Samenvatting kennisbasis rekenen
Claire Koppenjan
Domein 1: Hele getallen
Priemgetal, Priemgetal = een getal groter dan 1 dat alleen deelbaar is door 1
driehoeksgetal, en door zichzelf.
vierkantsgetal/kwadra
at, macht De eerste 30 priemgetallen: 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29
– 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 – 59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 –
97 – 101 – 103 – 107 – 109 - 113
Driehoeksgetal = een voorbeeld van een figuraal getal en kan
geordend worden in een gelijkzijdige driehoek.
De eerste driehoeksgetallen zijn: 1 – 3 – 6 – 10 – 15 – 21 – 28
De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een
vierkantsgetal.
Vierkantsgetal = een voorbeeld van een figuraal getal en kan
geordend worden in een vierkant. Wordt ook wel een kwadraat
genoemd.
GGD (grootste GGD = de grootste gemene (of gemeenschappelijke) deler van twee
gemene deler) verschillende gehele getallen is het grootste gehele getal waardoor
beide getallen gedeeld kunnen worden. De GGD staat tegenover het
KGV (kleinste gemene KGV, het kleinste getal dat een veelvoud is van beide getallen. Het
veelvoud) vereenvoudigen van een breuk is in één keer klaar door van de teller
en noemer de GGD te bepalen en vervolgens daarmee de breuk te
vereenvoudigen.
De grootste gemeenschappelijke deler van 24 en 204 = 12.
De delers van 24 zijn 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 12 – 24
De delers van 204 zijn 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 12 – 17 – 34 – 51 – 68 – 102
– 104
de grootste gemeenschappelijke deler is dus 12.
Je kan de GGD ook vinden door beide getallen eerst in priemgetallen
te ontbinden.
24= 2x2x2x3
, 204= 2x2x3x17
De GGD vindt men van iedere priemfactor in beide getallen de minst
voorkomende te nemen 2 x 2 x 3 = 12
KGV= het kleinste gemene veelvoud van twee verschillende hele
getallen is het kleinste gehele getal dat een veelvoud is van beide
getallen. Het KGV staat tegenover de GGD, het grootste getal dat
van beide getallen een deler is. Om twee breuken op te tellen,
moeten beide breuken dezelfde noemer hebben. Hebben ze die niet,
dan worden ze op 1 noemer gebracht. Als gemeenschappelijke
noemer kan het product van beide noemers gekozen worden, maar
het is voldoende het KGV van beide noemers te nemen.
De KGV van 15 en 27 is gelijk aan 135
De veelvouden van 15 zijn: 15 – 30 – 45 – 60 – 75 – 90 – 105 – 120 –
135 – 150 – 165..
De veelvouden van 27 zijn: 27 – 54 – 81 – 108 – 135 – 162 – 189 …
Het KGV van 15 en 27 is dus 135
Het KGV kan ook gevonden worden door beide getallen eerst in
priemgetallen te ontbinden:
15 = 3 x 5
27 = 3 x 3 x 3
Het KGV vindt men door van iedere priemfactor in beide getallen de
meest voorkomende te nemen: 3 x 3 x 3 x 5 = 135
Wanneer twee getallen onderling priem zijn, dan is het KGV van die
getallen het product van die getallen. Omdat de getallen 6 en 36
onderling priem zijn (6 = 2x3 en 35= 5x7; beide getallen hebben
geen priemfactoren gemeenschappelijk), is het KGV 2x3x5x7= 210
Ontbinden in Reken uit, door welke priemgetallen je het getal kan delen.
priemfactoren 140 ontbinden in priemfactoren
140:2=70
70:2=35
35:5=7
7:7=1
2 x 2 x 5 x 7 = 140
Getal schrijven als Schrijf 420 als een product van priemfactoren:
een product van 420:2 = 210
priemfactoren 210:2 = 105
105: 3 = 35
35:5= 7
7:7=1
Dus, 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7
Resultatief tellen Resultatief tellen = het tellen van een aantal voorwerpen met als
doel de hoeveelheid van dit aantal de bepalen.
