Samenvatting Wiskundige basisvaardigheden, ISBN: 9789057182686 Math Fundamentals

H1: Algebra
1.1 Reële getallen

 De optelling en de vermenigvuldiging van reële getallen zijn commutatief:
ab ba
 De optelling en de vermenigvuldiging van reële getallen zijn associatief:
a  (b  c)  (a  b)  c
 Het getal 0 is het neutraal element voor de optelling: a  0  a  0  a
 Het getal 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging: a.1  a  1.a
 0 als opslorpend element voor de vermenigvuldiging:
a.0  0  0.a
a.b  0  a  0 en/of b  0
 Voor een reëel getal a is het reëel getal -a het tegengesteld element van a (of
het symmetrisch element van a voor de optelling), d.w.z. dat
a  (a)  0  (a)  a
 Voor een niet-nul reëel getal a is het reëel getal a 1 het invers element van a
(of het symmetrisch element van a voor de vermenigvuldiging), d.w.z. dat
a.a 1  1  a 1.a
 Twee reële getallen a en b heten tegengesteld als a = -b. het invers element a 1
1
van een niet-nul reëel getal a noteren we ook als
a
 Distributiviteit van vermenigvuldiging t.o.v. optelling: a (b  c)  ab  ac
a
 Het is heel belangrijk te onthouden dat slechts zin heeft als b een niet-nul
b
reëel getal is
 Prioriteitsregels:
 (haakjes)
 Eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
 Vervolgens optellen en aftrekken van links naar rechts
 Eigenschappen van symmetrische elementen:
  (a)  a
 ( a )b  a (b)  (ab)
 ( a )(b)  ab
 (1)a   a
a a a
    (als b  0 )
b b b
 Bewerkingen met breuken:
a c
 Gelijkheid van breuken:   ad  bc
b d
ka a ka  kb a  b
 Vereenvoudigen van breuken:  en 
kb b kc c
a c ac
 Vermenigvuldigen van breuken: 
b d bd
a c ad
 Delen van breuken: : 
b d bc


DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 1

, a c ad  bc
 Optellen van breuken:  
b d bd
a c ac
 Optellen van breuken met gelijke noemer:  
b b b
 Deelverzamelingen van de reële getallen:
 De verzameling   0,1,2,3,4,... van de natuurlijke getallen
 De verzameling   {..., 3,2,1,0,1,2,3,...} van de gehele getallen
m
 De verzameling Q  { m  Z , n  Z , n  0} van de rationele getallen
n
 De verzameling R\Q van de irrationele getallen, dit zijn alle reële getallen
die niet rationeel zijn




 Decimale ontwikkeling
 Een rij n0 , n1 , n2 , n3 , n4 ,... (met n0  N en alle getallen n1 , n2 ,... gelijk aan
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 of 9) heet een decimale ontwikkeling van een reëel
getal x indien x  n0  n1.10 1  n2 .10 2  n3 .10 3  n4 .10 4  ...
 We noteren n0 , n1n2 n3 n4 ...
 Voorbeeld:
 5/8 = 0.625 = 0  6.10 1  2.10 2  5.10 3
 Deelbaarheid: voor een geheel getal m en een niet-nul geheel getal n zeggen we
dat m deelbaar is door n indien een geheel getal k bestaat zodat m  kn en we
noteren dit als n|m. In dat geval zeggen we dat n een deler is van m en dat m
een veelvoud is van n.
 Eigenschappen van deelbaarheid:
 Als n een deler is van m, dan is ook -n een deler van m
 Als n een deler is van m, dan is n ook een deler van -m
 1 en -1 zijn delers van elk geheel getal
 Elk niet-nul geheel getal is een deler van 0
 0 is nooit een deler van een geheel getal
 Elk niet-nul geheel getal is een deler van zichzelf
 Het kleinste gemene veelvoud (afgekort k.g.v.) van twee gehele getallen m en n
is het kleinste natuurlijk getal dat een veelvoud is van beide getallen; we
noteren kgv(m, n)




DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 2

, De grootste gemene deler (afgekort g.g.d.) van twee gehele getallen m en n is
het grootste natuurlijk getal dat een deler is van beide getallen; we noteren
ggd (m, n)
 Euclidische deling:
 Indien D een geheel getal is en d een niet-nul geheel getal, dan bestaat er
juist een geheel getal q en juist een geheel getal r met 0  r  d zodat
D r
D  d .q  r of q
d d
 Het unieke getal q wordt het quotiënt genoemd en het unieke getal r wordt
d rest genoemd bij deling van D door d
 Een priemgetal is een natuurlijk getal dat verschillend is van 0 en 1 en dat buiten
1 en zichzelf geen positieve delers heeft
 Hoofdstelling van de rekenkunde:
 elk natuurlijk getal n > 1 kan op unieke wijze geschreven worden in de vorm
n n n
n  p1 1 . p2 2 ..... pk k waarbij p1 ,..., pk verschillende priemgetallen zijn en
n1 ,..., nk niet-nulle natuurlijke getallen. De getallen p1 ,..., pk noemen we
de priemfactoren van n
 Voorbeeld:
300 2
126 2
150 2
63 3
75 3
21 3
25 5
7 7
5 5
1
1
126  2.32.7
300  2 2.3.52

 126  21  32  50  71
 300  2 2  31  52  7 0
voor het kgv vermenigvuldigen we de delers met hun grootste exponent :
kgv (126,300)  2 2.32.52.7  6300
voor het ggd vermenigvuldigen we de delers met hun kleinste exponent :
ggd (126,300)  2.3  6




DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 3

, 1.2 Orde op reële getallen


 R  : positieve reële getallen (incl. 0)
 R  : negatieve reële getallen (incl. 0)
 R0 : strikt positieve reële getallen (excl. 0)
 R0 : strikt negatieve reële getallen (excl. 0)

 a  b a is strikt groter dan b
 a  b a is strikt kleiner dan b
 a  b a is groter dan of gelijk aan b
 a  b a is kleiner dan of gelijk aan b
 Eigenschappen van de orde op R
 a  R : a  a (  is reflexief)
 a, b, c  R : (a  b en b  c)  a  c (  is transitief)
 a, b  R : (a  b en b  a )  a  b (  is antisymmetrisch)
 Totale orde: a, b  R : a  b of b  a
 Verbanden tussen orde en bewerkingen op R:
 a, b, c, d  R : a  b en c  d  a  c  b  d
 a, b  R geldt:
 0  a en 0  b  0  ab
 0  a en 0  b  0  ab
 0  a en 0  b  0  ab
 0  a en 0  b  0  ab
 Behoud en omkering van orde:
 a, b, c  R : a  b  a  c  b  c
 a, b  R, c  R  : a  b  ac  bc
 a, b  R, c  R  : a  b  ac  bc
 Intervallen:
 a, b  x  R; a  x  b gesloten interval
 a, b  x  R; a  x  b open interval
 a, b  x  R; a  x  b halfopen interval
 a, b  x  R; a  x  b halfopen interval
a als a  0
 Voor een reëel getal a is de absolute waarde van a: a   
 a als a  0 
 Voor reële getallen a en b is de afstand d(a,b) tussen a en b gelijk aan
d ( a, b)  a  b  b  a




DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 4