Hoofdstuk 5: Integreren en primitiveren
5.4-5.5:
Tht
-
(
"
Als P
'
'
een veriijn van p dan is Lp e Lp's Mp 's Up
Idee: als de partities steeds fijner worden (zodat de lengtes van de deelintervallen naar 0 gaan) wordt
Up’ - Lp’ kleiner, als Up’ - Lp’ -> 0 voor zo’n rij partities, dan Lp’ JI en Up II dan zeggen we dat
'
f integreerbaar is op [a,b]. Anders gezegd: als er een uniek getal I ∈ ℝ bestaat zodat voor alle partities P
geldt dat P: Lp E Is Up dan heet f integreerbaar op [a,b] en we noteren I :{ fhsdx
In dat
genal gelder dat alle Rieman som men RIE ,
P ,
9) =
¥)
,
F ( fi) ( Xi -
Xi .
.
naar I yaar
naw mate P steeds f- y ner word t
'
'
zodut Dxi -
-
Xi -
Xi
-
i → 0 #
{ FHS dir
Er geldt:
etc .
1. als f continue op [a,b] is, dan is f integreerbaar op [a,b]
2. stuksgewijs continue functies (functies met oneindig veel discontinuïteiten) zijn ook integreerbaar ÷ .
{
→ brews
3 .
5. (x) =
T his × E ① a b
f is niet continue
,
op elke x c- Coi)
-
(o D als
op ,
O
XEIQ hewn partite P : Lp=o Up T
een → Lps Is Up
-
-
,
is Iris niet integreerbaar ← maar NIET unie.hr
•
Ir i r r r I
irreg s J
{
h O ab
xf Q Er geldt: 1. f is continue in elke a ∈ Q, niet continue voor a niet ∈ Q
.
Elba
J! FG)
t
q
ab X e Q
,
x: Pq (p , que Klein 2. f is integreerbaar en dx - O
Moseby't)
'
↳ meester unctiewaurden Klein
-
,Eigenschappen f,g integreerbaar op [a,b]
1. Als f(x)>0 voor alle x ∈ [a,b] dan is
- b) flxsdx so
(als f continue is, stelt dit de oppervlakte voor van het vlakdeel tussen de x-as, de grafiek van f,
en de lijnen x=a en x=b)
2.
{ ( kfcxstprg dx : k
Flxsdxtpugghsdx als k.me/RCsomreyeD
3 . as aeceb darn
§fHdx= § Far)dx t
§ TH de
(3) we
kunnendetigiejren §fHdx= I -
Fhsdx ( darn It ! -
- o
-
-
I
t . ab f EGGS doin
§ jlx ) Ux E § gcxsdx
b
driehoeksongeliikheid
voor integration :
§ §F↳dsE&lpC ld×
(4)
{
If Isf
[ IF
er geht
-
EIFCXH
Cnl .
-
lute a Elul voor alle a EIR)
→ IF the 5- ( di E lax →
Berekening van integralen:
f continue op [a,b] M
hf.in
M
F
T.by F dit heels de gens
-
- - - -
,
.
wuvrcte
op laid
Vann
f
"" "
Kies partite Po b
f
: - a c =x
xo ,
Lpo -
- mlb -
a) , Up .
- Mlb -
)
a
; mlb a) -
e FHdxs Mlb a) - → me # I fhsdx.cm /
Volgens de tussenwaardestelling (§1.5) voor continue functies is er een c ∈ [a,b] zodat Hd :
{ fcxsax
Let op : Xi is Vance nu hier f maar y (
§FLx)dx
/
Laut voor JE laid : F ( 5) Bewering: als f continue is op [a,b]
dan is F diff.baar op (a,b) dan F’(x)=f(x). (F is een primitieve van f)
Fly
I a.) =L )
Flt) 5th
(It!↳a×
nl
thy
Nws integrates
=L
.
I
[ ( fth 8) HD F" "
g. ↳
-
-
, ax '
"
"
J EIR 7
fth
! get
t
eigenschap 3 .
f J wuarbii Ye
F- ( 5th) -
ce fth ( or
f- ( x )
.
