Samenvatting ‘Verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen’
Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen.
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er
verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee zeggen.
- ¼ = 0,25 = 1:4
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Overeenkomsten:
- Bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden; kommagetallen zijn decimale breuken
en breuken en procenten kunnen allebei een verhouding aangeven.
Verschillen:
- Alle domeinen kennen hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit; bij notatie
van geldbedragen gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken.
Verhoudingen, breuken en procenten gebruiken we in het dagelijks leven door elkaar. Ze worden
gebruikt om getalsmatige informatie weer te geven in bijvoorbeeld de krant.
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
- Er zijn 536 pabo studenten
Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt lezen.
- 1 op de 4 pabo studenten is man
Het verschil tussen absoluut en relatief is voor de gecijferdheid van kinderen van groot belang.
Om kinderen greep te laten krijgen hierop, is het nodig om absolute en relatieve gegevens
nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband te brengen.
- Strookmodel
Benoemd noteren helpt om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen.
- Zoveel keer raak, zoals in het volgende voorbeeld
Werkvormen om te kijken hoeveel zicht de kinderen hebben op de verhoudingen om ons heen:
- Groepsgesprek; vraag waar ze aan denken bij verhoudingen, maak een woordweb van
dagelijkse situaties die te maken hebben met verhoudingen.
- Collage; laat kinderen op zoek gaan naar verhoudingen in hun dagelijks leven en voorbeelden
meenemen. In een klassikaal gesprek kan het gaan over de betekenis van de gevonden
voorbeelden on verschillen en overeenkomsten met andere collages.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen sub domeinen.
Als leerkracht moet je bewust aandacht besteden aan betekenisverlening voor degene die er nog
moeite mee hebben.
1.2.1 Begrip
,Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken
getallen, besteden reken-wiskundemethodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen
ervan. Om de samenhang te doorzien, is het ook nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de
realiteit door elkaar voorkomen.
- Krantenartikelen
- 1/5 x 10 betekent het 1/5 deel nemen van 10
- 20% = 1/5
- 1/5 = 1 : 5
Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren, waardoor ze deze niet afzonderlijk
hoeven te leren.
Overeenkomsten en verschillen breuken en kommagetallen
Overeenkomsten:
- Betekenis; allebei gebroken getallen
- Verschijningsvorm; zowel breuken als kommagetallen kom je tegen als meetgetallen
Verschillen:
- Notatie
- Verschijningsvorm; breuken komen vaker voor als deel van een geheel of hoeveelheid,
kommagetallen bijna nooit
Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationale getallen.
Rekengetal bijvoorbeeld 0,1 = 0,10
Een nul toevoegen is voor kinderen niet makkelijk te begrijpen. Een manier om hier inzichtelijk mee
om te gaan, is het gebruiken van verschillende ondermaten; 0,1 meter is 1 decimeter.
Repeterende breuk = 0,142857142857…
Repetendum = de sliert van 1/7 is 142857
Absoluut getal = als getallen de daadwerkelijke aantallen zijn
Punt op de getallenlijn
Operator = doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs.
1.2.2 Weetjes
Declaratieve weetjes = moeten snel beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij
het redeneren en rekenen met breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen.
Formeel niveau = rekenen zonder context of verhaaltjes.
Modelondersteunend = rekenen met context of verhaaltjes.
Productief oefenen = kinderen produceren zelf opgaven (en weetjes).
, Hoofdstuk 2: Verhoudingen
2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen.
Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot / klein wordt, het andere
getal ook zoveel keer zo groot / klein wordt.
In verhouding = niet naar de absolute prijs kijken, maar naar een eenheid die je kunt vergelijken.
Naar rato = (de prijs) stijgt naar verhouding (met de hoeveelheid gewicht bijvoorbeeld).
Grootheden = lengte, gewicht, inhoud.
Maateenheid = bijvoorbeeld kilometer/uur bij snelheid.
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden.
