Samenvatting verbanden, meten
en meetkunde
Meten en meetkunde
Hoofdstuk 1 Samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde hebben veel raakvlakken. Bij meten gaat het om het getalsmatig
greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en
tijdsduur. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. De essentie van meten is dat een grootheid
wordt afgepast met een maat. Een meting levert een meetgetal op, bijvoorbeeld twee meter. Voor
het meten kunnen allerlei meetinstrumenten worden ingezet, zoals een liniaal.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte. Het gaat
bijvoorbeeld om plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren.
Ruimtelijk redeneren valt binnen meetkunde. De meetaspecten betreffen het bepalen van de maten
van het pak kopieerpapier, bijvoorbeeld gebruikmakend van wat je weet over de maten van zo’n pak,
en het berekenen van de afmetingen van het vel pakpapier.
Het in gedachten zetten van een bouwplaat valt binnen meetkunde.
De vraag, wat de inhoud is van een doos, valt onder meten: het gaat om het kwantificeren van de
eigenschap inhoud. Een kwantiteit is een hoeveelheid en kwantificeren betekent: ergens een getal
aan toekennen. Als kinderen vervolgens – in gedachten – de doos vullen met kubieke decimeters, zijn
ze ruimtelijk aan het redeneren. Ze verrichten een meetkundige (denk)handeling om de meetvraag
te beantwoorden.
Ook bij grootheden lengte en oppervlakte komen meetkundige inzichten naar voren. Een
meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het meten van
oppervlaktes.
Ook het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en meetkunde: een bepaalde
oppervlakte wordt volgelegd met meetkundige vormen.
Ook in de beroemde stelling van Pythagoras uit de klassieke oudheid komen meten en meetkunde
samen. Het is een mooi voorbeeld van de wijze waarop mensen al lang geleden probeerden om de
ruimte om hen heen zowel getalsmatig als ruimtelijk te beschrijven. Deze stelling beschrijft de vaste
relatie tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a 2+ b2=c 2 .
De gulden snede is een verhouding die sinds de zeventiende eeuw staat voor een schoonheidsideaal:
de mooiste verhouding die er bestaat. Ook hierin gaat het om meten en meetkunde: in allerlei
meetkundige figuren zijn afmetingen volgens deze verhouding terug te vinden.
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
Het onderwijs in meten en meetkunde verschaft kinderen het wiskundige gereedschap om hun
dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven. Dat gereedschap kan je letterlijk opvatten:
met behulp van een liniaal of maatbeker krijgen kinderen greep op bijvoorbeeld de grootheden
,lengte en inhoud. Maar in bredere zin kun je het ook opvatten als het beheersen van de wiskundetaal
die van pas komt in het dagelijks leven. Bijvoorbeeld breed, smal, hoog en laag, en richtingen als
noord en zuid.
Een andere overeenkomst is dat het onderwijs zich in beide domeinen kenmerkt door redeneren en
het ontwikkelen van een onderzoekende houding. Zo’n houding wordt een wiskundige attitude
genoemd.
Bezig zijn met meten en meetkunde levert ook een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling van
gecijferdheid. Wie gecijferd is, beschikt onder andere over een groot aantal referenties in het
dagelijks leven. Veel van die referenties zijn over het algemeen meetgetallen. Het begrijpen van de
wereld in meetkundige termen is een aspect van gecijferdheid.
Er zijn ook verschillen tussen de domeinen meten en meetkunde op de basisschool. Bij meten gaat
het meestal om andere (mentale) handelingen dan bij meetkundeactiviteiten. Bij meetactiviteiten
gaat het om het leren meten met een passende maat en zijn kinderen vooral aan het doen (uitvoeren
van metingen, aflezen van meetinstrumenten), kennen (bijvoorbeeld de maten uit het metriek
stelsel) en begrijpen (optreden van meetfouten, maatverfijning en kiezen van de juiste maat). Bij
meetkundeactiviteiten gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het
beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden
van de ‘waarom-vraag’, gericht op verklaren.
