Topometrie 2
1 Foutentheorie en waarschijnlijkheden
1.1 Waarschijnlijkheid
1.1.1 Definitie
¿ gunstige of gewenste gevallen
De waarschijnlijkheid =
¿ mogelijke gevallen
1.1.2 Combinatieleer
Faculteit:
Op GRM: ‘math’ ‘PRB’ ‘!’
n! = n .(n-1) . (n-2) . …. . 1
1.Variaties:
Volgorde is wel van belang en herhaling is niet toegestaan variatie (V)
V np p elementen kunnen uit n elementen gehaald worden.
n zijn alle mogelijkheden en p is de hoeveelheid mogelijkheden er worden toegepast
n! n faculteit
V np= =
(n− p) ! (n− p)faculteit
2.Herhalingsvariaties
Volgorde is wel van belang en herhaling is wel toegestaan herhalingsvariatie (V´ )
V´ np=n p
3.Combinaties
Volgorde is niet van belang en herhaling is niet toegestaan combinatie (C)
n!
C np=
( n− p ) ! . p !
4.Herhalingscombinatie
´
Volgorde is niet van belang en herhaling is wel toegestaan herhalingscombinatie (C)
n!
Ć np=C n+
p
p−1=¿
( n−p ) ! . p !
5.Gewone permutatie
Volgorde is wel van belang en herhaling is niet mogelijk permutatie (P)
Bij permutatie is het aantal mogelijkheden = het aantal mogelijkheden die worden toegepast
p=n
Pn=n!
Pagina 1 van 32
,6.Herhalingspermutatie
´
Volgorde is wel van belang en herhaling is wel toegestaan herhalingspermutatie ( P)
Ṕαn ; β ;γ n is het totaal aantal elementen en α ; β ; γ zijn het aantal soorten elementen
n!
Ṕαn ; β ;γ =
α !. β! .γ !
1.1.3 Relatieve frequentie
Toevallige veranderlijke
Een toevallig veranderlijke is elke grootheid die niet exact reproduceerbaar is. Herhaling van de meting leidt tot
verschillende uitkomsten = toevallige ver veranderlijke
Hoekmeting hangt af van opstelling, richtnauwkeurigheid, afleesnauwkeurigheid…
Toevallig en relatieve frequentie
De absolute frequentie (na) bepaald hoeveel keer een eigenschap voorkomt in een bepaalde reeks.
De relatieve frequentie (f) bepaald hoeveel keer de absolute frequentie voorkomt op het totaal aantal van de reeks.
absolute frequentie na
relatieve frequentie= =
¿ karakters n
Probabiliteit en waarschijnlijkheid
Probabiliteit en waarschijnlijkheid vormen een uitspraak over de steekproef wanneer bij het wijzigen van het totaal
aantal karakter en de absolute frequentie, de relatieve frequentie redelijke contant blijft.
1.2 De foutenkromme
1.2.1 Waarnemingsfouten
Waarnemingsfouten zijn gerelateerd aan toevallige veranderlijke. De waarnemingsfout is de oorzaak van een
toevallig veranderlijke.
Oorzaak en aard van waarnemingsfouten:
Onvolmaaktheid van het instrument
Tekortkoming van de waarnemer
Uitwendige omstandigheden
Soorten fouten: (examen)
Grove fouten: te wijten vaan vergissing van de waarnemer, verkeerde aflezing
Systematische fouten: fouten die continue blijven voorkomen, door het meetinstrument, de waarnemer of
omstandigheden. Het teken van de fout wijzigt niet.
Toevallige fouten: fouten die verschillen van meting tot meting. Het teken van de fout wijzigt wel.
Pagina 2 van 32
,1.2.2 Frequentiekromme
De frequentiekromme of verdelingsdiagram is een uitzetting van de verkregen waarden uit een opmeting die
onderling verschillen.
De afwijkingen tov het gemiddelde worden ingedeeld in groepen:
0cm ≤ x1 ≤ 1cm hoeveel metingen wijken af tussen 0cm en 1cm vd werkelijke waarde
1cm ≤ x1 ≤ 2cm
….
