Samenvatting ALLE bewijzen uit de cursus uitgewerkt van Statistiek voor psychologen, deel 1

STATISTIEK, DEEL 1


BEWIJZEN MET VERANTWOORDING

𝒏

𝒙) = 𝟎
!(𝒙𝒊 − %
𝒊#𝟏
& & &

!(𝑥% − 𝑥̅ ) = ! 𝑥% − ! 𝑥̅ (Sommatie van een som)
%#' %#' %#'
& &

!(𝑥% − 𝑥̅ ) = ! 𝑥% − 𝑛 ∙ 𝑥̅ (Sommatie van een constante)
%#' %#'
&
1
!(𝑥% − 𝑥̅ ) = 𝑛 ∙ 𝑥̅ − 𝑛 ∙ 𝑥̅ 4 ! 𝑥% = 𝑥̅ , dus ! 𝑥% = 𝑥̅ ∙ 𝑛 :
𝑛
%#' % %
&

!(𝑥% − 𝑥̅ ) = 0 n
%#'




!(𝒙𝒊 − 𝒄)𝟐 = !(𝒙𝒊 − 𝒙
%)𝟐 + 𝒏 ∙ (𝒙
% − 𝒄)𝟐
𝒊 𝒊



!(𝑥% − 𝑐)) = !(𝑥% − 𝑥̅ ) + (𝑥̅ − 𝑐) (Trucje)
% % a b



!(𝑥% − 𝑐)) = !((𝑥% − 𝑥̅ )) + 2 (𝑥% − 𝑥̅ )(𝑥̅ − 𝑐) + (𝑥̅ − 𝑐)) )
% %


!(𝑥% − 𝑐)) = !(𝑥% − 𝑥̅ )) + ! 2 (𝑥% − 𝑥̅ )(𝑥̅ − 𝑐) + !(𝑥̅ − 𝑐)) (Sommatie van een som)
% % % %


!(𝑥% − 𝑐)) = !(𝑥% − 𝑥̅ )) + 2 (𝑥̅ − 𝑐) !(𝑥% − 𝑥̅ ) + 𝑛 ∙ (𝑥̅ − 𝑐)) (Constante achter sommatie) en
% % % (sommatie van een constante)

!(𝑥% − 𝑐)) = !(𝑥% − 𝑥̅ )) + 2 (𝑥̅ − 𝑐) ∙ 0 + 𝑛 ∙ (𝑥̅ − 𝑐)) (∑(𝑥% − 𝑥̅ ) = 0)
% %


!(𝑥% − 𝑐)) = !(𝑥% − 𝑥̅ )) + 0 + 𝑛 ∙ (𝑥̅ − 𝑐))
% %


!(𝑥% − 𝑐)) = !(𝑥% − 𝑥̅ )) + 𝑛 ∙ (𝑥̅ − 𝑐)) n
% %




1

, 𝟏
𝒔𝟐𝑿 = %)𝟐
! 𝒙𝒊 − (𝒙
𝒏
𝒊

1
𝑠+) = !(𝑥% − 𝑥̅ ))
𝑛
%

1
𝑠+) = !(𝑥% ) − 2 𝑥% 𝑥̅ + 𝑥̅ ) )
𝑛
%

1 1 1
𝑠+) = ! 𝑥% ) − ! 2 𝑥% 𝑥̅ + ! 𝑥̅ ) (Sommatie van een som)
𝑛 𝑛 𝑛
% % %

1 1 1
𝑠+) = ! 𝑥% ) − ∙ 2 𝑥̅ ! 2 𝑥% 𝑥̅ + ! 𝑥̅ ) (Eigenschap constante na sommatie)
𝑛 𝑛 𝑛
% % %

