Mathématique
J.Y. Gantois, P. Job
Notes de cours et résumé
Academic Year 2022 - 2023
1
,Chapitre 1: Logique
2
,La notion de raisonnement valide
Assertion = toute phrase qui affirme quelque chose.
Raisonnement valide = moyen de produire une conclusion vraie au départ de prémisses
vraies, indépendamment de la signification de ces assertions
Les raisonnements valides préservent la vérité lorsqu’ils sont appliqués, quelle
que soit l’interprétation des assertions qui y interviennent.
(Si tous les A vérifient la propriété P et w est un A, alors w vérifie P)
Raisonnement direct : si A, alors B or A Donc B
Raisonnement par contraposition : Si A, alors B or pas B donc pas A
La notion de proposition
Proposition = assertion qui admet une unique valeur de vérité, soit vrai, soit faux.
! Le fait d’être une proposition ne dépend pas de notre capacité à déterminer la
valeur de vérité de cette proposition !
Les opinions (ex. Il est drôle) peuvent être une proposition
Opérateurs Logiques
L’équivalence (p ⇔ q)
La négation (¬p)
La conjonction (p ∧ q)
La disjonction (inclusive) (p ∨ q)
L’implication (p ⇒ q)
Arité de l’opérateur = Le nombre de propositions employées par un opérateur pour
en construire une nouvelle s’appelle
1° L’équivalence p ⇔ q
Définition
L’équivalence de deux propositions p et q est une proposition qui n’est vraie que si p et q
sont, soit toutes les deux vraies, soit
toutes les deux fausses.
Se note : p ⇔ q, se prononce : p est équivalent à q / p équivaut à q,…
Table de vérité
p q p⇔q
V V V
V F F
F V F
3
, F F V
Propriétés
o p ⇔ p est une tautologie = réflexivité
o si p ⇔ q est vraie alors q ⇔ p est vraie = commutativité
o [(p ⇔ q) ⇔ r] ⇔ [p ⇔ (q ⇔ r)] est une tautologie = associativité
Lorsque ces trois propriétés sont vérifiées par une relation entre objets d’un même
ensemble, on dit que la relation est une relation d’équivalence.
Tautologie = Une proposition qui est toujours vraie
Contradiction = Une proposition qui est toujours fausse
2° La négation ¬p ou p¯
Définition
La négation d’une proposition p est la proposition dont la valeur de vérité est différente de
celle de p
Se note : ¬p ou p¯, se prononce : non p
Table de vérité
p ¬p
V F
F V
Priorité des opérateurs : ¬, ⇔
3° La conjonction p ∧ q
Définition
La conjonction de deux propositions p et q est une proposition qui n’est vraie que lorsque p
et q sont vraies.
Se note : p ∧ q, se prononce : p et q
Table de vérité
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
Priorité des opérateurs : ¬, ∧, ⇔
4
J.Y. Gantois, P. Job
Notes de cours et résumé
Academic Year 2022 - 2023
1
,Chapitre 1: Logique
2
,La notion de raisonnement valide
Assertion = toute phrase qui affirme quelque chose.
Raisonnement valide = moyen de produire une conclusion vraie au départ de prémisses
vraies, indépendamment de la signification de ces assertions
Les raisonnements valides préservent la vérité lorsqu’ils sont appliqués, quelle
que soit l’interprétation des assertions qui y interviennent.
(Si tous les A vérifient la propriété P et w est un A, alors w vérifie P)
Raisonnement direct : si A, alors B or A Donc B
Raisonnement par contraposition : Si A, alors B or pas B donc pas A
La notion de proposition
Proposition = assertion qui admet une unique valeur de vérité, soit vrai, soit faux.
! Le fait d’être une proposition ne dépend pas de notre capacité à déterminer la
valeur de vérité de cette proposition !
Les opinions (ex. Il est drôle) peuvent être une proposition
Opérateurs Logiques
L’équivalence (p ⇔ q)
La négation (¬p)
La conjonction (p ∧ q)
La disjonction (inclusive) (p ∨ q)
L’implication (p ⇒ q)
Arité de l’opérateur = Le nombre de propositions employées par un opérateur pour
en construire une nouvelle s’appelle
1° L’équivalence p ⇔ q
Définition
L’équivalence de deux propositions p et q est une proposition qui n’est vraie que si p et q
sont, soit toutes les deux vraies, soit
toutes les deux fausses.
Se note : p ⇔ q, se prononce : p est équivalent à q / p équivaut à q,…
Table de vérité
p q p⇔q
V V V
V F F
F V F
3
, F F V
Propriétés
o p ⇔ p est une tautologie = réflexivité
o si p ⇔ q est vraie alors q ⇔ p est vraie = commutativité
o [(p ⇔ q) ⇔ r] ⇔ [p ⇔ (q ⇔ r)] est une tautologie = associativité
Lorsque ces trois propriétés sont vérifiées par une relation entre objets d’un même
ensemble, on dit que la relation est une relation d’équivalence.
Tautologie = Une proposition qui est toujours vraie
Contradiction = Une proposition qui est toujours fausse
2° La négation ¬p ou p¯
Définition
La négation d’une proposition p est la proposition dont la valeur de vérité est différente de
celle de p
Se note : ¬p ou p¯, se prononce : non p
Table de vérité
p ¬p
V F
F V
Priorité des opérateurs : ¬, ⇔
3° La conjonction p ∧ q
Définition
La conjonction de deux propositions p et q est une proposition qui n’est vraie que lorsque p
et q sont vraies.
Se note : p ∧ q, se prononce : p et q
Table de vérité
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
Priorité des opérateurs : ¬, ∧, ⇔
4