De onderlinge samenhang die beide domeinen vertonen, kan in het onderwijs benut worden. Het
heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist geïntegreerd aan bod te laten
komen. Bovendien zijn er tal van mogelijkheden om er geïntegreerd met andere reken-
wiskundedomeinen en vakgebieden aan te werken.
Ook in reken-wiskundemethodes is die samenhang regelmatig herkenbaar. Activiteiten rondom
construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de werkelijkheid, zoals op een plattegrond of
bouwtekening) vallen binnen meetkunde. Rondom een bouwwerk kan het tegelijkertijd gaan om
meetactiviteiten.
Andere voorbeeldactiviteiten liggen op het terrein van tijdzones: lokaliseren of plaatsbepaling op de
aarde valt onder meetkunde, evenals de kennis die te maken heeft met het draaien van de aarde om
haar as en om de zon. Tijdmeting ligt op het terrein van meten.
Ook het maken van een zonnewijzer kent zo’n samenhang: voorspellen van (het verloop van) de
schaduw valt onder meetkunde, tijdmeting onder meten.
Hoofdstuk 2 Meten
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
Meten is niet weg te denken uit onze samenleving: in het dagelijks leven kom je voortdurend in
aanraking met meetgetallen. Bijvoorbeeld op de etiketten op levensmiddelen, op de snelheidsmeter
van je auto of als je op je horloge kijkt. Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht,
inhoud, temperatuur en snelheid. Bij een brood zegt een bepaald getal iets over het gewicht van het
brood, namelijk hoe vaak de maat kilogram erin past.
Bij elke grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden (kortweg: eenheden), die
afhankelijk van de situatie worden gebruikt. Zo wordt de afstand tussen twee steden meestal in
kilometers uitgedrukt en de afmetingen van een boekenkast in centimeters.
Tijdstippen en bedragen zijn ook meetgetallen. Als je de tijd van een klok afleest, is dat het resultaat
van een meting waarbij je afleest hoeveel uren, minuten en seconden er vandaag zijn verstreken.
, In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties, zoals: 50 kilometer per uur is de
maximumsnelheid binnen de bebouwde kom. Zo weet je waarschijnlijk ook dat er bij een
lichaamstemperatuur van 39 graden Celsius sprake is van koorts; het referentiegetal waar je van
uitgaat is hier namelijk 37. Nog zo’n referentiegetal is 365 (dagen).
Bij bepaalde maten kun je je iets concreets voorstellen, bijvoorbeeld een flinke stap bij een meter,
een pak sap bij een liter en een pak suiker bij een kilogram. De stap, het pak en het pak suiker zijn
voorbeelden van referentiematen.
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar. Bijvoorbeeld bij de
maatbeker die wordt gevuld om een hoeveelheid vloeistof af te meten. Andere meetinstrumenten
liggen in het verlengde van afpassen met een maat: zo is een rolmaat te zien als een
aaneenschakeling van meters.
De ene grootheid (lengte) meten om een andere grootheid (gewicht) te bepalen, wordt indirect
meten genoemd. Denk aan een unster (een weeghaak met trekveer).
Op meetinstrumenten is een schaalverdeling aanwezig. Soms is er sprake van verschillende
schaalverdelingen op hetzelfde instrument.
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de
gehanteerde maat en de precisie. Je kunt bijvoorbeeld zeggen dat iemand 1,86 meter of 186
centimeter lang is.
Temperatuur wordt bij weersverwachting meestal als heel getal aangegeven (‘het wordt morgen 19
graden’), maar bij lichaamstemperatuur als kommagetal (‘Erica heeft 38,2 graden koorts’). In dit
voorbeeld hebben de meetgetallen een verschillende meetnauwkeurigheid: aangezien 19 graden tot
op de graad Celsius nauwkeurig is, kan de daadwerkelijke temperatuur tussen 18,5 en 19,5 graden
Celsius liggen. Zo’n afstand tussen twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt, heet een
meetinterval.