De schaal kom je tegen bij landkaarten en plattegronden, maar ook bij speelgoed.
Een schaal geeft de verhouding aan tussen de weergave van iets en de werkelijke grootte ervan.
1 : 80 000 = 1 staat tot 80 000 = 1 cm op de kaart is in werkelijkheid 80 000 cm, dus 800 m.
Dit is een formele schaalnotatie.
Schaal is onafhankelijk van de gebruikte maateenheid.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding; het totaal is op honderd gesteld.
Bij een niet-gestandaardiseerde verhouding kan het totaal van alles zijn; 2 op 7 of 1 op de 2 miljoen.
Niet gestandaardiseerde verhoudingen zijn moeilijker te vergelijken.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te
trekken; je komt ze tegen in reclame, kunst, ect.
Kwantitatieve verhoudingen = de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen.
Kwalitatieve verhoudingen = als er geen getal aan te pas komt. Het wordt uitgedrukt in woorden.
- Is vaak in een meetkundig verband.
Het onderscheid tussen kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen wordt waargenomen en tot
uitdrukken gebracht.
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal
aan kan worden toegekend.
- Bijvoorbeeld; het aantal mannelijke en het totale aantal pabostudenten bij de verhouding ‘1
op de 4 pabostudenten is een jongen’. De eenheid is pabostudent.
Als een verhouding één grootheid of eenheid betrekt, spreek je van interne verhouding.
Een externe verhouding heeft twee verschillende grootheden.
- Bijvoorbeeld; afgelegde afstand in bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling =
- Er zijn 12 snoepjes. Hoeveel groepjes van vier snoepjes kan ik maken? Bij een
verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes) =..
De uitkomst is hier 3 groepjes (van elk vier snoepjes). Het gaat om (interne) verhouding van
het deel ten opzichte van het geheel.
Verdelingsdeling =
kommagetallen’
Hoofdstuk 1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen.
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze zien er
verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee zeggen.
- ¼ = 0,25 = 1:4
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Overeenkomsten:
- Bij ieder domein een relatief aspect onderscheiden; kommagetallen zijn decimale breuken
en breuken en procenten kunnen allebei een verhouding aangeven.
Verschillen:
- Alle domeinen kennen hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit; bij notatie
van geldbedragen gebruiken we bijvoorbeeld kommagetallen en geen breuken.
Verhoudingen, breuken en procenten gebruiken we in het dagelijks leven door elkaar. Ze worden
gebruikt om getalsmatige informatie weer te geven in bijvoorbeeld de krant.
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen verwijzen.
- Er zijn 536 pabo studenten
Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt lezen.
- 1 op de 4 pabo studenten is man
Het verschil tussen absoluut en relatief is voor de gecijferdheid van kinderen van groot belang.
Om kinderen greep te laten krijgen hierop, is het nodig om absolute en relatieve gegevens
nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband te brengen.
- Strookmodel
Benoemd noteren helpt om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen.
- Zoveel keer raak, zoals in het volgende voorbeeld
Werkvormen om te kijken hoeveel zicht de kinderen hebben op de verhoudingen om ons heen:
- Groepsgesprek; vraag waar ze aan denken bij verhoudingen, maak een woordweb van
dagelijkse situaties die te maken hebben met verhoudingen.
- Collage; laat kinderen op zoek gaan naar verhoudingen in hun dagelijks leven en voorbeelden
meenemen. In een klassikaal gesprek kan het gaan over de betekenis van de gevonden
voorbeelden on verschillen en overeenkomsten met andere collages.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen sub domeinen.
Als leerkracht moet je bewust aandacht besteden aan betekenisverlening voor degene die er nog
moeite mee hebben.
1.2.1 Begrip
,Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en gebroken
getallen, besteden reken-wiskundemethodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen
ervan. Om de samenhang te doorzien, is het ook nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de
realiteit door elkaar voorkomen.
