Fiche de révision : Fonctions polynômes de degré 3.
FICHE DE RÉVISION
Mathématiques
Thème : Fonctions polynômes de degré 3.
Sommaire de la fiche de révision :
• Définition et allure générale d'une fonction polynôme de degré 3. Page 2
• La dérivée d'une fonction polynôme de degré 3. Page 3
• Étudier le signe de 𝑓′(𝑥). Page 3 - 4
• Construire le tableau de variations. Page 4 - 5
• Extremums locaux : ce qu'il faut savoir. Page 5 - 6
• Résoudre 𝑓(𝑥) = 0 : méthode de la racine évidente. Page 6 - 7
• Méthode générale - la démarche à suivre pas à pas. Page 7
• Exercices d’application. Page 8 – 10
• Corrigés détaillés. Page 11 - 15
Page 1 sur 15
, Fiche de révision : Fonctions polynômes de degré 3.
1. Définition et allure générale de la fonction polynôme de degré 3.
1.1 Définition.
Une fonction polynôme de degré 3 (ou fonction cubique) est une fonction 𝑓 définie
sur ℝ (l'ensemble des nombres réels) par une expression de la forme :
𝒇(𝒙) = 𝒂 𝒙³ + 𝒃 𝒙² + 𝒄 𝒙 + 𝒅
où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des nombres réels fixés, avec la condition 𝒂 ≠ 𝟎 (sinon 𝑓 ne serait
plus de degré 3).
À retenir :
Le domaine de définition d'une fonction polynôme de degré 3 est toujours ℝ tout
entier : on peut calculer 𝑓(𝑥) pour n'importe quel réel 𝑥.
𝑎 est appelé le coefficient dominant : c'est lui qui impose le comportement de la
courbe à l'infini.
1.2 Comportement à l'infini ("allure" de la courbe).
Le signe du coefficient 𝑎 détermine la forme générale de la courbe :
Signe de 𝒂 Comportement de la courbe
la courbe « descend à gauche, monte à
𝑎 > 0 droite » (comme un S), elle vient de −∞
et part vers +∞.
la courbe « monte à gauche, descend à
𝑎 < 0 droite » (S inversé), elle vient de +∞ et
part vers −∞
Selon les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑, la courbe peut soit être strictement monotone
(toujours croissante ou toujours décroissante sur ℝ), soit présenter une « bosse »
avec un maximum local et un minimum local. C'est l'étude de la dérivée qui permet de
trancher.
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Sommaire de la fiche de révision :
• Définition et allure générale d'une fonction polynôme de degré 3. Page 2
• La dérivée d'une fonction polynôme de degré 3. Page 3
• Étudier le signe de 𝑓′(𝑥). Page 3 - 4
• Construire le tableau de variations. Page 4 - 5
• Extremums locaux : ce qu'il faut savoir. Page 5 - 6
• Résoudre 𝑓(𝑥) = 0 : méthode de la racine évidente. Page 6 - 7
• Méthode générale - la démarche à suivre pas à pas. Page 7
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1. Définition et allure générale de la fonction polynôme de degré 3.
1.1 Définition.
Une fonction polynôme de degré 3 (ou fonction cubique) est une fonction 𝑓 définie
sur ℝ (l'ensemble des nombres réels) par une expression de la forme :
𝒇(𝒙) = 𝒂 𝒙³ + 𝒃 𝒙² + 𝒄 𝒙 + 𝒅
où 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des nombres réels fixés, avec la condition 𝒂 ≠ 𝟎 (sinon 𝑓 ne serait
plus de degré 3).
À retenir :
Le domaine de définition d'une fonction polynôme de degré 3 est toujours ℝ tout
entier : on peut calculer 𝑓(𝑥) pour n'importe quel réel 𝑥.
𝑎 est appelé le coefficient dominant : c'est lui qui impose le comportement de la
courbe à l'infini.
1.2 Comportement à l'infini ("allure" de la courbe).
Le signe du coefficient 𝑎 détermine la forme générale de la courbe :
Signe de 𝒂 Comportement de la courbe
la courbe « descend à gauche, monte à
𝑎 > 0 droite » (comme un S), elle vient de −∞
et part vers +∞.
la courbe « monte à gauche, descend à
𝑎 < 0 droite » (S inversé), elle vient de +∞ et
part vers −∞
Selon les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑, la courbe peut soit être strictement monotone
(toujours croissante ou toujours décroissante sur ℝ), soit présenter une « bosse »
avec un maximum local et un minimum local. C'est l'étude de la dérivée qui permet de
trancher.
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