UNIDAD 1 LA INTEGRAL INDEFINIDA
Cada una de las reglas de derivación que se estudiaron en el curso de Cálculo Diferencial
(Matemáticas II) pueden escribirse en forma diferencial.
Definición de Diferenciales
Considerar que 𝑦 = 𝑓(𝑥) representa una función que es derivable en un intervalo abierto que
contiene a 𝑥. La diferencial de 𝑥 (denotada por 𝑑𝑥) es cualquier número real distinto de cero.
La diferencial de 𝑦 (denotada por 𝑑𝑦) es
𝒅𝒚 = 𝒇′ (𝒙) 𝒅𝒙
Cálculo de Diferenciales
FUNCIÓN DERIVADA DIFERENCIAL
𝒚 = 𝒙𝟐 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝒚 = 𝟒 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 12 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥
= 12 𝐶𝑜𝑠 3𝑥
𝑑𝑥
𝒚 = 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = (𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
= 𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝟏 𝑑𝑦 1 1
𝒚= =− 2 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥
𝒙 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2
𝑑𝑦 𝑥 𝑥
𝒚 = √ 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥
𝑑𝑥 √ 𝑥2 + 1 √ 𝑥2 + 1
Integrar Significa:
a) Encontrar la función conociendo su derivada la cual llamaremos Integral Indefinida
∫ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥
b) Suma de partes o un total de algo ( Áreas, Volúmenes, Trabajo, Centros de Gravedad,
etc) a la que llamaremos Integral Definida
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
Respectivamente al integral la derivada tendremos consigo la función original (bajo cierta
condición) y si integramos una función se obtiene área bajo la curva de esa función.
Definición de Antiderivada o Primitiva
Se dice que una función 𝑭 es una antiderivada o primitiva de 𝒇 , en in intervalo 𝑰 si cumple la
siguiente condición:
𝑭′ (𝒙) = 𝒇(𝒙) para todo 𝒙 en 𝑰
1
, El proceso de cálculo de primitivas se suele llamar Integración y se denota por el símbolo
∫ es llamado signo Integral. Al símbolo ∫ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 se llamará integral indefinida y su resultado
será denotado por la familia de curvas de 𝑓(𝑥).
Considere dos cosas importantes en el cálculo integral
a) La derivación es un proceso inverso a la integración.
𝑑𝑦
[ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
b) La integración es un proceso inverso a la derivación.
∫ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶
Donde:
a) La letra C es llamada Contante de Integración.
b) 𝒇(𝒙) se llama Primitiva de la función. y
c) 𝒇(𝒙) + 𝑪 llamada Familia de Curvas.
Si recordamos en el estudio del Cálculo Diferencial para tener éxito en el proceso de derivación
se toma en cuenta dos pasos importantes siendo estos:
a) Derivar Directo; esto es aplicar directamente una de las fórmulas de derivación al
problema planteado.
b) Usar Álgebra y enseguida derivar; es decir que cuando no existe fórmula directa será
necesario el uso del algebra para así aplicar una de las formulas.
De manera muy semejante en el Cálculo Integral y para lograr el éxito en el proceso
tomaremos en cuenta tres aspectos importantes, que son:
a) Integrar Directo; significa aplicar directamente una de las formulas al problema
planteado.
b) Usar Álgebra y después integrar; esto significa que cuando ninguna de las formulas se
puede aplicar directamente debe usarse el álgebra, para así enseguida aplicar una de
las formulas y resolver el problema.
c) Usar técnica de integración.
INTEGRALES ALGEBRAICAS
Fórmulas básicas de integración.
𝟏. ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 𝟐. ∫ 𝑐 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑢 𝑑𝑥 𝟑. ∫(𝑢 ± 𝑣) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑑𝑥 ± ∫ 𝑣𝑑𝑥
𝑛
𝑥 𝑛+1 𝑛
𝑢𝑛+1
𝟒. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = + 𝑐; 𝑛 ≠ −1 𝟓. ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = + 𝑐; 𝑛 ≠ −1
𝑛+1 𝑛+1
2
Cada una de las reglas de derivación que se estudiaron en el curso de Cálculo Diferencial
(Matemáticas II) pueden escribirse en forma diferencial.