Daarvoor moet begrepen worden dat er een één-één-relatie bestaat
tussen het telwoord en het te tellen voorwerp, dat er geen
telwoorden uit de rij mogen worden overgeslagen en dat het laatst
, uitgesproken telwoord de hoeveelheid aanduidt van het aantal te
tellen voorwerpen.
Wanneer er aan een van deze voorwaarden niet voldaan is, kan er
sprake zijn van synchroon tellen, asynchroon tellen of zelfs nog
akoestisch tellen.
(a)synchroon tellen Synchroon tellen = wanneer een hoeveelheid voorwerpen
‘aanwijzend’ wordt geteld. De telnamen moeten gelijktijdig
(synchroon) met het één voor één aanwijzen van de voorwerpen
opgenoemd worden.
Asynchroon tellen = wanner het tellen geen gelijke tred houdt met
het aanwijzen van de voorwerpen.
Wanneer een kind synchroon telt, dan hoeft dat nog niet te
betekenen dat dit kind het resultatieve tellen al onder de knie heeft.
Daarvoor moet een kind begrip hebben dat er een één-één-relatie
bestaat tussen het telwoord en het te tellen voorwerp, dat er geen
telwoorden uit de telrij mogen worden overgeslagen en dat het laatst
uitgesproken telwoord de hoeveelheid aanduidt van het aantal te
tellen voorwerp.
Een steunpunt Steunpunt = (ook wel ankerpunten of kapstoksommen genoemd)
spelen een belangrijke rol bij het uit het hoofd leren van rekenfeiten
uit de deelgebieden rekenen tot twintig en tafels van
vermenigvuldigen. Steunpunten worden ook als didactisch
hulpmiddel gebruikt bij het rekenen met breuken, kommagetallen en
procenten.
Neem de optelsom 7+8. Hier kan de optelling 7 + 7 = 14
gememoriseerd zijn en als kapstoksom optreden bij 7 + 8; dit is
namelijk 1 meer dan 14. Een keersom als 7 x 8 = kan berekend
worden via het steunpunt 4 x 7 = 28 en door 28 te verdubbelen: 28
+ 28 = 56. Is 7 x 7 = 49 een steunpunt, dan is de strategie 49 + 7 =
56 handig om te gebruiken. Bij het rekenen tot twintig en bij de
tafels van vermenigvuldiging wordt de kinderen geleerd onder
gebruikmaking van strategieën vanuit steunpunten (die het kind uit
het hoofd weet) nieuwe steunpunten te construeren.
Verkort tellen Verkort tellen = een vorm van resultatief tellen waarbij alle
voorwerpen niet meer een voor een worden geteld. Er wordt dan
geteld met eenheden die groter dan 1 zijn, zoals bijvoorbeeld
het tellen met 2 tegelijk 2, 4, 6, …. Bij elke tel moeten nu ook twee
voorwerpen tegelijk worden aangewezen.
Denk bijvoorbeeld aan het tellen van schoenen (in paren). Verkort
tellen wordt gestimuleerd en gemakkelijk gemaakt door een
structuur (een patroon of een regelmaat) in het te tellen materiaal.
Verkort tellen geeft een opstap naar het vermenigvuldigen en kan op
de getallenlijn met sprongen in beeld gebracht worden.
Contextgebonden Contextgebonden handelen = wanneer een reken-wiskundig
handelen probleem als een contextsituatie wordt aangeboden, dan kan de
oplossing ervan deels of geheel binnen die contextsituatie gedaan en
begrepen worden.
Een leerling kan bijvoorbeeld de opgave “Er zijn 3 auto’s en in elke
auto zitten 4 mensen.” oplossen door het tekenen van die auto’s met
in elke auto vier personen en dan het totale aantal personen tellen.
