Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1 – samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken
o 1 op de 4… OF ¼ deel… OF 25%... OF 1:4 als verhouding
Overeenkomsten en verschillen tussen verhoudingen, gebroken getallen en procenten:
o Relatief aspect onderscheiden
o Zijn kommagetallen decimale breuken
o Kunnen breuken en procenten allebei een verhouding aangeven
Ook heeft elk domein eigen verschijningsvormen (denk aan verschil in notatie)
Absolute gegevens = getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen
verwijzen (bijvoorbeeld: er zitten 536 studenten op deze pabo)
Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen = verhoudingsmatige gegevens waar
je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen
(bijvoorbeeld: daarvan is 1 op de 4 man)
Voor de ontwikkeling van gecijferdheid is onderscheid tussen absoluut en relatief
belangrijk
o Aanleren door: strookmodel (hierin staan absolute gegevens de aantallen en
relatieve gegevens de percentages) > om te voorkomen dat getallen en
percentages door elkaar worden gehaald moet je getallen benoemen
De kinderen moeten onderlinge relaties tussen domeinen begrijpen > in groep 7 en 8
worden de domeinen door elkaar gebruiken
o Het is belangrijk dat kinderen leren dat de domeinen in de realiteit door elkaar
voorkomen (krantenberichten)
o Kinderen leren betekening van bewerkingen met verhoudingen en breuken
Hierdoor leren kinderen onderlinge relaties beredeneren
Breuken en kommagetallen
> het zijn allebei gebroken getallen
De notatie is wel verschillend: kommagetallen lijken op hele getallen en niet op breuken.
o Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationale
getallen met verschillende notatiewijzen
Verschijningsvorm in realiteit is dat je breuken als kommagetallen en meetgetallen
tegenkomt, verder zijn er vooral verschillen:
o Breuken komen vaker voor als deel van geheel en deel van hoeveelheid
o Alle breuken kunnen genoteerd als kommagetallen > om inzicht hierin te
bevorderen kun je meetgetallen gebruiken (zoals geld)
Rekengetallen (0,10 = 0,1) bevorderen door ondermaten aan te leren (0,1 m = 1 dm)
Van breuk naar kommagetal
De breuk 1/7 heet repeterende breuk en de sliert 142857 heet repetendum
Breuken en procenten
Breuk als absoluut getal = weergeven als een punt op de getallenlijn (net zoals een heel
getal)
Breuk als operator = operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs
Alle relaties moeten uiteindelijk in vorm van declaratieve kennis aanwezig zijn = parate
feitenkennis. Weetjes worden op met modelondersteund geoefend (strook of cirkelmodel)
en vervolgens op formeel niveau.
Hoofdstuk 2 – verhoudingen
, Verhouding = recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen
Evenredig verband = dat als het ene getal zoveel keer zo groot wordt, het andere getal
zoveel keer zo klein
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden zoals lente, gewicht en inhoud
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden.
o Snelheid kun je uitdrukken in aantal afgelegde kilometers per uur > km/u is
samengesteld uit grootheid lengte met maateenheid kilometer en grootheid tijd
met de maar uur
o Schaal: landkaarten, plattegronden, speelgoed, schaalmodellen, etc. > de formele
schaalnotatie noteer je in dezelfde maateenheid
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding = het totaal is op honderd gesteld
Niet-gestandaardiseerde verhouding is moeilijker te vergelijken dan procenten
Wanverhouding = gebruikt om informatie over te brengen of om aandacht te trekken
(reclame, politieke cartoons en kunst)
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen: verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen.
Kwalitatieve verhoudingen: verhouding waarbij geen getal aan te pas komt, maar het
wordt uitgedrukt in woorden (vaak een meetkundig verband).
Interne en externe verhoudingen
Verhouding kan betrekking hebben op grootheden.
Interne verhouding: als een verhouding één grootheid of eenheid betreft > bijvoorbeeld:
de spoorbomen zijn 1 op de 10 minuten dicht.
