Fixed Income Analysis Samenvatting

Fixed Income Analysis
Week 1: Basics of Fixed Income Securities
Discount Factors
De discount factor is het ratio van de prijs over de payoff. Voor een Zero Coupon Bond is dit:

PZCB
Z ( t ,T )=
100

Bij vakere compounding is dit:

1
Z ( t ,T )=
( )
n∗(T −t)
r (t , T )
1+ n
n

Bij Continuous Compounding is dit:

Z ( t ,T )=e−r (t , T )∗(T −t )

Coupon Bond Price
De prijs van een semi-annual coupon bond kan je op de volgende manier berekenen mbv de
discount factor:

c∗100
Pc ( t , T n ) = ∗[ ∑ Z ( t , T i) ] +100∗Z (t , T n)
2

En op de volgende manier op basis van de ZCB prijs:

c
Pc ( t , T n ) = ∗[ ∑ P z ( t , T i ) ] + P z (t ,T n )
2

Bootstrap Methodology
Tot nu toe hebben we op basis van de discount rates op basis van de zero coupon bonds, de
prijzen van coupon bonds berekend. Je kan dit ook andersom doen: op basis van de coupon
bond prijzen, de discount rates van zero coupon bonds berekenen. Dit is de bootstrap
methodology.

De discount rate van de eerste periode is gegeven door:

, Pc ( t , T 1)
Z ( t ,T 1 )=
100∗ 1+( c2 ) 1




Alle latere periodes zijn gegeven door:


(∑ ( t , T j )∗c j
)
i−1
Pc ( t , T i ) −100∗ Z
j=1 2
Z ( t ,T i )=
100∗ 1+( c2 ) i




Nelson-Siegel
Als er niet voor alle maturities prijzen beschikbaar zijn kan je interpoleren met de Nelson-
Siegel method:

−T −t
λ
( θ1 +θ2 )∗1−e −T−t
λ
r ( t , T )=θ0 + −θ2 e
T −t
λ

Z ( t ,T )=e−r (t , T)(T−t )

Hierbij zijn θ0 , θ1 ,θ 2 en λ parameters die geschat moeten worden vanuit de huidige bond
data.
- θ0 controleert voor het startniveau (intersect) van de term structure
- θ1 bepaalt de helling
- θ2 en λ bepalen de kromming van de term structure

Floating Rate Bonds
Bij een floating rate bond worden de coupon payments bepaald door de rente in de periode
ervoor + een spread:

100∗r 2 ( T i−0.5 ) + s
c (Ti )=
2

De prijs van een spread bond kan je ook berekenen op basis van een no spread bond:

n
100∗s
Price with spread=Price of no spread bond + ∗ ∑ Z (0 , t)
2 t=0.5



Forward Rates

,Bij een forward rate spreek je vooraf met de bank een rente af over een lening in de
toekomst. Op T1 ontvang je het geleende bedrag, en op T2 betaal je het geleende bedrag,
plus de afgesproken forward rate terug. De NPV zou 0 moeten zijn op t 0 voor zowel de bank
als de borrower:


( )
n∗(T 2−T 1)
f n ( t ,T 1 , T 2 )
( t ,T 1 )∗100 −Z ( t , T 2 )∗100∗ 1+
0=Z ⏟
⏟⏟ CF opT 1
⏟ n
CF op T 2
PV van deCF opT 1
PV van de CF op T 2



Als je dit oplost krijg je de volgende forward rate die de bank zou moeten hanteren:



( )
1
f n ( t , T 1 ,T 2 )=n∗ 1
−1
n∗(T 2−T 1)
F ( t , T 1 , T 2)

De Forward Discount Factor kan je op de volgende manier berekenen op basis van de
discount factors:

Z ( t ,T 2 )
F ( t ,T 1 ,T 2 )=
Z ( t ,T 1 )


Forward Rates met Continuous Compounding
De discount factor is berekend als volgt:

F ( t ,T ,T +∆ )=e− f (t ,T , T +∆ )∗∆

Omschrijven om de forward rate te krijgen krijg je:

−ln ( F ( t ,T , T + ∆ ) ) −ln ( Z ( t , T +∆ )) −ln ( Z ( t ,T ) )
f ( t ,T , T + ∆ )= =
∆ ∆

De spot rate is gegeven door:

−ln ( Z ( 0 , T ) )
r (0 , T )=
T

En de forward rate kan je berekenen op basis van de spot rate:

r ( 0 , T + ∆ )−r ( 0 , T )
f ( 0 ,T ,T +∆ )=r ( 0 , T ) +(T + ∆)
∆

, Week 1: Duration and Convexity
Duration
ZCB Duration
De prijs van een ZCB is:

PZCB ( r ( t , T ) , t ,T )=100∗e
−r∗∆




Dus de duration is gelijk aan de time to maturity. De verandering in prijs op basis van
Duration en verandering van rente is:

dP=−D∗P∗dr

Value-at-Risk
De 95% Value-at-Risk is het maximale verlies over de horizon (T) met een 95%. De 95% VaR
is gegeven:

VaR=−( μ p−1.645∗σ p )

 Hierbij heeft dr een gemiddelde μ en een standard deviation σ
 Omdat dP=−D∗P∗dr
 Heeft dP een gemiddelde μ P=−D P∗P∗μ
 En een standard deviation σ P=|DP|∗P∗σ

Coupon Bond Duration
De duration van een coupon bond is berekend als volgt:
1. Bereken de discounted CF van elke coupon betaling door de coupon te
vermenigvuldigen met de discount rate. De bond price is de som van deze discounted
cash flows.
DCF
2. Bereken de weight van elke betaling: w=
P
3. Bereken de Duration: D=∑ w∗T