Vectoren (MTK)
1. Vrije vector (= vector) elke vector met eenzelfde norm en richting is gelijk dus invariant onder
translatie
2. Bewerkingen op Vectoren
a. Optelling (commutatieve groep) *
i. Commutatief
ii. Associatief
iii. Neutraal element
iv. Symmetrisch element
b. Vermenigvuldiging met scalairen*
i. 2 soorten distributiviteit
ii. Associativiteit
iii. Neutraal element
c. * deze 2 voorgaande bewerkingen met bijhorende eigenschappen vormen een
algebraïsche structuur van een lineaire ruimte
d. Lineaire combinaties
i. LOF
ii. LAF
iii. Basis bepaald aantal vectoren dat LOF is en samen een ruimte opspannen
elke vector in deze ruimte kan geschreven door een specifieke lineaire
combinatie van de basisvectoren
e. Scalair product van vectoren
i. NIET ASSOCIATIEF
ii. Niet commutatief over meer dan 2 vectoren
iii. Vergeet nooit dat een scalair product een getal is en geen vector niet meer
f. Vectorieel product van vectoren ( ⃗v X ⃗ w ) = u⃗
i. u⃗ Staat loodrecht op ⃗v en op ⃗ w
ii. ( ⃗v , ⃗
w , u⃗ ¿ vormen een RHONB
iii. || X ⃗
v
⃗ w || = || ⃗v ∨|∙∨¿ ⃗
w|∨sin (θ) met θ de hoek tussen de vector v en w
(dus MAW als u =v dan is de hoek 0 en is de norm van het vectorieel product
ook 0) Bovendien is dit ook de numerieke waarde van de oppervlakte van het
parallellogram die v en w opspannen
iv. Distributiviteit
v. ⃗v X ⃗ w =−⃗ w X ⃗v dus omgekeerde commutativiteit l(nog logisch want (
⃗v , ⃗
w , ⃗v X ⃗w) levert een RHONB maar ( ⃗v , ⃗
w ,⃗
w X ⃗v ) levert een LHONB dat
minnetje moet ergens vandaan komen voor in de determinant e)
| |
e1 e2 e3
vi. ⃗v X ⃗
w =det v 1 v 1 v 1 Let hierbij op dat e1 enz. vectoren zijn en dat v en
w1 w 1 w 1
w richtingsgetallen zijn
g. Gemengd product u⃗ ∙ ¿)
i. Komt een scalair uit geen vector is uiteindelijk gewoon een verborgen scalair
product
1
, | |
u 1 u2 u3
ii. Algebraïsch is dit te vinden : u⃗ ∙ ( ⃗v X ⃗
w ) =det v 1 v 1 v1
w 1 w1 w1
iii. u⃗ ∙ ¿) = ⃗w ∙ ¿) =…
iv. u⃗ ∙ ¿) = - ⃗v ∙ ¿) =…
v.
