WISKUNDE EN STATISTIEK
Dr. Prof. Bart Windels & Dr. Prof. Tom Dierickx
Deel 1 : Logica
HOOFDSTUK 1 – Propositielogica
Logica = de wetenschap van uitspraken en hoe je die uitspraken met elkaar kan
verbinden
-> overlap met de filosofie
-> Hoe je waarnemingen mag opbouwen?
1.1. Syntax van de propositielogica
Proposities = uitspraken
Connectieven (bovenstaande symbolen) = elementen die ervoor zorgen dat we
met één of twee uitspraken een nieuw uitspraak kunnen maken
Volgorde van de bewerkingen
Afspraak: We evalueren de connectieven altijd in de volgorde
Haakjes hebben voorrang!
Voorbeeld: A (B C)
1.2. Semantiek van de propositielogica
Semantiek = De waarheid van de uitspraken
Kort samengevat: de waarheidswaarde
‘Waar’ = 1
‘Vals’ = 0
,De waarheidstafels
= de semantiek (‘waarheid’) van de logische connectieven
A∧B Slecht als A en B waar zijn -> A en B zijn ‘waar’
A∨B Als één van de twee of de twee uitspraken waar zijn -> ‘waar’
A⇒B Als A vals is dan is B -> ‘waar’
!!Dit hoeft geen oorzakelijk verband/causaliteit te zijn!!
A⇔B Als beide uitspraken ‘waar’ of ‘vals’ zijn -> ‘waar’
Het principe ‘Ex falso sequitur quodlibet’
= een valse uitspraak volgt om het even wat
Uit de definitie van de implicatie wordt er gezegd dat:
VS. Tautologie = een uitspraak die altijd waar is (ongeacht de waarheidswaarde
van de letters die erin voorkomen)
Vaktaal kunnen koppelen aan
uitspraak!!
Associatief = schakelen
Commutatief = van plaats wisselen
Idempotent = dezelfde kracht
Distributief = verspreiden/verdelen
bv. 5 x (3 + 2)
*Eigenschap 1.9 = dubbele negatie (Bv. Het is niet waar dat de deur niet open is ->
de deur is open)
*Eigenschap 1.10 en 1.11 = de wetten van De Morgan (vernoemd nr Augustus)
, *Eigenschap 1.13 = Het principe van het uitgesloten derde of tertium non datur
-> Bv. De deur is open of niet open
*Eigenschap 1.14 = Het principe van de contradictie
-> Bv. De les is tof maar ze is ook niet niet tof.
*Eigenschap 1.15 = Contrapositie (tegengestelde positie)
-> Bv. Als de stoep nat is, dan regent het – Als de stoep niet nat is, dan regent
het niet.
-> Bv. Om te slagen, moet je studeren -> Als je niet studeert, dan slaag je niet.
*Eigenschap 1.18 = De modus ponens
*Eigenschap 1.19 = De modus tollens
*Eigenschap 1.20 = Het hypothetisch syllogisme
-> Bv. Ketting aan redeneringen
*Eigenschap 1.21 = Het disjunctief syllogisme (kiezen of delen)
? Hoe kan je een tautologie bevestigen/bewijzen?
Door een waarheidstabel op te stellen.
VOORBEELD - (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) is een tautologie
Wat je ook invult als
uitspraak, ze zullen
altijd waar zijn
OEFENING 7
a) Als a 2 even is, dan is a even; en als a even is, dan is a + 1 oneven. Dus:
als a 2 even is, dan is a + 1 oneven = Hypothetisch syllogisme
DUS: 42 = 16 & 4 + 1 = 5 (Je maakt een treintje)
, b) Als a 2 even is, dan is a even. Maar, a is oneven. Dus: a 2 is oneven =
Modus tollens
c) Elk natuurlijk getal is even of oneven. = Tertium non datur
OEFENING 16 – (e) – Is dit een logisch gevolg?
De dorpsbarbier scheert precies die mannen die zichzelf niet scheren. Dus, de
dorpsbarbier heeft schoenmaat 46.
Herschrijf: De dorpsbarbier scheert zichzelf als en slechts als hij niet zichzelf
scheert.
(S ¬S) => M
Contradictie
1.3. Logische schakelingen
In de elektronica worden de connectieven (de poorten die al dan wel/niet
elektrische puls doorgeven) gebruikt om logische schakelingen te ontwerpen.