1 2𝑥̅
𝑠+) = ! 𝑥% ) − ! 𝑥% + 𝑥̅ )
𝑛 𝑛
% %

1 2𝑥̅ 1
𝑠+) = ! 𝑥% ) − ∙ 𝑛 ∙ 𝑥̅ + 𝑥̅ ) 4 ! 𝑥% = 𝑥̅ , dus ! 𝑥% = 𝑛 ∙ 𝑥̅ :
𝑛 𝑛 𝑛
% % %

1
𝑠+) = ! 𝑥% ) − 2𝑥̅ ∙ 𝑥̅ + 𝑥̅ )
𝑛
%

1
𝑠+) = ! 𝑥% ) − 2𝑥̅ ) + 𝑥̅ )
𝑛
%

1
𝑠+) = ! 𝑥% ) − 𝑥̅ ) n
𝑛
%




@@@@@@ %+𝒃
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
1
@@@@@@
𝑓(𝑥) = ! 𝑓(𝑥% )
𝑛
%

1
@@@@@@
𝑓(𝑥) = !(𝑎𝑥% + 𝑏)
𝑛
%

1 1
@@@@@@
𝑓(𝑥) = ! 𝑎𝑥% + ! 𝑏 (Sommatie van een som)
𝑛 𝑛
% %

1 1
@@@@@@
𝑓(𝑥) = ∙ 𝑎 ! 𝑥% + ∙ 𝑛 ∙ 𝑏 (Eigenschap constante achter sommatie) en
𝑛 𝑛
% (sommatie van een constante)
1 1
@@@@@@
𝑓(𝑥) = ∙ 𝑎 ∙ 𝑛 ∙ 𝑥̅ + 𝑏 4Definitie gemiddelde: 𝑥̅ = ! 𝑥% ⇔ ! 𝑥% = 𝑛 ∙ 𝑥̅ :
𝑛 𝑛
% %
@@@@@@
𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥̅ + 𝑏 n




2

, @@@@
𝒁𝑿 = 𝟎
1
@𝑍@@+@ = ! 𝑍𝑥%
𝑛 (Definitie gemiddelde)
%

1 1 𝑥̅
@𝑍@@+@ = ! S 𝑥% − T
𝑛 𝑠+ 𝑠+ SDefinitie 𝑍 − score: 𝑍+
%
𝑥% − 𝑥̅
1 1 1 𝑥̅ = T
@𝑍@@+@ = ! S 𝑥% T − ! 𝑠+
𝑛 𝑠+ 𝑛 𝑠+ (Sommatie van een som)
% %

1 1 1 𝑥̅
@𝑍@@+@ = ∙ ! 𝑥% − ∙ 𝑛 ∙
𝑠+ 𝑛 𝑛 𝑠+ (Constante voor sommatie) en
% (sommatie van een constante)
1 𝑥̅
@𝑍@@+@ = ∙ 𝑥̅ − (Definitie gemiddelde)
𝑠+ 𝑠+
𝑥̅ 𝑥̅
@𝑍@@+@ = −
𝑠+ 𝑠+
@𝑍@@+@ = 0 n




𝒔𝟐𝒇(𝒙) = 𝒂𝟐 ∙ 𝒔𝟐
1 1
)
𝑠0(1) = !(𝑓(𝑥% ) − 𝑓(𝑥̅ ))) 4Definitie 𝑠+) = !(𝑥% − 𝑥̅ )) :
𝑛 𝑛
% %

) 1
𝑠0(1) = !((𝑎𝑥% + 𝑏) − (𝑎𝑥̅ + 𝑏))) (Definitie gemiddelde van een functie) en (f(x) = ax + b)
𝑛
%

) 1
𝑠0(1) = !(𝑎(𝑥% − 𝑥̅ )))
𝑛
%

) 𝑎)
𝑠0(1) = !(𝑥% − 𝑥̅ ))
𝑛
%
1
)
𝑠0(1) = 𝑎) ∙ 𝑠+ 4Definitie 𝑠+) = !(𝑥% − 𝑥̅ )) : n
𝑛
%




3