Absolute frequentie
+
-
Afwijkingen
gemiddelde
Hoe kleiner de intervallen bij het bepalen van de afwijkingen tov het gemiddelde, hoe minder hoekig de
frequentiediagram => frequentiekromme = verdelingskromme
Absolute frequentie
Afwijkingen
gemiddelde
Y = x + dx # afwijkingen tov het gemiddelde waarvan de waarde ligt tussen x en x+dx
b
∫ y . dx is de totale afwijking tov het gemiddelde waarvan de waarde ligt tussen a en be
a
+∞
∫ y . dx is het aantal metingen => aantal afwijkingen tov het gemiddelde tussen +∞ en -∞
−∞
Bij een grote N zal men de absolute frequentie weergeven in percentage omdat het aantal metingen te groot is.
Pagina 3 van 32
, nx
absolute frequentie ( nx ) = . 100 %
N
nx
relatieve frequentie (f )=
N
Bij de weergave van de relatieve frequentie noemt men de verdelingskromme de foutekromme van Gauss. Een
gausskromme is enkel zinvol bij grote waarden.
De opp. onder de Gausskromme = 1
1.2.3 Centrummaten en spreidingsmaten
Modus: getal die het meeste voorkomt
Mediaan: middenstem waarde wanneer de reeks geordend staat van klein naar groot
Eerste kwartiel (Q1): eerste 25% van de waarnemingen
Derde kwartiel (Q3): eerste 75% of laatste 25% van de waarnemingen
Gemiddelde: gemiddelde waarde van de populatie
Outliers: zijnwaarde ie mogelijk zijn maar wel abnormaal en worden niet in een boxplot opgenomen.
Spreidingsbreedte: grootste waarde – kleinste waarde
Kwartielafstand: Q3 – Q1
Variantie: gemiddelde kwadratische afwijking
Standaardafwijking: √ variatie , hoe groter de standaardafwijking hoe groter de afwijking tot het gemiddelde
σ = populatie
s = steekproef
hoe smaller de curve is langs µ in de gausscurve, hoe nauwkeuriger de meting is uitgevoerd.
Pagina 4 van 32
1 Foutentheorie en waarschijnlijkheden
1.1 Waarschijnlijkheid
1.1.1 Definitie
¿ gunstige of gewenste gevallen
De waarschijnlijkheid =
¿ mogelijke gevallen
1.1.2 Combinatieleer
Faculteit:
Op GRM: ‘math’ ‘PRB’ ‘!’
n! = n .(n-1) . (n-2) . …. . 1
1.Variaties:
Volgorde is wel van belang en herhaling is niet toegestaan variatie (V)
V np p elementen kunnen uit n elementen gehaald worden.
n zijn alle mogelijkheden en p is de hoeveelheid mogelijkheden er worden toegepast
n! n faculteit
V np= =
(n− p) ! (n− p)faculteit
2.Herhalingsvariaties
Volgorde is wel van belang en herhaling is wel toegestaan herhalingsvariatie (V´ )
V´ np=n p
3.Combinaties
Volgorde is niet van belang en herhaling is niet toegestaan combinatie (C)
n!
C np=
( n− p ) ! . p !
4.Herhalingscombinatie
´
Volgorde is niet van belang en herhaling is wel toegestaan herhalingscombinatie (C)
n!
Ć np=C n+
p
p−1=¿
( n−p ) ! . p !
5.Gewone permutatie
Volgorde is wel van belang en herhaling is niet mogelijk permutatie (P)
Bij permutatie is het aantal mogelijkheden = het aantal mogelijkheden die worden toegepast
p=n
Pn=n!
Pagina 1 van 32
,6.Herhalingspermutatie
´
Volgorde is wel van belang en herhaling is wel toegestaan herhalingspermutatie ( P)
Ṕαn ; β ;γ n is het totaal aantal elementen en α ; β ; γ zijn het aantal soorten elementen
n!
Ṕαn ; β ;γ =
α !. β! .γ !