De meetnauwkeurigheid van metingen impliceert ook een meetonnauwkeurigheid. In die zin treden
bij meten per definitie meetfouten op. De meetfout valt binnen het meetinterval, dat in dit verband
wordt aangeduid als foutenmarge.
Ook kunnen meetfouten ontstaan bij de meethandeling zelf. Als je bijvoorbeeld een lange wand
meet door er een bordliniaal een aantal op af te passen, is het lastig om steeds exact te bepalen tot
waar je al gemeten hebt.
Om het effect van zo’n meetfout op het meetresultaat te verkleinen, kun je een meting herhaald
uitvoeren en vervolgens het gemiddelde van de meetresultaten nemen.
In de loop van de geschiedenis hebben mensen steeds meer greep gekregen op grootheden. Als
elementaire vorm van meten werden voorwerpen rechtstreeks met elkaar vergeleken.
Een natuurlijke maat is bijvoorbeeld een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden afgepast,
zoals de voet voor de grootheid lengte. Het meten met zo’n natuurlijke maat volstaat als de meting
niet heel nauwkeurig hoeft te worden uitgevoerd.
In het verleden werden maten ook afgeleid van wat mensen redelijkerwijs konden presenteren: de
maten dagmars en uren gaans werden voor afstanden gebruikt. De morgen werd gebruikt voor de
hoeveelheid land die op de ochtend geploegd kon worden: een tijdsduur dus als oppervlaktemaat.
Dit zijn vormen van indirect meten.
Het gebruik van natuurlijke maten heeft meetonnauwkeurigheid tot gevolg: niet alle voeten zijn
immers aan elkaar gelijk. Daarom werd er per regio een standaard nagestreefd: een vaste
afgesproken maar. Doordat elke regio zijn eigen maten erop nahield, werd de handel echter
bemoeilijkt. Niet verwonderlijk dat er behoefte ontstond aan (inter)nationale standaardisering.
en meetkunde
Meten en meetkunde
Hoofdstuk 1 Samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde hebben veel raakvlakken. Bij meten gaat het om het getalsmatig
greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en
tijdsduur. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. De essentie van meten is dat een grootheid
wordt afgepast met een maat. Een meting levert een meetgetal op, bijvoorbeeld twee meter. Voor
het meten kunnen allerlei meetinstrumenten worden ingezet, zoals een liniaal.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte. Het gaat
bijvoorbeeld om plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren.
Ruimtelijk redeneren valt binnen meetkunde. De meetaspecten betreffen het bepalen van de maten
van het pak kopieerpapier, bijvoorbeeld gebruikmakend van wat je weet over de maten van zo’n pak,
en het berekenen van de afmetingen van het vel pakpapier.
Het in gedachten zetten van een bouwplaat valt binnen meetkunde.
De vraag, wat de inhoud is van een doos, valt onder meten: het gaat om het kwantificeren van de
eigenschap inhoud. Een kwantiteit is een hoeveelheid en kwantificeren betekent: ergens een getal
aan toekennen. Als kinderen vervolgens – in gedachten – de doos vullen met kubieke decimeters, zijn
ze ruimtelijk aan het redeneren. Ze verrichten een meetkundige (denk)handeling om de meetvraag
te beantwoorden.
Ook bij grootheden lengte en oppervlakte komen meetkundige inzichten naar voren. Een
meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het meten van
oppervlaktes.
Ook het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en meetkunde: een bepaalde
oppervlakte wordt volgelegd met meetkundige vormen.
Ook in de beroemde stelling van Pythagoras uit de klassieke oudheid komen meten en meetkunde
samen. Het is een mooi voorbeeld van de wijze waarop mensen al lang geleden probeerden om de
ruimte om hen heen zowel getalsmatig als ruimtelijk te beschrijven. Deze stelling beschrijft de vaste
relatie tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a 2+ b2=c 2 .