Definición de Diferenciales
Considerar que 𝑦 = 𝑓(𝑥) representa una función que es derivable en un intervalo abierto que
contiene a 𝑥. La diferencial de 𝑥 (denotada por 𝑑𝑥) es cualquier número real distinto de cero.
La diferencial de 𝑦 (denotada por 𝑑𝑦) es
𝒅𝒚 = 𝒇′ (𝒙) 𝒅𝒙
Cálculo de Diferenciales
FUNCIÓN DERIVADA DIFERENCIAL
𝒚 = 𝒙𝟐 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝒚 = 𝟒 𝑺𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 12 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥
= 12 𝐶𝑜𝑠 3𝑥
𝑑𝑥
𝒚 = 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = (𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
= 𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝟏 𝑑𝑦 1 1
𝒚= =− 2 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥
𝒙 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2
𝑑𝑦 𝑥 𝑥
𝒚 = √ 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥
𝑑𝑥 √ 𝑥2 + 1 √ 𝑥2 + 1
Integrar Significa:
a) Encontrar la función conociendo su derivada la cual llamaremos Integral Indefinida
∫ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥
b) Suma de partes o un total de algo ( Áreas, Volúmenes, Trabajo, Centros de Gravedad,
etc) a la que llamaremos Integral Definida
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
Respectivamente al integral la derivada tendremos consigo la función original (bajo cierta
condición) y si integramos una función se obtiene área bajo la curva de esa función.
Definición de Antiderivada o Primitiva
Se dice que una función 𝑭 es una antiderivada o primitiva de 𝒇 , en in intervalo 𝑰 si cumple la
siguiente condición:
𝑭′ (𝒙) = 𝒇(𝒙) para todo 𝒙 en 𝑰
1
, El proceso de cálculo de primitivas se suele llamar Integración y se denota por el símbolo
∫ es llamado signo Integral. Al símbolo ∫ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 se llamará integral indefinida y su resultado
será denotado por la familia de curvas de 𝑓(𝑥).
Considere dos cosas importantes en el cálculo integral
a) La derivación es un proceso inverso a la integración.
𝑑𝑦
[ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
b) La integración es un proceso inverso a la derivación.
∫ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶
Donde:
a) La letra C es llamada Contante de Integración.
b) 𝒇(𝒙) se llama Primitiva de la función. y
c) 𝒇(𝒙) + 𝑪 llamada Familia de Curvas.
Si recordamos en el estudio del Cálculo Diferencial para tener éxito en el proceso de derivación
se toma en cuenta dos pasos importantes siendo estos:
a) Derivar Directo; esto es aplicar directamente una de las fórmulas de derivación al
problema planteado.
b) Usar Álgebra y enseguida derivar; es decir que cuando no existe fórmula directa será
necesario el uso del algebra para así aplicar una de las formulas.
De manera muy semejante en el Cálculo Integral y para lograr el éxito en el proceso
tomaremos en cuenta tres aspectos importantes, que son:
a) Integrar Directo; significa aplicar directamente una de las formulas al problema
planteado.
b) Usar Álgebra y después integrar; esto significa que cuando ninguna de las formulas se
puede aplicar directamente debe usarse el álgebra, para así enseguida aplicar una de
las formulas y resolver el problema.
c) Usar técnica de integración.
INTEGRALES ALGEBRAICAS
Fórmulas básicas de integración.
𝟏. ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 𝟐. ∫ 𝑐 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑢 𝑑𝑥 𝟑. ∫(𝑢 ± 𝑣) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢𝑑𝑥 ± ∫ 𝑣𝑑𝑥
𝑛
𝑥 𝑛+1 𝑛
𝑢𝑛+1
𝟒. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = + 𝑐; 𝑛 ≠ −1 𝟓. ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = + 𝑐; 𝑛 ≠ −1
𝑛+1 𝑛+1
2
