Inhoudsopgave
Samenvatting Statistiek .......................................................................................................................... 2
Week 2 ................................................................................................................................................ 2
Week 3 ................................................................................................................................................ 8
Week 4 .............................................................................................................................................. 10
Week 5 .............................................................................................................................................. 18
Week 6 .............................................................................................................................................. 27
Week 7 .............................................................................................................................................. 35
Week 8 .............................................................................................................................................. 42
Hoorcollege statistiek week 1 .............................................................................................................. 49
Hoorcollege statistiek week 2 .............................................................................................................. 56
Hoorcollege 3 week 3 ........................................................................................................................... 68
Hoorcollege week 4 Statistiek – MMC H2 ........................................................................................... 79
Hoorcollege statistiek – week 5 ........................................................................................................... 90
Hoorcollege week 6 statsitiek ............................................................................................................ 105
Hoorcollege week 7 – Statistiek ......................................................................................................... 119
Hoorcollege week 8 statistiek ............................................................................................................ 130
1
, Samenvatting Statistiek
Week 2 MMC – H8
Je neemt elke keer een steekproef, je berekent de proportie van elke steekproef, en als je hier een verdeling
van zou maken, dan krijg je een proportieverdeling. Wanneer 𝑛 groot is, dan is de verdeling ongeveer normaal
𝑝̂(1−𝑝̂) 𝑝̂(1−𝑝̂)
verdeeld → 𝑁 (𝑝, √ ). Spreiding σ𝑝̂ = √ en gemiddelde 𝜇 = 𝑝.
𝑛 𝑛
We gebruiken 𝑝̂ om 𝑝 in te schatten
𝑝 = populatie proportie van succes.
𝑋
𝑝̂ = Steekproefproportie van successen =
𝑛
𝑚= de margin of error
𝑧 ∗ = de kritieke z-waarde (tabel D)
𝑆𝐸𝑝̂ = de standaarderror van 𝑝̂
Plus 4 methode (single proportie)
Als je aantal successen en niet-successen Als je aantal successen en/of niet-successen minder
minstens 10 zijn, dan: dan 10 zijn, dan:
𝑋 𝑝̂ (1−𝑝̂) 𝑥+2 𝑝̃ (1−𝑝̃)
𝑝̂ = 𝑆𝐸𝑝̂ = √ 𝑝̃ = 𝑆𝐸𝑝̃ = √
𝑛 𝑛 𝑛+4 𝑛+4
𝑝̂ (1−𝑝̂) 𝑝̃ (1−𝑝̃)
𝑚 = 𝑧 ∗ ⋅ 𝑆𝐸𝑝̂ 𝑚 = 𝑧∗ ⋅ √ 𝑚 = 𝑧 ∗ ⋅ 𝑆𝐸𝑝̃ 𝑚 = 𝑧∗ ⋅ √
𝑛 𝑛+4
Betrouwbaarheidsinterval= 𝑝̂ ± 𝑚 Betrouwbaarheidsinterval= 𝑝̃ ± 𝑚
𝑝̂−𝑝0 Stel je hebt successen onder de 10, maar wel een
𝑧= om 𝐻0 : 𝑝 = 𝑝0 te testen
𝑝 (1−𝑝0 )
√ 0 grote steekproef, dan moet je nog steeds deze
𝑛
formule gebruiken. Deze 𝑝̃ behandel je als 𝑝̂ .
VB – 𝑧-toets
Chips producent krijgt aardappelen. Bij meer dan 8% rotte aardappelen: nieuwe aardappelen. Aselecte steekproef
van 500 aardappelen, hiervan 47 rot. Voer een significantie test uit op het 𝛼 = 0.10 significantie niveau . Wat moet
de producent concluderen?
𝐻0: 𝑝 = 0.08 en 𝐻𝑎: 𝑝 > 0.08 waar 𝑝 de eigenlijke proportie rotte aardappelen in de lading is.