Externe verhouding: een verhouding met twee verschillende grootheden > bijvoorbeeld:
afgelegde afstand in een bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Verhoudingsdeling: het gaat om de interne verhouding van het deel ten opzichte van het
geheel > bijvoorbeeld: Er zijn 12 snoepjes, hoeveel groepjes van 4 snoepjes kan ik
maken?
Verdelingsdeling: deeltal en deler representeren elk iets anders > bijvoorbeeld: 12
snoepjes : 3 kinderen = de uitkomst representeert het aantal snoepjes dat elk kind krijgt
Bij een verdelingsdeling kan ook het verhoudingsgewijs denken een rol spelen > aantal
snoepjes een externe verhouding.
Lineair verband
Lineair verband = verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft.
Evenredig verband = als de grafiek door de oorsprong gaat dan is het een evenredig
verband/verhouding.
Niet-evenredig verband = geeft geen verband weer.
De gulden snede = een verhouding die sinds de zeventiende eeuw staat voor een
schoonheidsideaal (mooiste verhouding die bestaat > ook wel ‘goddelijke verhouding’)
o Kwam terug in architectuur, kunst (Leonardo da Vinci), in de natuur.
o Veelgebruikte benadering van gulden snede = 0,618 > precieze verhoudingsgetal
is oneindig decimalen en wordt aangeduid met phi.
o Irrationaal getal (wordt niet als kommagetal gezien)
Als je de omtrek van een cirkel (maakt niet uit wat voor een) deelt door de diameter,
komt er altijd hetzelfde getal uit > 22 : 7 = ongeveer 3,1415926 en wordt pi genoemd.
o Irrationaal getal (wordt niet als kommagetal gezien)
Verhoudingen kunnen aangeduid worden met getallen en woorden
o Formele verhoudingstaal = 1 op de 4, 1 op 4 en 1 staat tot 4
o Breuken kunnen een verhouding aangeven = driekwart van de mensen neemt ijs
Hoofdstuk 1 – samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten hebben veel met elkaar te maken
o 1 op de 4… OF ¼ deel… OF 25%... OF 1:4 als verhouding
Overeenkomsten en verschillen tussen verhoudingen, gebroken getallen en procenten:
o Relatief aspect onderscheiden
o Zijn kommagetallen decimale breuken
o Kunnen breuken en procenten allebei een verhouding aangeven
Ook heeft elk domein eigen verschijningsvormen (denk aan verschil in notatie)
Absolute gegevens = getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen
verwijzen (bijvoorbeeld: er zitten 536 studenten op deze pabo)
Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen = verhoudingsmatige gegevens waar
je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen
(bijvoorbeeld: daarvan is 1 op de 4 man)
Voor de ontwikkeling van gecijferdheid is onderscheid tussen absoluut en relatief
belangrijk
o Aanleren door: strookmodel (hierin staan absolute gegevens de aantallen en
relatieve gegevens de percentages) > om te voorkomen dat getallen en
percentages door elkaar worden gehaald moet je getallen benoemen
De kinderen moeten onderlinge relaties tussen domeinen begrijpen > in groep 7 en 8
worden de domeinen door elkaar gebruiken
o Het is belangrijk dat kinderen leren dat de domeinen in de realiteit door elkaar
voorkomen (krantenberichten)
o Kinderen leren betekening van bewerkingen met verhoudingen en breuken
Hierdoor leren kinderen onderlinge relaties beredeneren
Breuken en kommagetallen
> het zijn allebei gebroken getallen
De notatie is wel verschillend: kommagetallen lijken op hele getallen en niet op breuken.
o Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationale
getallen met verschillende notatiewijzen
Verschijningsvorm in realiteit is dat je breuken als kommagetallen en meetgetallen
tegenkomt, verder zijn er vooral verschillen:
o Breuken komen vaker voor als deel van geheel en deel van hoeveelheid
o Alle breuken kunnen genoteerd als kommagetallen > om inzicht hierin te
bevorderen kun je meetgetallen gebruiken (zoals geld)
Rekengetallen (0,10 = 0,1) bevorderen door ondermaten aan te leren (0,1 m = 1 dm)
Van breuk naar kommagetal
De breuk 1/7 heet repeterende breuk en de sliert 142857 heet repetendum
Breuken en procenten
Breuk als absoluut getal = weergeven als een punt op de getallenlijn (net zoals een heel
getal)
Breuk als operator = operator doet iets met een getal, hoeveelheid of prijs
Alle relaties moeten uiteindelijk in vorm van declaratieve kennis aanwezig zijn = parate
feitenkennis. Weetjes worden op met modelondersteund geoefend (strook of cirkelmodel)
en vervolgens op formeel niveau.
Hoofdstuk 2 – verhoudingen
, Verhouding = recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen
Evenredig verband = dat als het ene getal zoveel keer zo groot wordt, het andere getal
zoveel keer zo klein
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden zoals lente, gewicht en inhoud
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden.
o Snelheid kun je uitdrukken in aantal afgelegde kilometers per uur > km/u is
samengesteld uit grootheid lengte met maateenheid kilometer en grootheid tijd
met de maar uur
o Schaal: landkaarten, plattegronden, speelgoed, schaalmodellen, etc. > de formele
schaalnotatie noteer je in dezelfde maateenheid
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding = het totaal is op honderd gesteld
Niet-gestandaardiseerde verhouding is moeilijker te vergelijken dan procenten
Wanverhouding = gebruikt om informatie over te brengen of om aandacht te trekken
(reclame, politieke cartoons en kunst)
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen: verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen.
Kwalitatieve verhoudingen: verhouding waarbij geen getal aan te pas komt, maar het
wordt uitgedrukt in woorden (vaak een meetkundig verband).
Interne en externe verhoudingen
Verhouding kan betrekking hebben op grootheden.
Interne verhouding: als een verhouding één grootheid of eenheid betreft > bijvoorbeeld:
de spoorbomen zijn 1 op de 10 minuten dicht.
Externe verhouding: een verhouding met twee verschillende grootheden > bijvoorbeeld:
afgelegde afstand in een bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Verhoudingsdeling: het gaat om de interne verhouding van het deel ten opzichte van het
geheel > bijvoorbeeld: Er zijn 12 snoepjes, hoeveel groepjes van 4 snoepjes kan ik
maken?
Verdelingsdeling: deeltal en deler representeren elk iets anders > bijvoorbeeld: 12
snoepjes : 3 kinderen = de uitkomst representeert het aantal snoepjes dat elk kind krijgt
Bij een verdelingsdeling kan ook het verhoudingsgewijs denken een rol spelen > aantal
snoepjes een externe verhouding.
Lineair verband
Lineair verband = verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft.
Evenredig verband = als de grafiek door de oorsprong gaat dan is het een evenredig
verband/verhouding.
Niet-evenredig verband = geeft geen verband weer.
De gulden snede = een verhouding die sinds de zeventiende eeuw staat voor een
schoonheidsideaal (mooiste verhouding die bestaat > ook wel ‘goddelijke verhouding’)
o Kwam terug in architectuur, kunst (Leonardo da Vinci), in de natuur.
o Veelgebruikte benadering van gulden snede = 0,618 > precieze verhoudingsgetal
is oneindig decimalen en wordt aangeduid met phi.
o Irrationaal getal (wordt niet als kommagetal gezien)
Als je de omtrek van een cirkel (maakt niet uit wat voor een) deelt door de diameter,
komt er altijd hetzelfde getal uit > 22 : 7 = ongeveer 3,1415926 en wordt pi genoemd.
o Irrationaal getal (wordt niet als kommagetal gezien)
Verhoudingen kunnen aangeduid worden met getallen en woorden
o Formele verhoudingstaal = 1 op de 4, 1 op 4 en 1 staat tot 4
o Breuken kunnen een verhouding aangeven = driekwart van de mensen neemt ijs
