Kennisbasis Rekenen & Wiskunde
Ale, P., & Van Schaik, M. (2018). Rekenen + wiskunde uitgelegd. Kennisbasis voor leerkrachten
basisonderwijs (3e herziene druk). Uitgeverij CouDnho.
Hele getallen en bewerkingen
Volgorde van bewerkingen
De volgende afspraken zijn er wat betreK de volgorde van bewerkingen:
- Bewerkingen tussen haakjes worden alDjd het eerst uitgerekend.
- Daarna volgen machtsverheffen en worteltrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aKrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gebeurt in de volgorde waarin ze staan.
- Optellen en aKrekken gebeurt in de volgorde waarin ze staan.
225: (24x13 – 26x11 – 11)2
1) 24 x 13 en 26x11 berekenen.
2) 24 x 13 = 312 en 26 x 11 = 286
3) 225: (312 – 286 – 11)2
4) 312 – 286 – 11 = 15
5) 225 : 152
6) 152 = 225
7) 225 : 225 = 1
Cijferen en scha6en
Cijferen is het volgens algoritmen (vaste richtlijnen) uitrekenen van opgaven, ook wel onder elkaar
rekenen genoemd. Cijferen gebeurt met grote getallen en als handig rekenen geen uitkomst biedt.
Cijferend optellen:
In veel methoden wordt, vanuit een didacDsche ontwikkeling, eerst aandacht geschonken aan
kolomsgewijs rekenen, waarna door verkorDng de meest abstracte werkwijze overblijK. Kolomsgewijs
optellen is gebaseerd op het splitsen van getallen in bijvoorbeeld honderdtallen, Dentallen en
eenheden, deze respecDevelijk bij elkaar op te tellen en dan het geheel weer samen te voegen. Het
achterliggende principe van deze werkwijze is de verdeeleigenschap.
De opgave 345 + 567 =
Kolomsgewijs A Kolomsgewijs B Kolomsgewijs C Standaardalgoritme
345 = 300 + 40 + 5 345 345 11
567 = 500 + 60 + 7 567 + 567 + 345
800 + 100 + 12 = 912 800 12 567 +
100 100 912
12 800 +
912 912
Zowel kolomsgewijs B als kolomsgewijs C als het standaardalgoritme past in het posiDeschema/HTE-
schema. Dit kan ondersteund worden met MAB-materiaal om meer handelend bezig te zijn, of met
geld, waardoor de opgaven meteen betekenis krijgen (passende context
, H T E
3 4 5
5 6 7
8 10 12
8 11 2
9 1 2
Cijferend aKrekken:
Kolomsgewijs aKrekken wordt bij veel methoden als voorloper op het standaardalgoritme gebruikt.
Naast elkaar leidt dat tot:
756 – 387 =
H T E
700 – 300 = 400 6 14 16
50 – 80 = -30 7 5 6
6–7= -1 3 8 7 -
400 – 30 – 1 = 369 3 6 9
Het is duidelijk dat leerlingen die het abstracte algoritme begrijpen op een hoger rekenniveau
funcDoneren dan leerlingen die zich nog met kolomsgewijs rekenen moeten ‘behelpen’. Ook hier kan
het posiDeschema (met MAB-materiaal) als tussenfase gebruikt worden. Bij gebruik van dit materiaal
of geld kan het ‘lenen’ goed in beeld worden gebracht. Een andere benadering van het
aKrekalgoritme is het gebruik van tekorten:
H T E Er zijn allerlei manieren om tekort aan te duiden. We gebruiken hier
7 5 6 een streepje erdoor. Na de eerste ronde worden de tekorten van links
3 8 7 - naar rechts weggewerkt. Omdat er uiteindelijk van rechts naar links
4 3 1 gewerkt moet worden, wordt de notaDe aangepast.