1 = de aanwezigheid van een elektrische puls
0 = de afwezigheid van een elektrische puls
De poorten NAND/implicatie ( | -> de Shefferstreep) , NOR/equivalentie (↓ -> de
Piercepijl) en XOR/”Exclusieve of” (⊕)
Dr. Prof. Bart Windels & Dr. Prof. Tom Dierickx
Deel 1 : Logica
HOOFDSTUK 1 – Propositielogica
Logica = de wetenschap van uitspraken en hoe je die uitspraken met elkaar kan
verbinden
-> overlap met de filosofie
-> Hoe je waarnemingen mag opbouwen?
1.1. Syntax van de propositielogica
Proposities = uitspraken
Connectieven (bovenstaande symbolen) = elementen die ervoor zorgen dat we
met één of twee uitspraken een nieuw uitspraak kunnen maken
Volgorde van de bewerkingen
Afspraak: We evalueren de connectieven altijd in de volgorde
Haakjes hebben voorrang!
Voorbeeld: A (B C)
1.2. Semantiek van de propositielogica
Semantiek = De waarheid van de uitspraken
Kort samengevat: de waarheidswaarde
‘Waar’ = 1
‘Vals’ = 0
,De waarheidstafels
= de semantiek (‘waarheid’) van de logische connectieven
A∧B Slecht als A en B waar zijn -> A en B zijn ‘waar’
A∨B Als één van de twee of de twee uitspraken waar zijn -> ‘waar’
A⇒B Als A vals is dan is B -> ‘waar’
!!Dit hoeft geen oorzakelijk verband/causaliteit te zijn!!
A⇔B Als beide uitspraken ‘waar’ of ‘vals’ zijn -> ‘waar’
Het principe ‘Ex falso sequitur quodlibet’
= een valse uitspraak volgt om het even wat
Uit de definitie van de implicatie wordt er gezegd dat:
VS. Tautologie = een uitspraak die altijd waar is (ongeacht de waarheidswaarde
van de letters die erin voorkomen)
Vaktaal kunnen koppelen aan
uitspraak!!
Associatief = schakelen
Commutatief = van plaats wisselen
Idempotent = dezelfde kracht
Distributief = verspreiden/verdelen
bv. 5 x (3 + 2)
*Eigenschap 1.9 = dubbele negatie (Bv. Het is niet waar dat de deur niet open is ->
de deur is open)
*Eigenschap 1.10 en 1.11 = de wetten van De Morgan (vernoemd nr Augustus)
, *Eigenschap 1.13 = Het principe van het uitgesloten derde of tertium non datur
-> Bv. De deur is open of niet open
*Eigenschap 1.14 = Het principe van de contradictie
-> Bv. De les is tof maar ze is ook niet niet tof.
*Eigenschap 1.15 = Contrapositie (tegengestelde positie)
-> Bv. Als de stoep nat is, dan regent het – Als de stoep niet nat is, dan regent
het niet.
-> Bv. Om te slagen, moet je studeren -> Als je niet studeert, dan slaag je niet.
*Eigenschap 1.18 = De modus ponens
*Eigenschap 1.19 = De modus tollens
*Eigenschap 1.20 = Het hypothetisch syllogisme
-> Bv. Ketting aan redeneringen
*Eigenschap 1.21 = Het disjunctief syllogisme (kiezen of delen)
? Hoe kan je een tautologie bevestigen/bewijzen?
Door een waarheidstabel op te stellen.
VOORBEELD - (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) is een tautologie
Wat je ook invult als
uitspraak, ze zullen
altijd waar zijn
OEFENING 7
a) Als a 2 even is, dan is a even; en als a even is, dan is a + 1 oneven. Dus:
als a 2 even is, dan is a + 1 oneven = Hypothetisch syllogisme
DUS: 42 = 16 & 4 + 1 = 5 (Je maakt een treintje)
, b) Als a 2 even is, dan is a even. Maar, a is oneven. Dus: a 2 is oneven =
Modus tollens
c) Elk natuurlijk getal is even of oneven. = Tertium non datur
OEFENING 16 – (e) – Is dit een logisch gevolg?
De dorpsbarbier scheert precies die mannen die zichzelf niet scheren. Dus, de
dorpsbarbier heeft schoenmaat 46.
Herschrijf: De dorpsbarbier scheert zichzelf als en slechts als hij niet zichzelf
scheert.
(S ¬S) => M
Contradictie
1.3. Logische schakelingen
In de elektronica worden de connectieven (de poorten die al dan wel/niet
elektrische puls doorgeven) gebruikt om logische schakelingen te ontwerpen.
1 = de aanwezigheid van een elektrische puls
0 = de afwezigheid van een elektrische puls
De poorten NAND/implicatie ( | -> de Shefferstreep) , NOR/equivalentie (↓ -> de
Piercepijl) en XOR/”Exclusieve of” (⊕)
