GRAT
T 2 Art
gero-
vorgehen
1. Aufstellen einer alla Funktionsgleichung und aff Angeben
. .
der Ableitungen
2
. Formulieren der gegebenen Bedingungen mit fif" f "vsW
3 Aufstellen und Lösen eines LaS
4 Überprüfen ,
ob die ermittelte Funktion tatsächlich die angegebenen Extrem-/Wendestellen hat
Falls in :
Angeben der Funktionsgleichung
beispiel
Untersuche ob ,
es eine ganzrationale Funktion f vor Grad vier mit folgenden Eigenschaften
gibt und bestimme aff deren Funktionstern
. .
Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse enthält ,
den Punkt P111-2) und hat den Wendepunkt W101-3).
1. f(x) =
axh +
bx3 +
(x
=
+
bx +
2
fist syrimetrisch zur y-Achse ,
d h .
.
b =
d =
f
f(x) =
ax" (x= 2 + +
f(x) = (ax3 22X +
f"(x) =
12ax= 2 +
2
. P(11-2/ liegt auf f : -
z =
a .
1 +
1 .
1 +
1 = +(1) =
=
a +
c + 2 = =
2
W 101 31 ·
:
+" (8) 0 =
:
12a 0 .
+ 2 =
0 !
Bedingung für denWendepunkt :
f"(x) =
0
2 =
G
f(0) =
-3 :
a .
8" +
c . 82 +
e =
3
e =
-
3
der Stelle ?
2
. Liegt in f" an x =
0 ein VIW vor
3 I a +c + 1 =
2
-
f(x) 4x3
.
=
# G f
-
2 =
=> C =
8
=
f"(x) =
12x :
12x =
# 1 =
3 =
1 =
-3
O f"
*
einzige Nullstelle
-
von
0 1 3) 2
-1
+ +
a
- = -
kein es
a =
3 =
-
21 3 +
a =
1
=>
f" hat an der Stelle X =
0 kein VIW also
X
,
f(x) = -
3
besitzt an der Stelle X =
0 keinen
Wendepunkt .
Damit gibt es keine ganzratio
nale Funktion von Grad vier mit den
gegebenen Eigenschaften.
,immer AZANDER
↑
#
Punktprobe Gleichsetzen
beispiel
Bestirrte die Lage der beiden Geraden .
Berechneggt .
die Koordinaten des Schnittpunkts
.
5 2 -
1 &
"
4 h
=>
E
& + v X =
2 >
-
S Z
9 X
-
: : -
Z -
Z 6 -
1
?
Richtungsvektoren Vielfache voneinander Haben Punkts
1
. und neinen ?
sind die 2.
gemeinsamen
Z ↳ 2 =
4k =
k =
12 5 Z -
1 ↳
4 k -2 7 2k 4
9 h
D
k f 2 2
-
r
=>
= t +
2 S
= =. :
-
. = - - -
-
2 -
1 -2 = -
k =
k =
2 .
3 Z
-
6 -
1
=>>
RV sind keine Vielfachen voneinander I 5 + 2v 1 + 4s I 2v 45 6
i
= - -
= -
I I
-
hr--2-Is = y 4r +
25 =
-2
I - 2v
3 =
6 -
S I 2r + s =
3
3
. Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt s ?
#a -
35 =
-
3 =>
5- 1 Ia
S =
1 in einsetzen loder v = -1
in g)
5 =
1 in 1 :
20 -
4 1 .
= -
6 =
v = -
1
-
1 4 3
3
8S = -
2
-
.
1 -Z => -
4 Probe :
s = 1 und v = -1 in I :
2 1 .
-
11 +
2 1 .
= -
2
6 -
1 5 -
4 +
2 =
2
-
·
2 = -
2
=
S(31-415)
=>
Probe positiv
; g und schneiden sich im Punkt s
, Ge
EINER GERADEN EINEREBENE
E X 0A AB Al
9 % t- v
p s
: + : + ·
+
=
: =
+t Fi
9
: = .
ww wu
SY PRV Ebene E lautet X-Vektor ...
beispiel beispiel
hib eine Parametergleichung der Geraden 9 an auf ,
hib falls möglich eine Parametergleichung der Ebene Ean
,
der die Punkte Al-1314) und B1-1/1119) liegen
. die durch die Punkte A B und , (festgelegt .
ist
a) Al11215) B131012) ,
((21113)
,
/ E : X =
0A +
v :
AB +
s ·
Al
:
9 (3) ) = = +
AB
>
=
·
Z
Z und Al =
-
1
1
sind
Vielfachen
keine
-
3 -
voneinander .
1 ↑
2 1
E :
>
X =
2 ↓ V .
Z
-
f S
- 1
5 -
3 2
Untersuche ob der Punkt P1019/13) auf der b) Alc010) B11121 3) (111 213) ,
-
,
·
Geraden liegt.
1
(i) (
1
(9) (i) sind Vielfache
-
+ 7
Al--
9 =
: -
AB =>
Z und
voneinander
S
.
·
(c) ( = )
. Zeile
1 :
z =
17 =
+ =
2
. Zeile
2 -1 27 + 2
Punkte A B und (auf einer
=
liegen die
+ = =
:
Also
.