3 7 1
3 6 9
Cijferend vermenigvuldigen:
Het model dat het dichtst bij vermenigvuldigen staat is het rechthoekmodel, dit wordt ook wel het
oppervlaktemodel genoemd. In het rechthoekmodel kunnen een paar belangrijke eigenschappen van
vermenigvuldigen herkend worden:
1. Vermenigvuldigen is herhaald optellen;
2. De communicaDeve eigenschap;
3. De distribuDeve eigenschap;
4. De associaDeve eigenschap;
5. Groter of kleiner maken bij vermenigvuldigen.
,De vermenigvuldiging 27 x 35 kan in beeld worden gebracht zoals hieronder:
Abstracter kan gebruik worden gemaakt van een vermenigvuldigingstabel:
X 20 7
30 600 210
5 100 35
Elk getal wordt gesplitst in Dentallen en eenheden. Daarna wordt elke mogelijke combinaDe van
vermenigvuldiging tussen de verschillende delen in beeld gebracht. De uitkomst wordt verkregen
door alle deeluitkomsten op te tellen. Dit kan vervolgens verkort worden weergegeven:
35
27 x
35 (= 7 x 5)
210 (= 7 x 30)
100 (= 20 x 5)
600 + (= 20 x 30)
945
De volgende stap is verkorten door te constateren dat de 30 van de eerste tussenuitkomst 35
bewaard kan worden en daarna opgeteld wordt bij de tweede tussenuitkomst (210). Datzelfde geldt
voor de twee volgende tussenuitkomsten (100 en de 600). Dat leidt tot:
35
27 x
245 (= 7 x 35)
700 + (= 20 x 35)
945
, Cijferend delen:
De eerste stap is kolomsgewijs delen:
Het uiteindelijke doel is om tot een zo kort
mogelijke sliert te komen. Je moet op het
hoogste niveau kunnen staartdelen.
De inverse van delen is vermenigvuldigen. Dit gegeven heeK geleid tot een werkwijze die
opvermenigvuldigen heet. Als iemand bijvoorbeeld wil weten hoe vaak 15 in 370 past, kan hij een
staartdeling maken. Hij kan ook de volgende beredenering toepassen:
10 x 15 = 150
20 x 15 = 300
4 x 15 = 60
15 past 20 + 4 = 24 keer in 370. Er wordt dus toegerekend of opvermenigvuldigd naar de gewenste
uitkomst, via optellingen. Deze werkwijze kan helpen bij relaDef kleine getallen.
Schajen:
Bij schajen gaat het erom op een beredeneerde manier, maar zonder algoritme, tot een schakng te
komen die de precieze uitkomst benadert.
2345 + 2456 + 3400 =
De eerste stap bij het schajen van deze som is het optellen van de duizendtallen. 7000 zou een te
lage schakng zijn, en 10.000 te hoog. Je weet nu wel waartussen de uitkomst ligt. Een tweede stap is
het optellen van de honderdtallen. Dit levert op dat 300 + 400 + 400 = 1100. Dit gecombineerd levert
de schakng 8100 op. De echte uitkomst is 8201. Er is geen standaardmarge waarbinnen een
geschaje uitkomst moet liggen. Als we afspreken dat een schakng 10% van de echte uitkomst af
mag liggen, dan heb je het goed gedaan. Als je 350 + 450 + 400 = 1200 had genomen, dan was de
schakng nog beter geweest.
De rekenmachine
Bij het didacDsch gebruiken van de rekenmachine zijn de volgende vier aspecten te onderscheiden:
1. De rekenmachine als vlo;e rekenaar: bij het oplossen van wiskundige problemen waarbij het
rekenwerk niet de hoofdzaak is, kan de rekenmachine gebruikt worden om het saaie rekenwerk te
doen.
2. De rekenmachine als controlemiddel van een bepaalde rekenprocedure.
3. De rekenmachine als middel tot ontdekking van rekenwiskundige rela=es: vooral de relaDe tussen
breuken, procenten en verhoudingen kunnen hier onderwerp van studie zijn.
4. De rekenmachine als spelletjesbron: bij spelletjes kun je denken aan woorden maken van digitale
cijfers.