De gulden snede is een verhouding die sinds de zeventiende eeuw staat voor een schoonheidsideaal:
de mooiste verhouding die er bestaat. Ook hierin gaat het om meten en meetkunde: in allerlei
meetkundige figuren zijn afmetingen volgens deze verhouding terug te vinden.
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
Het onderwijs in meten en meetkunde verschaft kinderen het wiskundige gereedschap om hun
dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven. Dat gereedschap kan je letterlijk opvatten:
met behulp van een liniaal of maatbeker krijgen kinderen greep op bijvoorbeeld de grootheden
,lengte en inhoud. Maar in bredere zin kun je het ook opvatten als het beheersen van de wiskundetaal
die van pas komt in het dagelijks leven. Bijvoorbeeld breed, smal, hoog en laag, en richtingen als
noord en zuid.
Een andere overeenkomst is dat het onderwijs zich in beide domeinen kenmerkt door redeneren en
het ontwikkelen van een onderzoekende houding. Zo’n houding wordt een wiskundige attitude
genoemd.
Bezig zijn met meten en meetkunde levert ook een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling van
gecijferdheid. Wie gecijferd is, beschikt onder andere over een groot aantal referenties in het
dagelijks leven. Veel van die referenties zijn over het algemeen meetgetallen. Het begrijpen van de
wereld in meetkundige termen is een aspect van gecijferdheid.
Er zijn ook verschillen tussen de domeinen meten en meetkunde op de basisschool. Bij meten gaat
het meestal om andere (mentale) handelingen dan bij meetkundeactiviteiten. Bij meetactiviteiten
gaat het om het leren meten met een passende maat en zijn kinderen vooral aan het doen (uitvoeren
van metingen, aflezen van meetinstrumenten), kennen (bijvoorbeeld de maten uit het metriek
stelsel) en begrijpen (optreden van meetfouten, maatverfijning en kiezen van de juiste maat). Bij
meetkundeactiviteiten gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het
beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden
van de ‘waarom-vraag’, gericht op verklaren.
De onderlinge samenhang die beide domeinen vertonen, kan in het onderwijs benut worden. Het
heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist geïntegreerd aan bod te laten
komen. Bovendien zijn er tal van mogelijkheden om er geïntegreerd met andere reken-
wiskundedomeinen en vakgebieden aan te werken.
Ook in reken-wiskundemethodes is die samenhang regelmatig herkenbaar. Activiteiten rondom
construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de werkelijkheid, zoals op een plattegrond of
bouwtekening) vallen binnen meetkunde. Rondom een bouwwerk kan het tegelijkertijd gaan om
meetactiviteiten.
Andere voorbeeldactiviteiten liggen op het terrein van tijdzones: lokaliseren of plaatsbepaling op de
aarde valt onder meetkunde, evenals de kennis die te maken heeft met het draaien van de aarde om
haar as en om de zon. Tijdmeting ligt op het terrein van meten.
Ook het maken van een zonnewijzer kent zo’n samenhang: voorspellen van (het verloop van) de
schaduw valt onder meetkunde, tijdmeting onder meten.
Hoofdstuk 2 Meten
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
Meten is niet weg te denken uit onze samenleving: in het dagelijks leven kom je voortdurend in
aanraking met meetgetallen. Bijvoorbeeld op de etiketten op levensmiddelen, op de snelheidsmeter
van je auto of als je op je horloge kijkt. Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht,
inhoud, temperatuur en snelheid. Bij een brood zegt een bepaald getal iets over het gewicht van het
brood, namelijk hoe vaak de maat kilogram erin past.
Bij elke grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden (kortweg: eenheden), die
afhankelijk van de situatie worden gebruikt. Zo wordt de afstand tussen twee steden meestal in
kilometers uitgedrukt en de afmetingen van een boekenkast in centimeters.
Tijdstippen en bedragen zijn ook meetgetallen. Als je de tijd van een klok afleest, is dat het resultaat
van een meting waarbij je afleest hoeveel uren, minuten en seconden er vandaag zijn verstreken.