Wanneer de oplossing zich meer los van de contextsituatie bevindt
(meer binnen het formele rekenen in de contextsituatie verscholen
is), dan zou men de oplossing formeel kunnen noemen. In dit geval
zou de leerling zeggen “Dat zijn 3 x 4 = 12 personen.” Tussen deze
, twee (uiterste) niveaus van oplossen zijn verschillende niveaus te
onderscheiden.
Objectgebonden Objectgebonden handelen = elementair getalbegrip ontwikkelt
handelen zich vanaf het voorschoolse leren in grote lijnen langs een aantal
niveaus. Bij het niveau van objectgebonden tellen gaat het om een
aantal concrete voorwerpen (aanwijzend) te tellen. Het is van belang
dat het noemen van de telnamen en het aanwijzen van de
voorwerpen synchroon gebeurt. In de erop volgende fase van het
pure tellen wordt de kale vraag naar de hoeveelheid direct begrepen
en correct uitgevoerd.
De betekenis van rest Wanneer men bijvoorbeeld de deling 641 : 12 maakt door de
bij een (staart)deling techniek van het staartdelen te gebruiken, krijgt men als antwoord
53 en als rest 5. Plaatst men de deling echter in verschillende
contexten, dan krijgt de rest steeds een andere betekenis binnen die
contexten.
Je wilt 641 zonnebloempitten verpakken in zakjes met elk 12 pitten.
Dan krijg je 53 zakjes.
Je hebt 641 tegels en je wilt die naar je tuin brengen met een
kruiwagen waar er steeds 12 ingaan. Dan moet je 54 keer met de
kruiwagen rijden.
Je hebt 641 knikkers en je wilt die onder 12 kinderen verdelen. Dan
krijgt elk kind er 53 en je houdt er 5 over.
Deelbaarheidskenmer Deelbaar door 2= alle even getallen
ken voor deelbaarheid
door 2, 3, 4, 5, 6, 8 en Deelbaar door 3= als alles bij elkaar opgeteld ook deelbaar door 3 is
9
Deelbaar door 4= als de laatste twee getallen deelbaar door 4 zijn
Deelbaar door 5= als het eindigt op 0 of 5
Deelbaar door 6= wanneer het getal deelbaar is door 2 en door 3
Deelbaar door 8= als de laatste drie getallen deelbaar door 8 zijn
Deelbaar door 9= als alles bij elkaar ook deelbaar door 9 is
Kenmerken van Positioneel getallenstelsel = de manier waarop wij getallen
positionele en schrijven gebeurt volgens een positioneel getallenstelsel. Dit
additieve betekent dat de plaats (positie) van een cijfer de waarde van het
getallenstelsels of cijfer in het getal bepaalt. Bovendien is ons getallensysteem
talstelsels en de gebaseerd op de tien-structuur en dat betekent dat de waarde wordt
hierbij gebruikelijke vastgelegd in machten van 10. We zeggen ook wel dat ons
radixnotatie getalsysteem een decimaal talstelsel is.
Additief getallenstelsel = additief betekent eraan toevoegend of
erbij optellend. Hier is de plaats van de gebruikte cijfersymbolen niet
van belang voor de waarde (zoals bij romeinse cijfers).
Het getal CCCLXIII staat hier voor 363. Voor 100 werd een speciaal
symbool gebruikt, alsook voor 50, 10 en 1. Je ziet dat de plaats van
de cijfersymbolen geen invloed heeft op de (totaal)waarde van het
getal.
Situaties herkennen Combinatoriek = bij combinatoriek gaat het om telproblemen. Je
als combinatorische moet tellen hoeveel combinaties van objecten er mogelijk zijn.
situaties een daarmee
rekenen Als ik bijvoorbeeld drie verschillende truien en vier verschillende
broeken heb, kan ik daarmee 3 x 4 = 12 combinaties maken.