Ale, P., & Van Schaik, M. (2018). Rekenen + wiskunde uitgelegd. Kennisbasis voor leerkrachten
basisonderwijs (3e herziene druk). Uitgeverij CouDnho.
Hele getallen en bewerkingen
Volgorde van bewerkingen
De volgende afspraken zijn er wat betreK de volgorde van bewerkingen:
- Bewerkingen tussen haakjes worden alDjd het eerst uitgerekend.
- Daarna volgen machtsverheffen en worteltrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aKrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gebeurt in de volgorde waarin ze staan.
- Optellen en aKrekken gebeurt in de volgorde waarin ze staan.
225: (24x13 – 26x11 – 11)2
1) 24 x 13 en 26x11 berekenen.
2) 24 x 13 = 312 en 26 x 11 = 286
3) 225: (312 – 286 – 11)2
4) 312 – 286 – 11 = 15
5) 225 : 152
6) 152 = 225
7) 225 : 225 = 1
Cijferen en scha6en
Cijferen is het volgens algoritmen (vaste richtlijnen) uitrekenen van opgaven, ook wel onder elkaar
rekenen genoemd. Cijferen gebeurt met grote getallen en als handig rekenen geen uitkomst biedt.
Cijferend optellen:
In veel methoden wordt, vanuit een didacDsche ontwikkeling, eerst aandacht geschonken aan
kolomsgewijs rekenen, waarna door verkorDng de meest abstracte werkwijze overblijK. Kolomsgewijs
optellen is gebaseerd op het splitsen van getallen in bijvoorbeeld honderdtallen, Dentallen en
eenheden, deze respecDevelijk bij elkaar op te tellen en dan het geheel weer samen te voegen. Het
achterliggende principe van deze werkwijze is de verdeeleigenschap.
De opgave 345 + 567 =
Kolomsgewijs A Kolomsgewijs B Kolomsgewijs C Standaardalgoritme
345 = 300 + 40 + 5 345 345 11
567 = 500 + 60 + 7 567 + 567 + 345
800 + 100 + 12 = 912 800 12 567 +
100 100 912
12 800 +
912 912
Zowel kolomsgewijs B als kolomsgewijs C als het standaardalgoritme past in het posiDeschema/HTE-
schema. Dit kan ondersteund worden met MAB-materiaal om meer handelend bezig te zijn, of met
geld, waardoor de opgaven meteen betekenis krijgen (passende context
, H T E
3 4 5
5 6 7
8 10 12
8 11 2
9 1 2
Cijferend aKrekken:
Kolomsgewijs aKrekken wordt bij veel methoden als voorloper op het standaardalgoritme gebruikt.
Naast elkaar leidt dat tot:
756 – 387 =
H T E
700 – 300 = 400 6 14 16
50 – 80 = -30 7 5 6
6–7= -1 3 8 7 -
400 – 30 – 1 = 369 3 6 9
Het is duidelijk dat leerlingen die het abstracte algoritme begrijpen op een hoger rekenniveau
funcDoneren dan leerlingen die zich nog met kolomsgewijs rekenen moeten ‘behelpen’. Ook hier kan
het posiDeschema (met MAB-materiaal) als tussenfase gebruikt worden. Bij gebruik van dit materiaal
of geld kan het ‘lenen’ goed in beeld worden gebracht. Een andere benadering van het
aKrekalgoritme is het gebruik van tekorten:
H T E Er zijn allerlei manieren om tekort aan te duiden. We gebruiken hier
7 5 6 een streepje erdoor. Na de eerste ronde worden de tekorten van links
3 8 7 - naar rechts weggewerkt. Omdat er uiteindelijk van rechts naar links
4 3 1 gewerkt moet worden, wordt de notaDe aangepast.
