,35
b Het kind maakt dus 0,35 trillingen in 1 seconde.
In 8,0 seconde is dat dus 8,0 × zoveel: 8,0 × 0,35 = 2,8 trillingen.
8,0
Alternatieve methode: in 8,0 seconden voert het kind = 2,8 trillingen uit.
2,86
c In 16 seconden voert het kind dan twee maal zoveel trillingen uit, dus 2 × 2,8 = 5,6.
De gereduceerde fase is dan dus 0,6 (mits met fase 0 begonnen).
B 6
15
a dobber: T= = 0,43 s
35
30
slinger: T= = 2,1 s
14
35
b dobber: f= = 2,3 Hz
15
14
slinger: f= = 0,47 Hz
30
c dobber: f · T = 0,43… × 2,3333.. = 1,0
slinger: f · T = 2,1… × 0,4666.. = 1,0
d Deze formule kun je ook schrijven als: f · T = 1. Dus altijd als je f en T met elkaar
vermenigvuldigt, komt daar 1 uit. Je moet dan wel rekenen met niet-afgeronde waardes!
B 7
1,0
a In 1,0 s vinden = 8,0 trillingen plaats.
0,125
b De frequentie is het aantal trillingen per seconde, dus f = 8,0 Hz.
1 1
c f= = = 8,00 Hz. Het antwoord is dus gelijk aan dat op vraag b.
T 0,125
d Van de ene naar de andere uiterste stand en weer terug is één trillingstijd; alléén heen is
dus een halve trillingstijd. Er verstrijkt dus ∆t = ½ T = ½ × 0,125 = 0,0625 s.
∆t 0,0625
e ∆ϕ = = = 0,500
T 0,125
f Als het blad op een bepaald moment in de bovenste uiterste stand is, is het niet alleen
½ T later, maar ook 1½ T, 2½ T, 3½ T, enzovoorts in de onderste uiterste stand. Als je
dus niet ‘eerstvolgende’ noemt, kan het tijdverschil ook al deze waarden hebben.
g Nee, dat zou dan niet nodig geweest zijn, want of het faseverschil ∆ϕ nu gelijk is aan ½,
1½, 2½ of 3½, voor het gereduceerde faseverschil geldt dan toch steeds ∆ϕr = ½.
B 8
20
A f= = 1,3 Hz
15
140
B f= = 2,33 Hz
60
850
C f= = 12 Hz
70
A–B–C
© Noordhoff Uitgevers bv Trillingen | 77
, C 9
a f = 96,8 MHz = 96,8 ∙ 106 Hz
1 1
T= = = 1,03 · 10−8 s (= 10,3 ns)
f 96,8 ∙ 106
b T = 1432 µs = 1432 ∙ 10−6 s
1 1
f= = = 698,3 Hz
T 1432 ∙ 10−6
c Deze frequentie komt overeen met de f2 op het toetsenbord.
C 10
a In de uiterste stand van een trilling keert het trillend voorwerp van bewegingsrichting om;
de snelheid is dan even gelijk aan nul.
b Synchroon betekent gelijktijdig.
c Ja, ze gaan steeds tegelijkertijd door de evenwichtsstand omhoog, zijn tegelijkertijd in
de uiterste stand boven, enzovoorts. Dan zijn hun gereduceerde fasen steeds gelijk.
d Nee, de fasen hoeven niet steeds gelijk te zijn. Myra kan bijvoorbeeld al drie sprongen
hebben gemaakt voordat Natasha begon mee te doen. De fase van Myra is en blijft dan
voortdurend drie groter dan die van Natasha.
e De gereduceerde fase is nul als ze door de evenwichtsstand omhoog gaan. Driekwart
trilling later bevinden ze zich in de uiterste stand beneden.
f In termen van de fase betekent synchroon dat het gereduceerde faseverschil nul is.
C 11
a Om de afstand tussen de linker- en rechter uiterste stand te meten, moet je links en
rechts hetzelfde punt nemen, bijvoorbeeld de linkerkant van de gele schijf. In de foto is
de afstand 5,2 cm, in werkelijkheid dus 5 × 5,2 = 26 cm. De amplitude (afstand van
uiterste stand tot evenwichtsstand) is dus 13 cm.
b In de figuur kun je tellen dat de stroboscoop 9 keer geflitst heeft. Er zijn dus 8 intervallen
tussen de flitsen verstreken. De frequentie is 10,0 Hz, dus de tijd tussen twee flitsen is
1
= 0,100 s.
10,0
De beweging van rechts naar links duurt dus: 8 × 0,100 = 0,800 s.
De beweging van rechts naar links is echter maar een halve slingerbeweging.
Je moet die 0,800 s dus nog met twee vermenigvuldigen. Eindantwoord: T = 1,60 s.
D 12
1 1
a T= = = 1,22 s
f 0,82
Als het blokje voor de tweede keer door de evenwichtsstand omhoog gaat, heeft het:
– één hele trilling gemaakt, dan is het weer in de uiterste stand boven;
– daarna een halve trilling gemaakt, dan is het in de uiterste stand beneden;
– tot slot een kwart trilling gemaakt van de onderste uiterste stand tot de
evenwichtsstand.
In totaal heeft het blokje dus 1 + 0,5 + 0,25 = 1,75 trilling gemaakt.
t = 1,75 × T = 1,75 × 1,22 = 2,1 s
b De snelheid is nul in elke uiterste stand. De eerste uiterste stand is na ½T, dus na
0,61 s, de tweede na 1T, dus na 1,22 s, de derde na 1½T, dus na 1,83 s. De volgende
keer (na 2T = 2,44 s) valt na het antwoord van a (2,1 s). Het antwoord is dus: drie keer.
(NB.: t = 0 s telt niet mee, want er staat ‘tussen t = 0 s en …’).
c Tussen het door de evenwichtsstand omhoog gaan en de uiterste stand boven verstrijkt
een kwart trilling, dus ϕ 0 = ¼.
d ϕ = f ∙ t + ϕ 0 = 0,82 × 2,00 + 0,25 = 1,64 + 0,25 = 1,89 = 1,9
78 | Hoofdstuk 4 © Noordhoff Uitgevers bv