Als aan de condities is voldaan, zouden we een one-sample z test moeten doen voor de populatie proportie p.
- Random? JA want → De supervisor trok een random steekproef van 500 aardappelen uit deze lading.
- Normaal? JA want de verwachtten aantallen successen en niet-successen zijn beide groter dan 10.
Veronderstel dat 𝐻0: 𝑝 = 0.08 waar is, dan is het verwachte aantal rotte aardappelen gelijk aan
𝑛𝑝0 = 500(0.08) = 40 en het verwachte aantal niet-rotte aardappelen is dan gelijk aan
𝑛(1 − 𝑝0 ) = 500(0.92) = 460 . Beide > 10, dus we kunnen veilig berekeningen doen op de Normaal
verdeling.
2
, 47
De steekproefproportie van rotte aardappelen is: 𝑝̂ = = 0,094
500
𝑝̂−𝑝0 0,094−0,08
Test statistiek: 𝑧= = = 1,15
𝑝 (1−𝑝0 ) 0,08 (1−0,08)
√ 0 √
𝑛 500
De bijbehorende P-waarde: 𝑃(𝑧 ≥ 1.15) = 1 − 0.8749 = 0.1251
Aangezien onze P-waarde, 0.1251, groter is dan het gekozen significantie niveau van α = 0.10, kunnen we de H0 niet
verwerpen. Om 𝐻0 te verwerpen moet 𝑝 < 𝛼. Er is niet voldoende bewijs om te concluderen dat de lading meer dan
8% rotte aardappelen bevat. De producent zal van deze lading chips gaan maken.
!!! Bij een betrouwbaarheidsinterval moet je kijken naar het aantal successen en niet-successen
… Bij een z-toets moet je kijken naar het aantal te verwachtte successen en niet-successen.
Bepalen van een steekproefgrootte 𝒏
Omdat de margin of error de steekproefproportie 𝑝̂ bevat, moeten we deze schatten als we 𝑛 bepalen. Er zijn twee
manieren om dit te doen:
- Gebruik een gok voor 𝑝̂ gebaseerd op eerdere ervaring of een pilot onderzoek.
- Gebruik 𝑝̂ = 0,5 als gok. The margin of error is op z'n grootst als 𝑝̂ = 0,5
𝑧∗ 2
𝑛 = ( ) 𝑝 ∗ (1 − 𝑝 ∗ )
𝑚
waar 𝑝 ∗ is een gegokte waarde voor de steekproefproportie. De margin of error zal altijd kleiner of gelijk zijn aan 𝑚
als je als gok neemt dat 𝑝 ∗ gelijk is aan 0.5.
We hebben het nu steeds gehad over 1 proportie, maar je kan ook twee proporties met elkaar vergelijken. Je
neemt random steekproeven uit elke populatie en dan vergelijk je de steekproefproporties op dat kenmerk.
Als data van twee random steekproeven komen of van twee groepen uit een gerandomiseerd experiment, dan is de
statistiek 𝑝̂1 − 𝑝̂2 onze beste schatting voor de waarde van 𝑝1 − 𝑝2 .