, In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties, zoals: 50 kilometer per uur is de
maximumsnelheid binnen de bebouwde kom. Zo weet je waarschijnlijk ook dat er bij een
lichaamstemperatuur van 39 graden Celsius sprake is van koorts; het referentiegetal waar je van
uitgaat is hier namelijk 37. Nog zo’n referentiegetal is 365 (dagen).
Bij bepaalde maten kun je je iets concreets voorstellen, bijvoorbeeld een flinke stap bij een meter,
een pak sap bij een liter en een pak suiker bij een kilogram. De stap, het pak en het pak suiker zijn
voorbeelden van referentiematen.
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar. Bijvoorbeeld bij de
maatbeker die wordt gevuld om een hoeveelheid vloeistof af te meten. Andere meetinstrumenten
liggen in het verlengde van afpassen met een maat: zo is een rolmaat te zien als een
aaneenschakeling van meters.
De ene grootheid (lengte) meten om een andere grootheid (gewicht) te bepalen, wordt indirect
meten genoemd. Denk aan een unster (een weeghaak met trekveer).
Op meetinstrumenten is een schaalverdeling aanwezig. Soms is er sprake van verschillende
schaalverdelingen op hetzelfde instrument.
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de
gehanteerde maat en de precisie. Je kunt bijvoorbeeld zeggen dat iemand 1,86 meter of 186
centimeter lang is.
Temperatuur wordt bij weersverwachting meestal als heel getal aangegeven (‘het wordt morgen 19
graden’), maar bij lichaamstemperatuur als kommagetal (‘Erica heeft 38,2 graden koorts’). In dit
voorbeeld hebben de meetgetallen een verschillende meetnauwkeurigheid: aangezien 19 graden tot
op de graad Celsius nauwkeurig is, kan de daadwerkelijke temperatuur tussen 18,5 en 19,5 graden
Celsius liggen. Zo’n afstand tussen twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt, heet een
meetinterval.
De meetnauwkeurigheid van metingen impliceert ook een meetonnauwkeurigheid. In die zin treden
bij meten per definitie meetfouten op. De meetfout valt binnen het meetinterval, dat in dit verband
wordt aangeduid als foutenmarge.
Ook kunnen meetfouten ontstaan bij de meethandeling zelf. Als je bijvoorbeeld een lange wand
meet door er een bordliniaal een aantal op af te passen, is het lastig om steeds exact te bepalen tot
waar je al gemeten hebt.
Om het effect van zo’n meetfout op het meetresultaat te verkleinen, kun je een meting herhaald
uitvoeren en vervolgens het gemiddelde van de meetresultaten nemen.
In de loop van de geschiedenis hebben mensen steeds meer greep gekregen op grootheden. Als
elementaire vorm van meten werden voorwerpen rechtstreeks met elkaar vergeleken.
Een natuurlijke maat is bijvoorbeeld een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden afgepast,
zoals de voet voor de grootheid lengte. Het meten met zo’n natuurlijke maat volstaat als de meting
niet heel nauwkeurig hoeft te worden uitgevoerd.
In het verleden werden maten ook afgeleid van wat mensen redelijkerwijs konden presenteren: de
maten dagmars en uren gaans werden voor afstanden gebruikt. De morgen werd gebruikt voor de
hoeveelheid land die op de ochtend geploegd kon worden: een tijdsduur dus als oppervlaktemaat.
Dit zijn vormen van indirect meten.
Het gebruik van natuurlijke maten heeft meetonnauwkeurigheid tot gevolg: niet alle voeten zijn
immers aan elkaar gelijk. Daarom werd er per regio een standaard nagestreefd: een vaste
afgesproken maar. Doordat elke regio zijn eigen maten erop nahield, werd de handel echter
bemoeilijkt. Niet verwonderlijk dat er behoefte ontstond aan (inter)nationale standaardisering.