- Krantenartikelen
- 1/5 x 10 betekent het 1/5 deel nemen van 10
- 20% = 1/5
- 1/5 = 1 : 5
Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren, waardoor ze deze niet afzonderlijk
hoeven te leren.
Overeenkomsten en verschillen breuken en kommagetallen
Overeenkomsten:
- Betekenis; allebei gebroken getallen
- Verschijningsvorm; zowel breuken als kommagetallen kom je tegen als meetgetallen
Verschillen:
- Notatie
- Verschijningsvorm; breuken komen vaker voor als deel van een geheel of hoeveelheid,
kommagetallen bijna nooit
Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationale getallen.
Rekengetal bijvoorbeeld 0,1 = 0,10
Een nul toevoegen is voor kinderen niet makkelijk te begrijpen. Een manier om hier inzichtelijk mee
om te gaan, is het gebruiken van verschillende ondermaten; 0,1 meter is 1 decimeter.
Repeterende breuk = 0,142857142857…
Repetendum = de sliert van 1/7 is 142857
Absoluut getal = als getallen de daadwerkelijke aantallen zijn
Punt op de getallenlijn
Operator = doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs.
1.2.2 Weetjes
Declaratieve weetjes = moeten snel beschikbaar zijn, zodat kinderen ze flexibel kunnen toepassen bij
het redeneren en rekenen met breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen.
Formeel niveau = rekenen zonder context of verhaaltjes.
Modelondersteunend = rekenen met context of verhaaltjes.
Productief oefenen = kinderen produceren zelf opgaven (en weetjes).
, Hoofdstuk 2: Verhoudingen
2.1.1 Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen.
Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel keer zo groot / klein wordt, het andere
getal ook zoveel keer zo groot / klein wordt.
In verhouding = niet naar de absolute prijs kijken, maar naar een eenheid die je kunt vergelijken.
Naar rato = (de prijs) stijgt naar verhouding (met de hoeveelheid gewicht bijvoorbeeld).
Grootheden = lengte, gewicht, inhoud.
Maateenheid = bijvoorbeeld kilometer/uur bij snelheid.
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden.
De schaal kom je tegen bij landkaarten en plattegronden, maar ook bij speelgoed.
Een schaal geeft de verhouding aan tussen de weergave van iets en de werkelijke grootte ervan.
1 : 80 000 = 1 staat tot 80 000 = 1 cm op de kaart is in werkelijkheid 80 000 cm, dus 800 m.
Dit is een formele schaalnotatie.
Schaal is onafhankelijk van de gebruikte maateenheid.
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding; het totaal is op honderd gesteld.
Bij een niet-gestandaardiseerde verhouding kan het totaal van alles zijn; 2 op 7 of 1 op de 2 miljoen.
Niet gestandaardiseerde verhoudingen zijn moeilijker te vergelijken.
Wanverhoudingen worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te
trekken; je komt ze tegen in reclame, kunst, ect.
Kwantitatieve verhoudingen = de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen.
Kwalitatieve verhoudingen = als er geen getal aan te pas komt. Het wordt uitgedrukt in woorden.
- Is vaak in een meetkundig verband.
Het onderscheid tussen kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen wordt waargenomen en tot
uitdrukken gebracht.
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal
aan kan worden toegekend.
- Bijvoorbeeld; het aantal mannelijke en het totale aantal pabostudenten bij de verhouding ‘1
op de 4 pabostudenten is een jongen’. De eenheid is pabostudent.
Als een verhouding één grootheid of eenheid betrekt, spreek je van interne verhouding.
Een externe verhouding heeft twee verschillende grootheden.
- Bijvoorbeeld; afgelegde afstand in bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling =
- Er zijn 12 snoepjes. Hoeveel groepjes van vier snoepjes kan ik maken? Bij een
verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes) =..
De uitkomst is hier 3 groepjes (van elk vier snoepjes). Het gaat om (interne) verhouding van
het deel ten opzichte van het geheel.
Verdelingsdeling =
