1ère Devoir maison n°3 A rendre le lundi 6 janvier 2025
Exercice 1 : Utilisation d’une suite auxiliaire
Soit (𝑢𝑛 ) la suite définie par 𝑢0 = 2 et pour tout entier naturel 𝑛 :
2𝑢
𝑢𝑛+1 = 2+3𝑢𝑛
𝑛
1. Montrer que la suite (𝑢𝑛 ) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
2. On admet que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 ≠ 0 et on pose
2
𝑣𝑛 = 𝑢 + 1
𝑛
La suite (𝑣𝑛 ) est donc bien définie pour tout entier naturel 𝑛
2+4𝑢𝑛
2.a Montrer que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑣𝑛+1 = 𝑢𝑛
2.b En déduire que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + 3
2.c En déduire 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛 (formule explicite)
2.d En déduire la formule explicite de 𝑢𝑛
Exercice 2 : Courbe fractale de Von Koch
On part d’un segment 𝐿0 de longueur 𝑢0 = 1 unité. On
découpe 𝐿0 en trois morceaux égaux et on remplace
celui du milieu par deux segments constituant les deux
côtés d’un triangle équilatéral dont on a effacé la base.
1. Calculer la longueur 𝑢1 de la ligne brisée 𝐿1 ainsi
obtenue et comportant quatre segments.
2. On répète ce procédé sur chacun des quatre
segments de 𝐿1 pour obtenir une ligne brisée 𝐿2 de
longueur 𝑢2 . Calculer 𝑢2 .
3.a On répète le procédé précédent. Pour tout nombre
entier naturel 𝑛, déterminer la relation de récurrence
entre 𝑢𝑛+1 et 𝑢𝑛
3.b En déduire la nature de la suite (𝑢𝑛 ) et déterminer
son terme général 𝑢𝑛
3.c A l’aide d’un tableur, répondre à la question
suivante : lorsque 𝑛 devient grand, comment se
comporte la valeur de 𝑢𝑛 ?
Imprimer le tableau du tableur (jusqu’à 𝒖𝟐𝟎 ) ou
envoyer le fichier via pronote.
4. La courbe fractale de Von Koch est une fractale.
On trouve des milliers d’images de fractales sur
internet, notamment sur le site www.gecif.net
Chercher sur internet d’autres exemples de fractales et
rédiger une dizaine de lignes sur les fractales.
Exercice 1 : Utilisation d’une suite auxiliaire
Soit (𝑢𝑛 ) la suite définie par 𝑢0 = 2 et pour tout entier naturel 𝑛 :
2𝑢
𝑢𝑛+1 = 2+3𝑢𝑛
𝑛
1. Montrer que la suite (𝑢𝑛 ) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
2. On admet que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 ≠ 0 et on pose
2
𝑣𝑛 = 𝑢 + 1
𝑛
La suite (𝑣𝑛 ) est donc bien définie pour tout entier naturel 𝑛
2+4𝑢𝑛
2.a Montrer que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑣𝑛+1 = 𝑢𝑛
2.b En déduire que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + 3
2.c En déduire 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛 (formule explicite)
2.d En déduire la formule explicite de 𝑢𝑛
Exercice 2 : Courbe fractale de Von Koch
On part d’un segment 𝐿0 de longueur 𝑢0 = 1 unité. On
découpe 𝐿0 en trois morceaux égaux et on remplace
celui du milieu par deux segments constituant les deux
côtés d’un triangle équilatéral dont on a effacé la base.
1. Calculer la longueur 𝑢1 de la ligne brisée 𝐿1 ainsi
obtenue et comportant quatre segments.
2. On répète ce procédé sur chacun des quatre
segments de 𝐿1 pour obtenir une ligne brisée 𝐿2 de
longueur 𝑢2 . Calculer 𝑢2 .
3.a On répète le procédé précédent. Pour tout nombre
entier naturel 𝑛, déterminer la relation de récurrence
entre 𝑢𝑛+1 et 𝑢𝑛
3.b En déduire la nature de la suite (𝑢𝑛 ) et déterminer
son terme général 𝑢𝑛
3.c A l’aide d’un tableur, répondre à la question
suivante : lorsque 𝑛 devient grand, comment se
comporte la valeur de 𝑢𝑛 ?
Imprimer le tableau du tableur (jusqu’à 𝒖𝟐𝟎 ) ou
envoyer le fichier via pronote.
4. La courbe fractale de Von Koch est une fractale.
On trouve des milliers d’images de fractales sur
internet, notamment sur le site www.gecif.net
Chercher sur internet d’autres exemples de fractales et
rédiger une dizaine de lignes sur les fractales.