Plus 4 methode (vergelijken van 2 proporties):
Vergelijken van 2 proporties:
Als je aantal successen en niet-successen in beide
Als je aantal successen en niet-successen in steekproeven minder dan 10 zijn, dan:
beide steekproeven tenminste 10 zijn, dan: 𝑥1 +1 𝑥2 +1
𝑝̃1 = 𝑝̃2 =
𝑛1 +2 𝑛2 +2
𝑥1 𝑥2
𝑝̂1 = 𝑝̂2 =
𝑛1 𝑛2
̃ = 𝑝̃1 − 𝑝̃2
𝐷 𝑚 = 𝑧 ∗ ⋅ 𝑆𝐸𝐷̃
∗
𝐷 = 𝑝̂1 − 𝑝̂2 𝑚 = 𝑧 ⋅ 𝑆𝐸𝐷
𝑝̃1 (1−𝑝̃1 ) 𝑝̃2 (1−𝑝̃2 )
𝑆𝐸𝐷̃ = √ +
𝑝̂1 (1−𝑝̂1 ) 𝑝̂2 (1−𝑝̂2 ) 𝑛1 +2 𝑛2 +2
𝑆𝐸𝐷 = √ +
𝑛1 𝑛2
̃±𝑚
Betrouwbaarheidsinterval= 𝐷
Betrouwbaarheidsinterval= 𝐷 ± 𝑚 𝑝̃1 (1−𝑝̃1 ) 𝑝̃2 (1−𝑝̃2 )
=(𝑝̃1 − 𝑝̃2 ) ± 𝑧 ∗ √ +
𝑛1 +2 𝑛2 +2
∗ 𝑝̂1 (1−𝑝̂1 ) 𝑝̂2 (1−𝑝̂2 )
=(𝑝̂1 − 𝑝̂2 ) ± 𝑧 √ +
𝑛1 𝑛2 Ook hier verbetert de accuraatheid enorm door het
toevoegen van denkbeeldige waarnemingen.
3
, Significant toetsing voor het vergelijken proporties
Geobserveerd verschil tussen twee steekproef proporties:
- Kan een echt verschil zijn tussen de parameters,
- Kan ook komen door variatie in random steekproeftrekking of random toewijzing.
Om de hypothese 𝐻0 ; 𝑝1 − 𝑝2 = 0 te testen, moeten we eerste de gepoolde proportie 𝑝̂ van successen in beide
steekproeven combineren.
𝑝̂ = pooled (gecombineerde) steekproefproportie
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑖𝑛 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑒𝑘𝑝𝑟𝑜𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑒𝑒𝑟𝑑 𝑋1 +𝑋2
𝑝̂ = =
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑒𝑛 𝑖𝑛 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑒𝑘𝑝𝑟𝑜𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑒𝑒𝑟𝑑 𝑛1 +𝑛2
(𝑝̂1 −𝑝̂2 ) 1 1 (𝑝̂1 −𝑝̂2 )
𝑧= 𝑆𝐸𝐷𝑝 = √𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) ( + ) 𝑧= 1 1
𝑆𝐸𝐷𝑝 𝑛1 𝑛2
√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 )
1 2
Voorwaarden:
- Random → The data are produced by a random sample of size 𝑛1 from Population 1 and a random
sample 𝑛2 of size from Population 2 or by two groups of sizes 𝑛1 𝑎𝑛𝑑 𝑛2 in a randomized experiment.
- Normal → The counts of "successes" and "failures" in each sample or group 𝑛1 𝑝̂1 (success), 𝑛1 (1 − 𝑝̂1 )
(niet-succes) and 𝑛2 𝑝̂2 (success) 𝑛2 (1 − 𝑝̂2 ) (niet-succes) are all at least 5. We gaan er nu vanuit dat
de groepen gelijk zijn aan elkaar, waardoor de voorwaarde minder streng zijn.
- Independent → The two samples are taken independently of each other. When sampling without
replacement, check that the two populations are at least 10 times as large as the corresponding samples
(the 10% Independent condition).
Relatief Risico
𝑝̂1
Andere manier van vergelijken van twee proporties → Relatieve Risico (𝑅𝑅) = → ratio/verhouding berekenen.
𝑝̂2
Een relatief risico van 1 betekent dat de twee proporties aan elkaar gelijk zijn. 𝑅𝑅 = 1 betekent 𝑝1 = 𝑝2
Aantekeningen opdrachten:
- Interne validiteit= de mate waarin je met zekerheid kunt stellen dat een vastgestelde oorzaak-
gevolgrelatie (causaal verband) niet door andere factoren kan worden verklaard.
- Externe validiteit= de mate waarin je je resultaten kunt generaliseren naar andere omstandigheden of
groepen.