vi. Gemengd product is 0 als en slecht als een van de drie vectoren LAF is van de
andere. (Logisch)
vii. Indien het gemengd product niet gelijk is aan 0 zijn alle vectoren LOF en
spannen deze 3 vectoren een lichaam op het resultaat van het gemengd
product geeft dan het volume van het opgespannen lichaam
viii. Het georiënteerde volume dat we uitkomen zal pos zijn als u langs dezelfde
kant van het vlak opgespannen door vw ligt als ⃗v X ⃗w
ix. Bovenstaande eigenschap impliceert dat de determinant van een
orthogonale basis +1 is wan deze RONB is en -1 wanneer deze LONB is
3. Om te testen of een bepaalde basis orthogonaal is kan je de matrix maken bestaande uit de
kentallen van de basisvectoren indien A = A T dan is deze basis ONB
4. Determinant van orthonormale basis +1RHONB of -1LHONB
5. Volume opgespannen door 3 vectoren vormt een parallellepipedum en heeft als volume het
gemengd product |u∙ (v x w)| wat op zijn beurt gelijk is aan de Det(u|v|w) wil je de
hoogte van het parallellepipedum berekenen deel gewoon door de opp. van het grondvlak
(vind je door ||u x v|| te bereken)
6. Scalair product 2 manier om simpel uit te werken:
a. Gewoon overeenkomstige coördinaten vermenigvuldigen
b. Normen en ingesloten hoek vermenigvuldigen
Wijziging van basis (coördinaattransformatie want je kan een super random rechte zomaar simpele
coördinaten geven)
S = coördinaten van een punt ten opzichte van de oorspronkelijke basis (dus meestal tegenover
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
A = transformatie Matrix (wordt ook, overgangsmatrix genoemd) wordt gevonden door in de
kolommen van de matrix de richtingsgetallen te zetten van de nieuwe basis tegenover de
oorspronkelijke basis dus concreet komt het neer dat het eerste basiselement van de nieuwe basis
bv kentallen (1,2,0) heeft dan weten we dat in de eerste kolom van A het volgende zal staan 1 keer
e1 en 2 keer e2en 0 keer e3
S’ = coördinaten van hetzelfde punt ten opzichte van de nieuwe basis ()
Daarna is het nog opletten geblazen want dan wordt alles uitgedrukt in functie van de nieuwe
basis dus een simpele basisvector die oorspronkelijk bv (1,0,0) was kan zomaar veranderd zijn in
een complex voorschrift bv(2,6,15)
S = A∙S’ maar dat is meestal juist niet wat we nodig hebben want we willen oude coördinaten naar
nieuwe coördinaten veranderen daardoor moeten we de inverse nemen van A dit moet mogelijk
zijn want A is een basis (al dan niet orthogonaal) dus is de determinant zeker niet gelijk aan 0. Als
we deze matrix geïnverteerd hebben zijn we eigenlijk al bezig met een affiene transformatie want
dan zijn we eigenlijk bezig met het oorspronkelijke punt te verplaatsen naar het nieuwe punt S’
hiervoor behouden we dan eenzelfde basis in tegenstelling tot de coördinaattransformatie
2
, 3
1. Vrije vector (= vector) elke vector met eenzelfde norm en richting is gelijk dus invariant onder
translatie
2. Bewerkingen op Vectoren
a. Optelling (commutatieve groep) *
i. Commutatief
ii. Associatief
iii. Neutraal element
iv. Symmetrisch element
b. Vermenigvuldiging met scalairen*
i. 2 soorten distributiviteit
ii. Associativiteit
iii. Neutraal element
c. * deze 2 voorgaande bewerkingen met bijhorende eigenschappen vormen een
algebraïsche structuur van een lineaire ruimte
d. Lineaire combinaties
i. LOF
ii. LAF
iii. Basis bepaald aantal vectoren dat LOF is en samen een ruimte opspannen
elke vector in deze ruimte kan geschreven door een specifieke lineaire
combinatie van de basisvectoren
e. Scalair product van vectoren
i. NIET ASSOCIATIEF
ii. Niet commutatief over meer dan 2 vectoren
iii. Vergeet nooit dat een scalair product een getal is en geen vector niet meer
f. Vectorieel product van vectoren ( ⃗v X ⃗ w ) = u⃗
i. u⃗ Staat loodrecht op ⃗v en op ⃗ w
ii. ( ⃗v , ⃗
w , u⃗ ¿ vormen een RHONB
iii. || X ⃗
v
⃗ w || = || ⃗v ∨|∙∨¿ ⃗
w|∨sin (θ) met θ de hoek tussen de vector v en w
(dus MAW als u =v dan is de hoek 0 en is de norm van het vectorieel product
ook 0) Bovendien is dit ook de numerieke waarde van de oppervlakte van het
parallellogram die v en w opspannen
iv. Distributiviteit
v. ⃗v X ⃗ w =−⃗ w X ⃗v dus omgekeerde commutativiteit l(nog logisch want (
⃗v , ⃗
w , ⃗v X ⃗w) levert een RHONB maar ( ⃗v , ⃗
w ,⃗
w X ⃗v ) levert een LHONB dat
minnetje moet ergens vandaan komen voor in de determinant e)
| |
e1 e2 e3
vi. ⃗v X ⃗
w =det v 1 v 1 v 1 Let hierbij op dat e1 enz. vectoren zijn en dat v en
w1 w 1 w 1
w richtingsgetallen zijn
g. Gemengd product u⃗ ∙ ¿)
i. Komt een scalair uit geen vector is uiteindelijk gewoon een verborgen scalair
product
1
, | |
u 1 u2 u3
ii. Algebraïsch is dit te vinden : u⃗ ∙ ( ⃗v X ⃗
w ) =det v 1 v 1 v1
w 1 w1 w1
iii. u⃗ ∙ ¿) = ⃗w ∙ ¿) =…
iv. u⃗ ∙ ¿) = - ⃗v ∙ ¿) =…
v.