3 zeile :
9 5 = = + =
915 ,
auf der
Geraden und legen keine Ebene eindeutig fest
A :
Der Punkt P liegt nicht Geradeng ,
da
die Punktprobe negativ .
ist
T 2 Art
gero-
vorgehen
1. Aufstellen einer alla Funktionsgleichung und aff Angeben
. .
der Ableitungen
2
. Formulieren der gegebenen Bedingungen mit fif" f "vsW
3 Aufstellen und Lösen eines LaS
4 Überprüfen ,
ob die ermittelte Funktion tatsächlich die angegebenen Extrem-/Wendestellen hat
Falls in :
Angeben der Funktionsgleichung
beispiel
Untersuche ob ,
es eine ganzrationale Funktion f vor Grad vier mit folgenden Eigenschaften
gibt und bestimme aff deren Funktionstern
. .
Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse enthält ,
den Punkt P111-2) und hat den Wendepunkt W101-3).
1. f(x) =
axh +
bx3 +
(x
=
+
bx +
2
fist syrimetrisch zur y-Achse ,
d h .
.
b =
d =
f
f(x) =
ax" (x= 2 + +
f(x) = (ax3 22X +
f"(x) =
12ax= 2 +
2
. P(11-2/ liegt auf f : -
z =
a .
1 +
1 .
1 +
1 = +(1) =
=
a +
c + 2 = =
2
W 101 31 ·
:
+" (8) 0 =
:
12a 0 .
+ 2 =
0 !
Bedingung für denWendepunkt :
f"(x) =
0
2 =
G
f(0) =
-3 :
a .
8" +
c . 82 +
e =
3
e =
-
3
der Stelle ?
2
. Liegt in f" an x =
0 ein VIW vor
3 I a +c + 1 =
2
-
f(x) 4x3
.
=
# G f
-
2 =
=> C =
8
=
f"(x) =
12x :
12x =
# 1 =
3 =
1 =
-3
O f"
*
einzige Nullstelle
-
von
0 1 3) 2
-1
+ +
a
- = -
kein es
a =
3 =
-
21 3 +
a =
1
=>
f" hat an der Stelle X =
0 kein VIW also
X
,
f(x) = -
3
besitzt an der Stelle X =
0 keinen
Wendepunkt .
Damit gibt es keine ganzratio
nale Funktion von Grad vier mit den
gegebenen Eigenschaften.
,immer AZANDER
↑
#
Punktprobe Gleichsetzen
beispiel
Bestirrte die Lage der beiden Geraden .
Berechneggt .
die Koordinaten des Schnittpunkts
.
5 2 -
1 &
"
4 h
=>
E
& + v X =
2 >
-
S Z
9 X
-
: : -
Z -
Z 6 -
1
?
Richtungsvektoren Vielfache voneinander Haben Punkts
1
. und neinen ?
sind die 2.
gemeinsamen
Z ↳ 2 =
4k =
k =
12 5 Z -
1 ↳
4 k -2 7 2k 4
9 h
D
k f 2 2
-
r
=>
= t +
2 S
= =. :
-
. = - - -
-
2 -
1 -2 = -
k =
k =
2 .
3 Z
-
6 -
1
=>>
RV sind keine Vielfachen voneinander I 5 + 2v 1 + 4s I 2v 45 6
i
= - -
= -
I I
-
hr--2-Is = y 4r +
25 =
-2
I - 2v
3 =
6 -
S I 2r + s =
3
3
. Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt s ?
#a -
35 =
-
3 =>
5- 1 Ia
S =
1 in einsetzen loder v = -1
in g)
5 =
1 in 1 :
20 -
4 1 .
= -
6 =
v = -
1
-
1 4 3
3
8S = -
2
-
.
1 -Z => -
4 Probe :
s = 1 und v = -1 in I :
2 1 .
-
11 +
2 1 .
= -
2
6 -
1 5 -
4 +
2 =
2
-
·
2 = -
2
=
S(31-415)
=>
Probe positiv
; g und schneiden sich im Punkt s
, Ge
EINER GERADEN EINEREBENE
E X 0A AB Al
9 % t- v
p s
: + : + ·
+
=
: =
+t Fi
9
: = .
ww wu
SY PRV Ebene E lautet X-Vektor ...
beispiel beispiel
hib eine Parametergleichung der Geraden 9 an auf ,
hib falls möglich eine Parametergleichung der Ebene Ean
,
der die Punkte Al-1314) und B1-1/1119) liegen
. die durch die Punkte A B und , (festgelegt .
ist
a) Al11215) B131012) ,
((21113)
,
/ E : X =
0A +
v :
AB +
s ·
Al
:
9 (3) ) = = +
AB
>
=
·
Z
Z und Al =
-
1
1
sind
Vielfachen
keine
-
3 -
voneinander .
1 ↑
2 1
E :
>
X =
2 ↓ V .
Z
-
f S
- 1
5 -
3 2
Untersuche ob der Punkt P1019/13) auf der b) Alc010) B11121 3) (111 213) ,
-
,
·
Geraden liegt.
1
(i) (
1
(9) (i) sind Vielfache
-
+ 7
Al--
9 =
: -
AB =>
Z und
voneinander
S
.
·
(c) ( = )
. Zeile
1 :
z =
17 =
+ =
2
. Zeile
2 -1 27 + 2
Punkte A B und (auf einer
=
liegen die
+ = =
:
Also
.
3 zeile :
9 5 = = + =
915 ,
auf der
Geraden und legen keine Ebene eindeutig fest
A :
Der Punkt P liegt nicht Geradeng ,
da
die Punktprobe negativ .
ist