1.1.3 Relatieve frequentie
Toevallige veranderlijke
Een toevallig veranderlijke is elke grootheid die niet exact reproduceerbaar is. Herhaling van de meting leidt tot
verschillende uitkomsten = toevallige ver veranderlijke
Hoekmeting hangt af van opstelling, richtnauwkeurigheid, afleesnauwkeurigheid…
Toevallig en relatieve frequentie
De absolute frequentie (na) bepaald hoeveel keer een eigenschap voorkomt in een bepaalde reeks.
De relatieve frequentie (f) bepaald hoeveel keer de absolute frequentie voorkomt op het totaal aantal van de reeks.
absolute frequentie na
relatieve frequentie= =
¿ karakters n
Probabiliteit en waarschijnlijkheid
Probabiliteit en waarschijnlijkheid vormen een uitspraak over de steekproef wanneer bij het wijzigen van het totaal
aantal karakter en de absolute frequentie, de relatieve frequentie redelijke contant blijft.
1.2 De foutenkromme
1.2.1 Waarnemingsfouten
Waarnemingsfouten zijn gerelateerd aan toevallige veranderlijke. De waarnemingsfout is de oorzaak van een
toevallig veranderlijke.
Oorzaak en aard van waarnemingsfouten:
Onvolmaaktheid van het instrument
Tekortkoming van de waarnemer
Uitwendige omstandigheden
Soorten fouten: (examen)
Grove fouten: te wijten vaan vergissing van de waarnemer, verkeerde aflezing
Systematische fouten: fouten die continue blijven voorkomen, door het meetinstrument, de waarnemer of
omstandigheden. Het teken van de fout wijzigt niet.
Toevallige fouten: fouten die verschillen van meting tot meting. Het teken van de fout wijzigt wel.
Pagina 2 van 32
,1.2.2 Frequentiekromme
De frequentiekromme of verdelingsdiagram is een uitzetting van de verkregen waarden uit een opmeting die
onderling verschillen.
De afwijkingen tov het gemiddelde worden ingedeeld in groepen:
0cm ≤ x1 ≤ 1cm hoeveel metingen wijken af tussen 0cm en 1cm vd werkelijke waarde
1cm ≤ x1 ≤ 2cm
….
Absolute frequentie
+
-
Afwijkingen
gemiddelde
Hoe kleiner de intervallen bij het bepalen van de afwijkingen tov het gemiddelde, hoe minder hoekig de
frequentiediagram => frequentiekromme = verdelingskromme
Absolute frequentie
Afwijkingen
gemiddelde
Y = x + dx # afwijkingen tov het gemiddelde waarvan de waarde ligt tussen x en x+dx
b
∫ y . dx is de totale afwijking tov het gemiddelde waarvan de waarde ligt tussen a en be
a
+∞
∫ y . dx is het aantal metingen => aantal afwijkingen tov het gemiddelde tussen +∞ en -∞
−∞
Bij een grote N zal men de absolute frequentie weergeven in percentage omdat het aantal metingen te groot is.
Pagina 3 van 32
, nx
absolute frequentie ( nx ) = . 100 %
N
nx
relatieve frequentie (f )=
N
Bij de weergave van de relatieve frequentie noemt men de verdelingskromme de foutekromme van Gauss. Een
gausskromme is enkel zinvol bij grote waarden.
De opp. onder de Gausskromme = 1
1.2.3 Centrummaten en spreidingsmaten
Modus: getal die het meeste voorkomt
Mediaan: middenstem waarde wanneer de reeks geordend staat van klein naar groot
Eerste kwartiel (Q1): eerste 25% van de waarnemingen
Derde kwartiel (Q3): eerste 75% of laatste 25% van de waarnemingen
Gemiddelde: gemiddelde waarde van de populatie
Outliers: zijnwaarde ie mogelijk zijn maar wel abnormaal en worden niet in een boxplot opgenomen.
Spreidingsbreedte: grootste waarde – kleinste waarde
Kwartielafstand: Q3 – Q1
Variantie: gemiddelde kwadratische afwijking
Standaardafwijking: √ variatie , hoe groter de standaardafwijking hoe groter de afwijking tot het gemiddelde
σ = populatie
s = steekproef
hoe smaller de curve is langs µ in de gausscurve, hoe nauwkeuriger de meting is uitgevoerd.
Pagina 4 van 32