3 7 1
3 6 9
Cijferend vermenigvuldigen:
Het model dat het dichtst bij vermenigvuldigen staat is het rechthoekmodel, dit wordt ook wel het
oppervlaktemodel genoemd. In het rechthoekmodel kunnen een paar belangrijke eigenschappen van
vermenigvuldigen herkend worden:
1. Vermenigvuldigen is herhaald optellen;
2. De communicaDeve eigenschap;
3. De distribuDeve eigenschap;
4. De associaDeve eigenschap;
5. Groter of kleiner maken bij vermenigvuldigen.
,De vermenigvuldiging 27 x 35 kan in beeld worden gebracht zoals hieronder:
Abstracter kan gebruik worden gemaakt van een vermenigvuldigingstabel:
X 20 7
30 600 210
5 100 35
Elk getal wordt gesplitst in Dentallen en eenheden. Daarna wordt elke mogelijke combinaDe van
vermenigvuldiging tussen de verschillende delen in beeld gebracht. De uitkomst wordt verkregen
door alle deeluitkomsten op te tellen. Dit kan vervolgens verkort worden weergegeven:
35
27 x
35 (= 7 x 5)
210 (= 7 x 30)
100 (= 20 x 5)
600 + (= 20 x 30)
945
De volgende stap is verkorten door te constateren dat de 30 van de eerste tussenuitkomst 35
bewaard kan worden en daarna opgeteld wordt bij de tweede tussenuitkomst (210). Datzelfde geldt
voor de twee volgende tussenuitkomsten (100 en de 600). Dat leidt tot:
35
27 x
245 (= 7 x 35)
700 + (= 20 x 35)
945
, Cijferend delen:
De eerste stap is kolomsgewijs delen:
Het uiteindelijke doel is om tot een zo kort
mogelijke sliert te komen. Je moet op het
hoogste niveau kunnen staartdelen.
De inverse van delen is vermenigvuldigen. Dit gegeven heeK geleid tot een werkwijze die
opvermenigvuldigen heet. Als iemand bijvoorbeeld wil weten hoe vaak 15 in 370 past, kan hij een
staartdeling maken. Hij kan ook de volgende beredenering toepassen:
10 x 15 = 150
20 x 15 = 300
4 x 15 = 60
15 past 20 + 4 = 24 keer in 370. Er wordt dus toegerekend of opvermenigvuldigd naar de gewenste
uitkomst, via optellingen. Deze werkwijze kan helpen bij relaDef kleine getallen.
Schajen:
Bij schajen gaat het erom op een beredeneerde manier, maar zonder algoritme, tot een schakng te
komen die de precieze uitkomst benadert.
2345 + 2456 + 3400 =
De eerste stap bij het schajen van deze som is het optellen van de duizendtallen. 7000 zou een te
lage schakng zijn, en 10.000 te hoog. Je weet nu wel waartussen de uitkomst ligt. Een tweede stap is
het optellen van de honderdtallen. Dit levert op dat 300 + 400 + 400 = 1100. Dit gecombineerd levert
de schakng 8100 op. De echte uitkomst is 8201. Er is geen standaardmarge waarbinnen een
geschaje uitkomst moet liggen. Als we afspreken dat een schakng 10% van de echte uitkomst af
mag liggen, dan heb je het goed gedaan. Als je 350 + 450 + 400 = 1200 had genomen, dan was de
schakng nog beter geweest.
De rekenmachine
Bij het didacDsch gebruiken van de rekenmachine zijn de volgende vier aspecten te onderscheiden:
1. De rekenmachine als vlo;e rekenaar: bij het oplossen van wiskundige problemen waarbij het
rekenwerk niet de hoofdzaak is, kan de rekenmachine gebruikt worden om het saaie rekenwerk te
doen.
2. De rekenmachine als controlemiddel van een bepaalde rekenprocedure.
3. De rekenmachine als middel tot ontdekking van rekenwiskundige rela=es: vooral de relaDe tussen
breuken, procenten en verhoudingen kunnen hier onderwerp van studie zijn.
4. De rekenmachine als spelletjesbron: bij spelletjes kun je denken aan woorden maken van digitale
cijfers.
