Kansberekening en statistiek
Kansen weergeven
Kansen weergeef je op de volgende manier.
p(x=5) = 1/6.
Hierboven zie je het voorbeeld van de dobbelsteen. De kans dat X, dus het aantal ogen, gelijk
is aan 5 is gelijk aan 1 gedeeld door alle mogelijke kansen 6.
Alle kansen bij elkaar moeten gelijk zijn aan 1. Hierdoor kan je controleren of moeilijk
berekenbare kansen berekenen.
Je kan verschil maken tussen trekken met teruglegging en trekken zonder teruglegging.
Hiermee bedoelen we:
Trekken met teruglegging: bijv. het trekken van een bal uit een ballenbak. Elke keer als de bal
is getrokken wordt de bal weer teruggelegd in de ballenbak. Hierdoor is de tweede kans gelijk
aan de eerste kans.
Trekken zonder teruglegging: hiermee wordt bedoeld dat de bal die wordt getrokken niet meer
teruggelegd wordt. Hierdoor veranderd de kans bij de tweede keer ten opzichte van de eerste
keer.
Dit is gemakkelijk overzichtelijk te maken met een kansenboom.
De kans/waarschijnlijkheid dat iets gebeurt, definiëren we m.b.v. de begrippen:
- Uitkomstenruimte
- Gebeurtenissen
- Kans
Een statistisch (stocastisch) experiment is een experiment met een onzekere uitkomst.
Hoeveel volgordes?
Voorbeeld:
Je hebt 5 letters: A,B,C,D,E.
Hoeveel verschillende volgordes zijn er mogelijk?
5x4x3x2x1, dus 5! = 120.
Aantal manieren om een greep uit twee te doen uit 5 is:
Aantal manieren om een greep uit 3 te doen uit 5 is:
, Vereniging, doorsnede, ruimte etc.
Vereniging union: A B = {0,1,2,3,a,b,h,p,t}
A = {1,2,3,a,h,p}
B = {0,3,b,h,t}
Doorsnede intersection A B = {3,h}
De uitkomstenruimte bij een statistisch experiment is de verzameling van alle mogelijke
uitkomsten.
Ω = ruimte/space = alle mogelijke waarden.
Een gebeurtenis is een deelverzameling van Ω.
propability = kans
Mogelijkheden in de ruimte = event.
Complement = ruimte – mogelijkheden.
complement van A = Ac
Morgan heeft een aantal regels opgesteld die te maken hebben met de normale waarde en het
complement van bepaalde waarden.
Gevolgen van de definitie van kans
Sommen met het berekenen van verenigingen, complementen etc. van bijv. A,B of C is het
gemakkelijkst te berekenen door eerst een tekening te krijgen, zodat het voor je gevoel logisch
wordt.
Somregel:
P(A B) = P(A) + (B) - P(A B)
Complementregel
P(Ac) = 1 – P(A)
Monotoniciteit
Als A B dan,
P(A) ≤ P(B).
DeMorgan’s regels
Kansen weergeven
Kansen weergeef je op de volgende manier.
p(x=5) = 1/6.
Hierboven zie je het voorbeeld van de dobbelsteen. De kans dat X, dus het aantal ogen, gelijk
is aan 5 is gelijk aan 1 gedeeld door alle mogelijke kansen 6.
Alle kansen bij elkaar moeten gelijk zijn aan 1. Hierdoor kan je controleren of moeilijk
berekenbare kansen berekenen.
Je kan verschil maken tussen trekken met teruglegging en trekken zonder teruglegging.
Hiermee bedoelen we:
Trekken met teruglegging: bijv. het trekken van een bal uit een ballenbak. Elke keer als de bal
is getrokken wordt de bal weer teruggelegd in de ballenbak. Hierdoor is de tweede kans gelijk
aan de eerste kans.
Trekken zonder teruglegging: hiermee wordt bedoeld dat de bal die wordt getrokken niet meer
teruggelegd wordt. Hierdoor veranderd de kans bij de tweede keer ten opzichte van de eerste
keer.
Dit is gemakkelijk overzichtelijk te maken met een kansenboom.
De kans/waarschijnlijkheid dat iets gebeurt, definiëren we m.b.v. de begrippen:
- Uitkomstenruimte
- Gebeurtenissen
- Kans
Een statistisch (stocastisch) experiment is een experiment met een onzekere uitkomst.
Hoeveel volgordes?
Voorbeeld:
Je hebt 5 letters: A,B,C,D,E.
Hoeveel verschillende volgordes zijn er mogelijk?
5x4x3x2x1, dus 5! = 120.
Aantal manieren om een greep uit twee te doen uit 5 is:
Aantal manieren om een greep uit 3 te doen uit 5 is:
, Vereniging, doorsnede, ruimte etc.
Vereniging union: A B = {0,1,2,3,a,b,h,p,t}
A = {1,2,3,a,h,p}
B = {0,3,b,h,t}
Doorsnede intersection A B = {3,h}
De uitkomstenruimte bij een statistisch experiment is de verzameling van alle mogelijke
uitkomsten.
Ω = ruimte/space = alle mogelijke waarden.
Een gebeurtenis is een deelverzameling van Ω.
propability = kans
Mogelijkheden in de ruimte = event.
Complement = ruimte – mogelijkheden.
complement van A = Ac
Morgan heeft een aantal regels opgesteld die te maken hebben met de normale waarde en het
complement van bepaalde waarden.
Gevolgen van de definitie van kans
Sommen met het berekenen van verenigingen, complementen etc. van bijv. A,B of C is het
gemakkelijkst te berekenen door eerst een tekening te krijgen, zodat het voor je gevoel logisch
wordt.
Somregel:
P(A B) = P(A) + (B) - P(A B)
Complementregel
P(Ac) = 1 – P(A)
Monotoniciteit
Als A B dan,
P(A) ≤ P(B).
DeMorgan’s regels