vi. Gemengd product is 0 als en slecht als een van de drie vectoren LAF is van de
andere. (Logisch)
vii. Indien het gemengd product niet gelijk is aan 0 zijn alle vectoren LOF en
spannen deze 3 vectoren een lichaam op het resultaat van het gemengd
product geeft dan het volume van het opgespannen lichaam
viii. Het georiënteerde volume dat we uitkomen zal pos zijn als u langs dezelfde
kant van het vlak opgespannen door vw ligt als ⃗v X ⃗w
ix. Bovenstaande eigenschap impliceert dat de determinant van een
orthogonale basis +1 is wan deze RONB is en -1 wanneer deze LONB is
3. Om te testen of een bepaalde basis orthogonaal is kan je de matrix maken bestaande uit de
kentallen van de basisvectoren indien A = A T dan is deze basis ONB
4. Determinant van orthonormale basis +1RHONB of -1LHONB
5. Volume opgespannen door 3 vectoren vormt een parallellepipedum en heeft als volume het
gemengd product |u∙ (v x w)| wat op zijn beurt gelijk is aan de Det(u|v|w) wil je de
hoogte van het parallellepipedum berekenen deel gewoon door de opp. van het grondvlak
(vind je door ||u x v|| te bereken)
6. Scalair product 2 manier om simpel uit te werken:
a. Gewoon overeenkomstige coördinaten vermenigvuldigen
b. Normen en ingesloten hoek vermenigvuldigen
Wijziging van basis (coördinaattransformatie want je kan een super random rechte zomaar simpele
coördinaten geven)
S = coördinaten van een punt ten opzichte van de oorspronkelijke basis (dus meestal tegenover
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))
A = transformatie Matrix (wordt ook, overgangsmatrix genoemd) wordt gevonden door in de
kolommen van de matrix de richtingsgetallen te zetten van de nieuwe basis tegenover de
oorspronkelijke basis dus concreet komt het neer dat het eerste basiselement van de nieuwe basis
bv kentallen (1,2,0) heeft dan weten we dat in de eerste kolom van A het volgende zal staan 1 keer
e1 en 2 keer e2en 0 keer e3
S’ = coördinaten van hetzelfde punt ten opzichte van de nieuwe basis ()
Daarna is het nog opletten geblazen want dan wordt alles uitgedrukt in functie van de nieuwe
basis dus een simpele basisvector die oorspronkelijk bv (1,0,0) was kan zomaar veranderd zijn in
een complex voorschrift bv(2,6,15)
S = A∙S’ maar dat is meestal juist niet wat we nodig hebben want we willen oude coördinaten naar
nieuwe coördinaten veranderen daardoor moeten we de inverse nemen van A dit moet mogelijk
zijn want A is een basis (al dan niet orthogonaal) dus is de determinant zeker niet gelijk aan 0. Als
we deze matrix geïnverteerd hebben zijn we eigenlijk al bezig met een affiene transformatie want
dan zijn we eigenlijk bezig met het oorspronkelijke punt te verplaatsen naar het nieuwe punt S’
hiervoor behouden we dan eenzelfde basis in tegenstelling tot de coördinaattransformatie
2
, 3