X th acetals heo)
( t) µg
,
lion =
Fleeting HD 5-
1¥
-
no
-
a
h
.
hoo
get
Als F een primitive van f is ,
dan is FGS . Fly) to 5- ↳ d" Fcb) ,
µ
Fcb)
} :{
Fla) o
; Flyte
ECD ELD Fk)
-
-
past Ecu,
-
. → FLD fHax= -
Fla) -
- Rust c. c
, 5.6 - f integreerbaar op [a,b] ==> f ook integreerbaar op [c,d] met U E CE de b
(5.7) ELD -
Ja pets at ( sisteron fly) : Flxsdx ) lieve r niet EH ax
F is een primitieve van f
~
- als f continue op [a,b] is dan is f integreerbaar op [a,b] en F is een primitieve van f voor F een
willekeurige primitieve F- ( )
x - Flx) -
Fla) ( ECD :{ Futuro → Fltsut -
-
Fcb) -
Fcu)
Merk op : ab f niet continue ,
dan is E i. h.cn .
hier een primitive van
f .
-
ab F in tegreerbaur is dan is Flx)= 5- Ctsdt continue ht : f begrensd op ( a. b) : LEHI E
'
E
X C- (hab) ,
xth C- (a ,b)
"
cat Gtb -
FH - Facts ate cat
x
-
che Elxth) -
Elbe Ch
( wut h to dan Ch -
Ch → O
,
volgens insluitlemma Elxth) EG) Io
lhi.gg
-
:
recht scout in we in x
f
-
links inverse h To
analog voor en
Lijst met primitieven van standaardfuncties:
1 .
Sxndx =
IT ,
t c Cnt D -
7.
Jcoshlxs -
- sinhlxs
2 . ) I dx = In IA t c G.
§
8.co#gdx=twnHtc
In ↳ de = xlnlxs -
x t c
3 . S wax =
IIE ,
te Caso ,
a # D co .
S ¥2 dx : are tanks to
4 .
I sink> dx : -
costs ax 11 .
J ydx = are sink) t c
S = arcos Cx) to
-
5 .
cos ↳ dx= sin ↳ de
6 .
fsinh ↳ = cosh de
Regel: als F een primitieve van f is dan
J flux 1- b) dx = I Fcaxtb) to
a ¥0
Toe
passing : J a¥zd×= If ¥¥ydx ta - -
a. are tan (E) t c = tuarctun (E) to
} dx=
If ax :
at -
a -
arcs in
(E) te -
- a -
arcs in
( to
5.4-5.5:
Tht
-
(
"
Als P
'
'
een veriijn van p dan is Lp e Lp's Mp 's Up
Idee: als de partities steeds fijner worden (zodat de lengtes van de deelintervallen naar 0 gaan) wordt
Up’ - Lp’ kleiner, als Up’ - Lp’ -> 0 voor zo’n rij partities, dan Lp’ JI en Up II dan zeggen we dat
'
f integreerbaar is op [a,b]. Anders gezegd: als er een uniek getal I ∈ ℝ bestaat zodat voor alle partities P
geldt dat P: Lp E Is Up dan heet f integreerbaar op [a,b] en we noteren I :{ fhsdx
In dat
genal gelder dat alle Rieman som men RIE ,
P ,
9) =
¥)
,
F ( fi) ( Xi -
Xi .
.
naar I yaar
naw mate P steeds f- y ner word t
'
'
zodut Dxi -
-
Xi -
Xi
-
i → 0 #
{ FHS dir
Er geldt:
etc .
1. als f continue op [a,b] is, dan is f integreerbaar op [a,b]
2. stuksgewijs continue functies (functies met oneindig veel discontinuïteiten) zijn ook integreerbaar ÷ .
{
→ brews
3 .
5. (x) =
T his × E ① a b
f is niet continue
,
op elke x c- Coi)
-
(o D als
op ,
O
XEIQ hewn partite P : Lp=o Up T
een → Lps Is Up
-
-
,
is Iris niet integreerbaar ← maar NIET unie.hr
•
Ir i r r r I
irreg s J
{
h O ab
xf Q Er geldt: 1. f is continue in elke a ∈ Q, niet continue voor a niet ∈ Q
.
Elba
J! FG)
t
q
ab X e Q
,
x: Pq (p , que Klein 2. f is integreerbaar en dx - O
Moseby't)
'
↳ meester unctiewaurden Klein
-
,Eigenschappen f,g integreerbaar op [a,b]
1. Als f(x)>0 voor alle x ∈ [a,b] dan is
- b) flxsdx so
(als f continue is, stelt dit de oppervlakte voor van het vlakdeel tussen de x-as, de grafiek van f,
en de lijnen x=a en x=b)
2.