4
Samenvatting Statistiek .......................................................................................................................... 2
Week 2 ................................................................................................................................................ 2
Week 3 ................................................................................................................................................ 8
Week 4 .............................................................................................................................................. 10
Week 5 .............................................................................................................................................. 18
Week 6 .............................................................................................................................................. 27
Week 7 .............................................................................................................................................. 35
Week 8 .............................................................................................................................................. 42
Hoorcollege statistiek week 1 .............................................................................................................. 49
Hoorcollege statistiek week 2 .............................................................................................................. 56
Hoorcollege 3 week 3 ........................................................................................................................... 68
Hoorcollege week 4 Statistiek – MMC H2 ........................................................................................... 79
Hoorcollege statistiek – week 5 ........................................................................................................... 90
Hoorcollege week 6 statsitiek ............................................................................................................ 105
Hoorcollege week 7 – Statistiek ......................................................................................................... 119
Hoorcollege week 8 statistiek ............................................................................................................ 130
1
, Samenvatting Statistiek
Week 2 MMC – H8
Je neemt elke keer een steekproef, je berekent de proportie van elke steekproef, en als je hier een verdeling
van zou maken, dan krijg je een proportieverdeling. Wanneer 𝑛 groot is, dan is de verdeling ongeveer normaal
𝑝̂(1−𝑝̂) 𝑝̂(1−𝑝̂)
verdeeld → 𝑁 (𝑝, √ ). Spreiding σ𝑝̂ = √ en gemiddelde 𝜇 = 𝑝.
𝑛 𝑛
We gebruiken 𝑝̂ om 𝑝 in te schatten
𝑝 = populatie proportie van succes.
𝑋
𝑝̂ = Steekproefproportie van successen =
𝑛
𝑚= de margin of error
𝑧 ∗ = de kritieke z-waarde (tabel D)
𝑆𝐸𝑝̂ = de standaarderror van 𝑝̂
Plus 4 methode (single proportie)
Als je aantal successen en niet-successen Als je aantal successen en/of niet-successen minder
minstens 10 zijn, dan: dan 10 zijn, dan:
𝑋 𝑝̂ (1−𝑝̂) 𝑥+2 𝑝̃ (1−𝑝̃)
𝑝̂ = 𝑆𝐸𝑝̂ = √ 𝑝̃ = 𝑆𝐸𝑝̃ = √
𝑛 𝑛 𝑛+4 𝑛+4
𝑝̂ (1−𝑝̂) 𝑝̃ (1−𝑝̃)
𝑚 = 𝑧 ∗ ⋅ 𝑆𝐸𝑝̂ 𝑚 = 𝑧∗ ⋅ √ 𝑚 = 𝑧 ∗ ⋅ 𝑆𝐸𝑝̃ 𝑚 = 𝑧∗ ⋅ √
𝑛 𝑛+4
Betrouwbaarheidsinterval= 𝑝̂ ± 𝑚 Betrouwbaarheidsinterval= 𝑝̃ ± 𝑚
𝑝̂−𝑝0 Stel je hebt successen onder de 10, maar wel een
𝑧= om 𝐻0 : 𝑝 = 𝑝0 te testen
𝑝 (1−𝑝0 )
√ 0 grote steekproef, dan moet je nog steeds deze
𝑛
formule gebruiken. Deze 𝑝̃ behandel je als 𝑝̂ .
VB – 𝑧-toets
Chips producent krijgt aardappelen. Bij meer dan 8% rotte aardappelen: nieuwe aardappelen. Aselecte steekproef
van 500 aardappelen, hiervan 47 rot. Voer een significantie test uit op het 𝛼 = 0.10 significantie niveau . Wat moet
de producent concluderen?
𝐻0: 𝑝 = 0.08 en 𝐻𝑎: 𝑝 > 0.08 waar 𝑝 de eigenlijke proportie rotte aardappelen in de lading is.
