Rekenen/Wiskunde Didaktiek en Uitgelegd - Samenvatting - Verhouding, Breuken, Procenten en Kommagetallen

Rekenen samenvatting – Theorie en Eigen kunnen
(Theorie = Rood, Eigen kunnen = Blauw)

Verhoudingen Blz. 2 en 3 Verhoudingen Blz. 8
Breuken Blz. 4 en 5 Breuken Blz. 9 en 10
Procenten Blz. 5 en 6 Procenten Blz. 11
Kommagetallen Blz. 6 en 7 Kommagetallen Blz. 12 en 13


Didactische hulpmiddelen – Vorig Blok
Handelingsmodel:

→ Fase 4 Formeel rekenen: kale som, zonder model

→ Fase 3 Structurerend rekenen: rekenen schematisch
met gebruik van modellen zoals het kralenrekje.
→ Fase 2 Structurerend rekenen: rekenen met plaatjes
van de werkelijkheid, bijv geldmunten.
→ Fase 1 Tellend rekenen: met echte voorwerpen tellen

Drieslagmodel:




Eigenschappen van bewerkingen (1.2.3)
Om handig te rekenen kun je verschillende eigenschappen gebruiken:
1 De commutatieve/wisseleigenschap: 3 + 6 = 6 + 3 of 3 x 4 = 4 x 3.
Kan alleen bij optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
2 De distributieve/verdeeleigenschap: (5,5 x 37) + (5,5 x 63) = 5,5 x 100 of 18 x 25 = 10 x 25 + 8 x 25
of 132 : 12 = 120 : 12 + 12 : 12. Deze eigenschap kan niet bij delen.
3 De associatieve/schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) of 2 x 3 x 4 = 2 x 12/6 x 4.
Mag alleen bij volgorde van optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
4 De inverse eigenschap: 411 – 395 = 395 + … = 411 of 1250 : 25 = .. x 25 = 1250.
Deze eigenschap kan bij alles gebruikt worden.
5 Compenseren/transformeren/term veranderen: 189 + 124 = 200 + 112 of 2876 – 387 = 2889 – 400.
Deze eigenschap kan alleen bij + en – gebruikt worden.
6 Groter en kleiner maken (GEK) bij vermenigvuldigen (halveren en verdubbelen): 50 x 32 = 100 x 16
7 Groter of kleiner maken (GOK) bij delen: 336 : 12 = 112 : 4 of 15 : 7,5 = 30 : 15.




1

,Verhoudingen - Theorie
Verhoudingen – Onderbouw (3.3.5)
→ Kwalitatieve Verhoudingen: Hierbij gebruik je verhoudingen globaal en eenvoudig, zoals:
langer, kort, breder, hoger enz. Het gaat om vergelijken zonder maat te gebruiken. Dit wordt al
gedaan bij de kleuters, die beginnen bij deze verhouding.
→ Kwantitatieve Verhoudingen: Hierbij gebruik je verhoudingen preciezer, de verhoudingen die
je gebruikt worden in getallen uitgedrukt. Verhoudingen worden hier precies vergeleken door te
meten. Je koppelt het aan een waarde (dat is 2x zo groot als.., hij is 3x langer dan.., 1:30).

Verhoudingen – Middenbouw (4.3.5)
→ Ondanks breuken/procenten in de middenbouw niet voorkomen is het goed leerlingen al in
aanraking te laten komen met verhoudingen, zodat ze begrijpen en inzicht krijgen over wat
verhoudingen zijn en hoe ze ontstaan.
→ Verhoudingen vaak uitgerekend in verhoudingstabellen (= fase 3, gevolg van de dubbele
getallenlijn). Ze zien zo gemakkelijk dat een verhouding hetzelfde blijft als je vermenigvuldigd.

Verhoudingen en de 4 verschijningsvormen – Bovenbouw (5.3.5)
→ Verhoudingsnotatie = Weten waar je wat neerzet in de verhoudingstabel (boven/onder).
→ Er zijn 4 verschijningsvormen (manieren van noteren) van een verhouding:
- Breuk ( ½ ) - Verhouding (1:2)
- Procent (50%) - Kommagetal (0,5)

→ Gestandaardiseerd: kommagetallen en procenten zijn dit, want je kunt ze
maar op 1 manier schrijven (0,2 en 20%).
→ Ongestandaardiseerd: breuken en verhoudingsnotatie zijn dit, want je
kunt ze op meerdere manieren schrijven (1/2 = 2/4 = 3/6 en
1 op de 3 = 3 op de 9 = 9 op de 27).