{ ( kfcxstprg dx : k
Flxsdxtpugghsdx als k.me/RCsomreyeD
3 . as aeceb darn
§fHdx= § Far)dx t
§ TH de
(3) we
kunnendetigiejren §fHdx= I -
Fhsdx ( darn It ! -
- o
-
-
I
t . ab f EGGS doin
§ jlx ) Ux E § gcxsdx
b
driehoeksongeliikheid
voor integration :
§ §F↳dsE&lpC ld×
(4)
{
If Isf
[ IF
er geht
-
EIFCXH
Cnl .
-
lute a Elul voor alle a EIR)
→ IF the 5- ( di E lax →
Berekening van integralen:
f continue op [a,b] M
hf.in
M
F
T.by F dit heels de gens
-
- - - -
,
.
wuvrcte
op laid
Vann
f
"" "
Kies partite Po b
f
: - a c =x
xo ,
Lpo -
- mlb -
a) , Up .
- Mlb -
)
a
; mlb a) -
e FHdxs Mlb a) - → me # I fhsdx.cm /
Volgens de tussenwaardestelling (§1.5) voor continue functies is er een c ∈ [a,b] zodat Hd :
{ fcxsax
Let op : Xi is Vance nu hier f maar y (
§FLx)dx
/
Laut voor JE laid : F ( 5) Bewering: als f continue is op [a,b]
dan is F diff.baar op (a,b) dan F’(x)=f(x). (F is een primitieve van f)
Fly
I a.) =L )
Flt) 5th
(It!↳a×
nl
thy
Nws integrates
=L
.
I
[ ( fth 8) HD F" "
g. ↳
-
-
, ax '
"
"
J EIR 7
fth
! get
t
eigenschap 3 .
f J wuarbii Ye
F- ( 5th) -
ce fth ( or
f- ( x )
.
X th acetals heo)
( t) µg
,
lion =
Fleeting HD 5-
1¥
-
no
-
a
h
.
hoo
get
Als F een primitive van f is ,
dan is FGS . Fly) to 5- ↳ d" Fcb) ,
µ
Fcb)
} :{
Fla) o
; Flyte
ECD ELD Fk)
-
-
past Ecu,
-
. → FLD fHax= -
Fla) -
- Rust c. c
, 5.6 - f integreerbaar op [a,b] ==> f ook integreerbaar op [c,d] met U E CE de b
(5.7) ELD -
Ja pets at ( sisteron fly) : Flxsdx ) lieve r niet EH ax
F is een primitieve van f
~
- als f continue op [a,b] is dan is f integreerbaar op [a,b] en F is een primitieve van f voor F een
willekeurige primitieve F- ( )
x - Flx) -
Fla) ( ECD :{ Futuro → Fltsut -
-
Fcb) -
Fcu)
Merk op : ab f niet continue ,
dan is E i. h.cn .
hier een primitive van
f .
-
ab F in tegreerbaur is dan is Flx)= 5- Ctsdt continue ht : f begrensd op ( a. b) : LEHI E
'
E
X C- (hab) ,
xth C- (a ,b)
"
cat Gtb -
FH - Facts ate cat
x
-
che Elxth) -
Elbe Ch
( wut h to dan Ch -
Ch → O
,
volgens insluitlemma Elxth) EG) Io
lhi.gg
-
:
recht scout in we in x
f
-
links inverse h To
analog voor en
Lijst met primitieven van standaardfuncties:
1 .
Sxndx =
IT ,
t c Cnt D -
7.
Jcoshlxs -
- sinhlxs
2 . ) I dx = In IA t c G.
§
8.co#gdx=twnHtc
In ↳ de = xlnlxs -
x t c
3 . S wax =
IIE ,
te Caso ,
a # D co .
S ¥2 dx : are tanks to
4 .
I sink> dx : -
costs ax 11 .
J ydx = are sink) t c
S = arcos Cx) to
-
5 .
cos ↳ dx= sin ↳ de
6 .
fsinh ↳ = cosh de
Regel: als F een primitieve van f is dan
J flux 1- b) dx = I Fcaxtb) to
a ¥0
Toe
passing : J a¥zd×= If ¥¥ydx ta - -
a. are tan (E) t c = tuarctun (E) to
} dx=
If ax :
at -
a -
arcs in
(E) te -
- a -
arcs in
( to