Als aan de condities is voldaan, zouden we een one-sample z test moeten doen voor de populatie proportie p.
- Random? JA want → De supervisor trok een random steekproef van 500 aardappelen uit deze lading.
- Normaal? JA want de verwachtten aantallen successen en niet-successen zijn beide groter dan 10.
Veronderstel dat 𝐻0: 𝑝 = 0.08 waar is, dan is het verwachte aantal rotte aardappelen gelijk aan
𝑛𝑝0 = 500(0.08) = 40 en het verwachte aantal niet-rotte aardappelen is dan gelijk aan
𝑛(1 − 𝑝0 ) = 500(0.92) = 460 . Beide > 10, dus we kunnen veilig berekeningen doen op de Normaal
verdeling.
2
, 47
De steekproefproportie van rotte aardappelen is: 𝑝̂ = = 0,094
500
𝑝̂−𝑝0 0,094−0,08
Test statistiek: 𝑧= = = 1,15
𝑝 (1−𝑝0 ) 0,08 (1−0,08)
√ 0 √
𝑛 500
De bijbehorende P-waarde: 𝑃(𝑧 ≥ 1.15) = 1 − 0.8749 = 0.1251
Aangezien onze P-waarde, 0.1251, groter is dan het gekozen significantie niveau van α = 0.10, kunnen we de H0 niet
verwerpen. Om 𝐻0 te verwerpen moet 𝑝 < 𝛼. Er is niet voldoende bewijs om te concluderen dat de lading meer dan
8% rotte aardappelen bevat. De producent zal van deze lading chips gaan maken.
!!! Bij een betrouwbaarheidsinterval moet je kijken naar het aantal successen en niet-successen
… Bij een z-toets moet je kijken naar het aantal te verwachtte successen en niet-successen.
Bepalen van een steekproefgrootte 𝒏
Omdat de margin of error de steekproefproportie 𝑝̂ bevat, moeten we deze schatten als we 𝑛 bepalen. Er zijn twee
manieren om dit te doen:
- Gebruik een gok voor 𝑝̂ gebaseerd op eerdere ervaring of een pilot onderzoek.
- Gebruik 𝑝̂ = 0,5 als gok. The margin of error is op z'n grootst als 𝑝̂ = 0,5
𝑧∗ 2
𝑛 = ( ) 𝑝 ∗ (1 − 𝑝 ∗ )
𝑚
waar 𝑝 ∗ is een gegokte waarde voor de steekproefproportie. De margin of error zal altijd kleiner of gelijk zijn aan 𝑚
als je als gok neemt dat 𝑝 ∗ gelijk is aan 0.5.
We hebben het nu steeds gehad over 1 proportie, maar je kan ook twee proporties met elkaar vergelijken. Je
neemt random steekproeven uit elke populatie en dan vergelijk je de steekproefproporties op dat kenmerk.
Als data van twee random steekproeven komen of van twee groepen uit een gerandomiseerd experiment, dan is de
statistiek 𝑝̂1 − 𝑝̂2 onze beste schatting voor de waarde van 𝑝1 − 𝑝2 .