Claire Koppenjan
Domein 1: Hele getallen
Priemgetal, Priemgetal = een getal groter dan 1 dat alleen deelbaar is door 1
driehoeksgetal, en door zichzelf.
vierkantsgetal/kwadra
at, macht De eerste 30 priemgetallen: 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29
– 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 – 59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 –
97 – 101 – 103 – 107 – 109 - 113
Driehoeksgetal = een voorbeeld van een figuraal getal en kan
geordend worden in een gelijkzijdige driehoek.
De eerste driehoeksgetallen zijn: 1 – 3 – 6 – 10 – 15 – 21 – 28
De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een
vierkantsgetal.
Vierkantsgetal = een voorbeeld van een figuraal getal en kan
geordend worden in een vierkant. Wordt ook wel een kwadraat
genoemd.
GGD (grootste GGD = de grootste gemene (of gemeenschappelijke) deler van twee
gemene deler) verschillende gehele getallen is het grootste gehele getal waardoor
beide getallen gedeeld kunnen worden. De GGD staat tegenover het
KGV (kleinste gemene KGV, het kleinste getal dat een veelvoud is van beide getallen. Het
veelvoud) vereenvoudigen van een breuk is in één keer klaar door van de teller
en noemer de GGD te bepalen en vervolgens daarmee de breuk te
vereenvoudigen.
De grootste gemeenschappelijke deler van 24 en 204 = 12.
De delers van 24 zijn 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 12 – 24
De delers van 204 zijn 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 12 – 17 – 34 – 51 – 68 – 102
– 104
de grootste gemeenschappelijke deler is dus 12.
Je kan de GGD ook vinden door beide getallen eerst in priemgetallen
te ontbinden.
24= 2x2x2x3
, 204= 2x2x3x17
De GGD vindt men van iedere priemfactor in beide getallen de minst
voorkomende te nemen 2 x 2 x 3 = 12
KGV= het kleinste gemene veelvoud van twee verschillende hele
getallen is het kleinste gehele getal dat een veelvoud is van beide
getallen. Het KGV staat tegenover de GGD, het grootste getal dat
van beide getallen een deler is. Om twee breuken op te tellen,
moeten beide breuken dezelfde noemer hebben. Hebben ze die niet,
dan worden ze op 1 noemer gebracht. Als gemeenschappelijke
noemer kan het product van beide noemers gekozen worden, maar
het is voldoende het KGV van beide noemers te nemen.
De KGV van 15 en 27 is gelijk aan 135
De veelvouden van 15 zijn: 15 – 30 – 45 – 60 – 75 – 90 – 105 – 120 –
135 – 150 – 165..
De veelvouden van 27 zijn: 27 – 54 – 81 – 108 – 135 – 162 – 189 …
Het KGV van 15 en 27 is dus 135
Het KGV kan ook gevonden worden door beide getallen eerst in
priemgetallen te ontbinden:
15 = 3 x 5
27 = 3 x 3 x 3
Het KGV vindt men door van iedere priemfactor in beide getallen de
meest voorkomende te nemen: 3 x 3 x 3 x 5 = 135
Wanneer twee getallen onderling priem zijn, dan is het KGV van die
getallen het product van die getallen. Omdat de getallen 6 en 36
onderling priem zijn (6 = 2x3 en 35= 5x7; beide getallen hebben
geen priemfactoren gemeenschappelijk), is het KGV 2x3x5x7= 210
Ontbinden in Reken uit, door welke priemgetallen je het getal kan delen.
priemfactoren 140 ontbinden in priemfactoren
140:2=70
70:2=35
35:5=7
7:7=1
2 x 2 x 5 x 7 = 140
Getal schrijven als Schrijf 420 als een product van priemfactoren:
een product van 420:2 = 210
priemfactoren 210:2 = 105
105: 3 = 35
35:5= 7
7:7=1
Dus, 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7
Resultatief tellen Resultatief tellen = het tellen van een aantal voorwerpen met als
doel de hoeveelheid van dit aantal de bepalen.