→ Relatief = Een getal is relatief als er een verhouding is, de grootte word bepaald door de
grootte waarover het gaat, relatie tussen 2 getallen dus ( .. van de … ). Percentage, verhoudingen
en breuken zijn relatief.
→ Absoluut = Een getal is absoluut als het maar 1 betekenis heeft, de waarde en uitkomst liggen
vast er is maar 1 uitkomst, kommagetallen en breuken zijn dat. Breuken zijn dus relatief (deel van
een geheel) en absoluut (als het een verhouding).

→ Interne verhouding = Verhouding waarbij 1 eindgetal/grootheid uitkomt.
→ Externe verhouding = Verhouding met verschillende grootheden (3 kg voor €5,- of 10 km/u).

→ Verhoudingsbegrip kun je verbreden door meetcontext (verhaal met plaatje) en model.




2

, Verhoudingen (2.2.1)
→ Verhoudingen kun je op 4 verschijningsvormen noteren, ondanks het getal hetzelfde blijft:
1. Breuk 2. Procent 3. Kommagetal 4. Verhouding
1/1000 0,1% 0,001 1:1000
1/100 1% 0,01 1:100
1/50 5% 0,05 1:50
1/10 10% 0,10 1:10
1/9 11,1% 0,11 1:9
1/8 12,5% 0,125 1:8
1/7 14,3% 0,143 1:7
1/6 16,67% 0,167 1:6
1/5 20% 0,20 1:5
1/4 25% 0,25 1:4
1/3 33,33% 0,33 1:3
1/2 50% 0,50 1:2
1/1 100% 1 1:1
3/10 30% 0,30 3:10
2/5 (= 4/10) 40% 0,40 2:5
3/5 (= 6/10) 60% 0,60 3:5
7/10 70% 0,70 7:10
3/4 75% 0,75 3:4
4/5 (= 8/10) 80% 0,80 4:5
9/10 90% 0,90 9:10


→ Modellen (uit fase 3 handelingsmodel) om verhoudingen uit te rekenen:
- De Verhoudingstabel: Deze wordt het meest gebruikt, er zijn 3 manieren van rekenen:

- De ‘Gewone’ manier:

- De ‘Kruiselings vermenigvuldigen’ manier: Dus D = (B x C) : A
- De Vermenigvuldigings- of Vergrotingsfactor/schaal berekenen: Deze factor is het getal
waarmee een getal uit de bovenste rij vermenigvuldigd moet worden om de juiste
verhouding in de onderste rij te krijgen. Deze blijft dan ook gelijk, doordat de verhouding
ook gelijk blijft. Deze factor reken je uit door bij de verhouding te weten wat 1 is, hierbij
deel je dus het deel door het geheel, dat is 1: … , waarbij de … de factor dus is. Zoals je bij
bovenstaande tabel ziet, is 1 (de vermenigvuldigingsfactor) 2, dus als je iets van de
bovenste rij x 2 doet, krijt je hetzelfde antwoord. Zo geen verhoudingstabel nodig.
- De Strook: Deze kunnen directer inzicht geven in de grootte van iets, maar moeilijk mee te
rekenen. Het maakt direct de relatieve verhouding duidelijk (strook 1 is groter/kleiner/..).
Het laat goed het deel van geheel zien.
- De Dubbele Getallenlijn: biedt meer mogelijkheden, maar wordt minder gebruikt. Heeft veel
weg van de verhoudingstabel, alleen is bij deze getallenlijn de structuur/volgorde belangrijk.
De context is hierbij wel zichtbaarder, en ligt dichterbij de context dan een verhoudingstabel

→ Evenredig/Evenredig verband = als een verhouding in alle rijen hetzelfde is. Je kunt de
verhouding in een verhoudingstabel zetten en hij kan uitgedrukt worden in 1 getal (boven :
onder), de vergrotingsfactor (schaal, vermenigvuldigingsfactor).
→ Niet-evenredige verhouding = als de verhouding in de rijen niet hetzelfde is. Kan je niet in een
verhoudingstabel zetten. Ze kunnen omgekeerd evenredig zijn (= als een product constant met
een bepaalde factor toe neemt, boven de nul, een andere factor neemt hierbij dan af).




3