Plus 4 methode (vergelijken van 2 proporties):
Vergelijken van 2 proporties:
Als je aantal successen en niet-successen in beide
Als je aantal successen en niet-successen in steekproeven minder dan 10 zijn, dan:
beide steekproeven tenminste 10 zijn, dan: 𝑥1 +1 𝑥2 +1
𝑝̃1 = 𝑝̃2 =
𝑛1 +2 𝑛2 +2
𝑥1 𝑥2
𝑝̂1 = 𝑝̂2 =
𝑛1 𝑛2
̃ = 𝑝̃1 − 𝑝̃2
𝐷 𝑚 = 𝑧 ∗ ⋅ 𝑆𝐸𝐷̃
∗
𝐷 = 𝑝̂1 − 𝑝̂2 𝑚 = 𝑧 ⋅ 𝑆𝐸𝐷
𝑝̃1 (1−𝑝̃1 ) 𝑝̃2 (1−𝑝̃2 )
𝑆𝐸𝐷̃ = √ +
𝑝̂1 (1−𝑝̂1 ) 𝑝̂2 (1−𝑝̂2 ) 𝑛1 +2 𝑛2 +2
𝑆𝐸𝐷 = √ +
𝑛1 𝑛2
̃±𝑚
Betrouwbaarheidsinterval= 𝐷
Betrouwbaarheidsinterval= 𝐷 ± 𝑚 𝑝̃1 (1−𝑝̃1 ) 𝑝̃2 (1−𝑝̃2 )
=(𝑝̃1 − 𝑝̃2 ) ± 𝑧 ∗ √ +
𝑛1 +2 𝑛2 +2
∗ 𝑝̂1 (1−𝑝̂1 ) 𝑝̂2 (1−𝑝̂2 )
=(𝑝̂1 − 𝑝̂2 ) ± 𝑧 √ +
𝑛1 𝑛2 Ook hier verbetert de accuraatheid enorm door het
toevoegen van denkbeeldige waarnemingen.
3
, Significant toetsing voor het vergelijken proporties
Geobserveerd verschil tussen twee steekproef proporties:
- Kan een echt verschil zijn tussen de parameters,
- Kan ook komen door variatie in random steekproeftrekking of random toewijzing.
Om de hypothese 𝐻0 ; 𝑝1 − 𝑝2 = 0 te testen, moeten we eerste de gepoolde proportie 𝑝̂ van successen in beide
steekproeven combineren.
𝑝̂ = pooled (gecombineerde) steekproefproportie
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑖𝑛 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑒𝑘𝑝𝑟𝑜𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑒𝑒𝑟𝑑 𝑋1 +𝑋2
𝑝̂ = =
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑒𝑛 𝑖𝑛 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑒𝑘𝑝𝑟𝑜𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑔𝑒𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑒𝑒𝑟𝑑 𝑛1 +𝑛2
(𝑝̂1 −𝑝̂2 ) 1 1 (𝑝̂1 −𝑝̂2 )
𝑧= 𝑆𝐸𝐷𝑝 = √𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) ( + ) 𝑧= 1 1
𝑆𝐸𝐷𝑝 𝑛1 𝑛2
√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 )
1 2
Voorwaarden:
- Random → The data are produced by a random sample of size 𝑛1 from Population 1 and a random
sample 𝑛2 of size from Population 2 or by two groups of sizes 𝑛1 𝑎𝑛𝑑 𝑛2 in a randomized experiment.
- Normal → The counts of "successes" and "failures" in each sample or group 𝑛1 𝑝̂1 (success), 𝑛1 (1 − 𝑝̂1 )
(niet-succes) and 𝑛2 𝑝̂2 (success) 𝑛2 (1 − 𝑝̂2 ) (niet-succes) are all at least 5. We gaan er nu vanuit dat
de groepen gelijk zijn aan elkaar, waardoor de voorwaarde minder streng zijn.
- Independent → The two samples are taken independently of each other. When sampling without
replacement, check that the two populations are at least 10 times as large as the corresponding samples
(the 10% Independent condition).
Relatief Risico
𝑝̂1
Andere manier van vergelijken van twee proporties → Relatieve Risico (𝑅𝑅) = → ratio/verhouding berekenen.
𝑝̂2
Een relatief risico van 1 betekent dat de twee proporties aan elkaar gelijk zijn. 𝑅𝑅 = 1 betekent 𝑝1 = 𝑝2
Aantekeningen opdrachten:
- Interne validiteit= de mate waarin je met zekerheid kunt stellen dat een vastgestelde oorzaak-
gevolgrelatie (causaal verband) niet door andere factoren kan worden verklaard.
- Externe validiteit= de mate waarin je je resultaten kunt generaliseren naar andere omstandigheden of
groepen.
4