Daarvoor moet begrepen worden dat er een één-één-relatie bestaat
tussen het telwoord en het te tellen voorwerp, dat er geen
telwoorden uit de rij mogen worden overgeslagen en dat het laatst
, uitgesproken telwoord de hoeveelheid aanduidt van het aantal te
tellen voorwerpen.
Wanneer er aan een van deze voorwaarden niet voldaan is, kan er
sprake zijn van synchroon tellen, asynchroon tellen of zelfs nog
akoestisch tellen.
(a)synchroon tellen Synchroon tellen = wanneer een hoeveelheid voorwerpen
‘aanwijzend’ wordt geteld. De telnamen moeten gelijktijdig
(synchroon) met het één voor één aanwijzen van de voorwerpen
opgenoemd worden.
Asynchroon tellen = wanner het tellen geen gelijke tred houdt met
het aanwijzen van de voorwerpen.
Wanneer een kind synchroon telt, dan hoeft dat nog niet te
betekenen dat dit kind het resultatieve tellen al onder de knie heeft.
Daarvoor moet een kind begrip hebben dat er een één-één-relatie
bestaat tussen het telwoord en het te tellen voorwerp, dat er geen
telwoorden uit de telrij mogen worden overgeslagen en dat het laatst
uitgesproken telwoord de hoeveelheid aanduidt van het aantal te
tellen voorwerp.
Een steunpunt Steunpunt = (ook wel ankerpunten of kapstoksommen genoemd)
spelen een belangrijke rol bij het uit het hoofd leren van rekenfeiten
uit de deelgebieden rekenen tot twintig en tafels van
vermenigvuldigen. Steunpunten worden ook als didactisch
hulpmiddel gebruikt bij het rekenen met breuken, kommagetallen en
procenten.
Neem de optelsom 7+8. Hier kan de optelling 7 + 7 = 14
gememoriseerd zijn en als kapstoksom optreden bij 7 + 8; dit is
namelijk 1 meer dan 14. Een keersom als 7 x 8 = kan berekend
worden via het steunpunt 4 x 7 = 28 en door 28 te verdubbelen: 28
+ 28 = 56. Is 7 x 7 = 49 een steunpunt, dan is de strategie 49 + 7 =
56 handig om te gebruiken. Bij het rekenen tot twintig en bij de
tafels van vermenigvuldiging wordt de kinderen geleerd onder
gebruikmaking van strategieën vanuit steunpunten (die het kind uit
het hoofd weet) nieuwe steunpunten te construeren.
Verkort tellen Verkort tellen = een vorm van resultatief tellen waarbij alle
voorwerpen niet meer een voor een worden geteld. Er wordt dan
geteld met eenheden die groter dan 1 zijn, zoals bijvoorbeeld
het tellen met 2 tegelijk 2, 4, 6, …. Bij elke tel moeten nu ook twee
voorwerpen tegelijk worden aangewezen.
Denk bijvoorbeeld aan het tellen van schoenen (in paren). Verkort
tellen wordt gestimuleerd en gemakkelijk gemaakt door een
structuur (een patroon of een regelmaat) in het te tellen materiaal.
Verkort tellen geeft een opstap naar het vermenigvuldigen en kan op
de getallenlijn met sprongen in beeld gebracht worden.
Contextgebonden Contextgebonden handelen = wanneer een reken-wiskundig
handelen probleem als een contextsituatie wordt aangeboden, dan kan de
oplossing ervan deels of geheel binnen die contextsituatie gedaan en
begrepen worden.
Een leerling kan bijvoorbeeld de opgave “Er zijn 3 auto’s en in elke
auto zitten 4 mensen.” oplossen door het tekenen van die auto’s met
in elke auto vier personen en dan het totale aantal personen tellen.
Wanneer de oplossing zich meer los van de contextsituatie bevindt
(meer binnen het formele rekenen in de contextsituatie verscholen
is), dan zou men de oplossing formeel kunnen noemen. In dit geval
zou de leerling zeggen “Dat zijn 3 x 4 = 12 personen.” Tussen deze
, twee (uiterste) niveaus van oplossen zijn verschillende niveaus te
onderscheiden.
Objectgebonden Objectgebonden handelen = elementair getalbegrip ontwikkelt
handelen zich vanaf het voorschoolse leren in grote lijnen langs een aantal
niveaus. Bij het niveau van objectgebonden tellen gaat het om een
aantal concrete voorwerpen (aanwijzend) te tellen. Het is van belang
dat het noemen van de telnamen en het aanwijzen van de
voorwerpen synchroon gebeurt. In de erop volgende fase van het
pure tellen wordt de kale vraag naar de hoeveelheid direct begrepen
en correct uitgevoerd.
De betekenis van rest Wanneer men bijvoorbeeld de deling 641 : 12 maakt door de
bij een (staart)deling techniek van het staartdelen te gebruiken, krijgt men als antwoord
53 en als rest 5. Plaatst men de deling echter in verschillende
contexten, dan krijgt de rest steeds een andere betekenis binnen die
contexten.
Je wilt 641 zonnebloempitten verpakken in zakjes met elk 12 pitten.
Dan krijg je 53 zakjes.
Je hebt 641 tegels en je wilt die naar je tuin brengen met een
kruiwagen waar er steeds 12 ingaan. Dan moet je 54 keer met de
kruiwagen rijden.
Je hebt 641 knikkers en je wilt die onder 12 kinderen verdelen. Dan
krijgt elk kind er 53 en je houdt er 5 over.
Deelbaarheidskenmer Deelbaar door 2= alle even getallen
ken voor deelbaarheid
door 2, 3, 4, 5, 6, 8 en Deelbaar door 3= als alles bij elkaar opgeteld ook deelbaar door 3 is
9
Deelbaar door 4= als de laatste twee getallen deelbaar door 4 zijn
Deelbaar door 5= als het eindigt op 0 of 5
Deelbaar door 6= wanneer het getal deelbaar is door 2 en door 3
Deelbaar door 8= als de laatste drie getallen deelbaar door 8 zijn
Deelbaar door 9= als alles bij elkaar ook deelbaar door 9 is
Kenmerken van Positioneel getallenstelsel = de manier waarop wij getallen
positionele en schrijven gebeurt volgens een positioneel getallenstelsel. Dit
additieve betekent dat de plaats (positie) van een cijfer de waarde van het
getallenstelsels of cijfer in het getal bepaalt. Bovendien is ons getallensysteem
talstelsels en de gebaseerd op de tien-structuur en dat betekent dat de waarde wordt
hierbij gebruikelijke vastgelegd in machten van 10. We zeggen ook wel dat ons
radixnotatie getalsysteem een decimaal talstelsel is.
Additief getallenstelsel = additief betekent eraan toevoegend of
erbij optellend. Hier is de plaats van de gebruikte cijfersymbolen niet
van belang voor de waarde (zoals bij romeinse cijfers).
Het getal CCCLXIII staat hier voor 363. Voor 100 werd een speciaal
symbool gebruikt, alsook voor 50, 10 en 1. Je ziet dat de plaats van
de cijfersymbolen geen invloed heeft op de (totaal)waarde van het
getal.
Situaties herkennen Combinatoriek = bij combinatoriek gaat het om telproblemen. Je
als combinatorische moet tellen hoeveel combinaties van objecten er mogelijk zijn.
situaties een daarmee
rekenen Als ik bijvoorbeeld drie verschillende truien en vier verschillende
broeken heb, kan ik daarmee 3 x 4 = 12 combinaties maken.
