.
Wiskunde voor bedrijfskundigen I
Theorie
Handelswetenschappen
Academiejaar 2018-2019
,Inhoudsopgave
Theorie
1 Hoofdstuk 1 ......................................................................................................................................................................... 1
1.1 Hoorcollege 1 ........................................................................................................................................................... 1
1.2 Hoorcollege 2 ........................................................................................................................................................... 9
1.3 Hoorcollege 3 ........................................................................................................................................................ 26
2 Hoofdstuk 2 ...................................................................................................................................................................... 45
2.1 Hoorcollege 4 ........................................................................................................................................................ 45
2.2 Hoorcollege 5 ........................................................................................................................................................ 58
2.3 Hoorcollege 6 ........................................................................................................................................................ 69
3 Hoofdstuk 3 ...................................................................................................................................................................... 84
3.1 Hoorcollege 7 ........................................................................................................................................................ 84
3.2 Hoorcollege 8 ........................................................................................................................................................ 98
3.3 Hoorcollege 9 ......................................................................................................................................................106
3.4 Hoorcollege 10 ...................................................................................................................................................115
4 Hoofdstuk 4 ....................................................................................................................................................................129
4.1 Hoorcollege 11 ...................................................................................................................................................129
4.2 Hoorcollege 12 ...................................................................................................................................................138
Bijlage
5 Formularium Hoofdstuk 1 ......................................................................................................................................146
6 Formularium Hoofdstuk 2 ......................................................................................................................................148
7 Formularium Hoofdstuk 3 ......................................................................................................................................150
8 Formularium Hoofdstuk 4 ......................................................................................................................................153
9 Opfriscursus WISKUNDE voor HANDELSWETENSCHAPPEN .............................................................155
9.1 Rekenen in R ........................................................................................................................................................155
9.2 Veeltermen ...........................................................................................................................................................156
9.3 Vergelijkingen in één onbekende .............................................................................................................159
9.4 Ongelijkheden in één onbekende .............................................................................................................159
9.5 Stelsels van vergelijkingen ...........................................................................................................................161
9.6 Vlakke meetkunde ............................................................................................................................................163
9.7 De goniometrische getallen .........................................................................................................................164
,Bewijzen
𝑏 𝐷
1. Kwadratische functie: 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; Bewijs topformule: ( − ,− ) ...............................21
2𝑎 2𝑎
2. Grondtalveranderingseigenschap: logaritmen. loga 𝑥 = loga 𝑏 ∙ logb 𝑥 ...............................................29
3. Verband tussen expa en exp1/a en loga en log1/a ...........................................................................................30
𝜋
4. Ongelijkheid sinus-tangens: ∀𝑥 ∈ ] 0, 2 [ ∶ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 < 𝑥 < 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ..............................................................63
𝑠𝑖𝑛 𝑥
5. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 < 𝑥
< 1 ..............................................................................................................................................................64
𝑠𝑖𝑛 𝑥
6. Toepassing knijpstelli ng: 𝑙𝑖𝑚 𝑥
= 1 ..............................................................................................................65
𝑥→0
f′(x)
7. Stelling: ( ln |f(x)| )′ = f(x)
als f(x) ≠ 0 ...............................................................................................................99
8. Continuïteit: 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ). .......................................................................................................................... 102
𝑥→𝑥0
𝑓′(𝑥0)
9. Basisformule elasticiteit: 𝜀𝑓 (𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0)
∙ 𝑥0 ................................................................................................ 121
10. Grafische betekenis van 𝜀𝑓 (𝑥0 ) / “Marshall criterium “ /
Vergelijk raaklijn R door het punt (𝑥0 , 𝑓 (𝑥0 )) .......................................................................................... 122
11. Verband tussen 𝑂′(𝑝) en prijselasticiteit van de vraag: 𝑂 = 𝑝 ∙ 𝑉(𝑝) ............................................. 124
12. Elasticiteit: 𝜀𝑔 (𝑥) = 𝑝 ∙ 𝜀𝑓 (𝑥) ................................................................................................................................. 126
13. Machtsfunctie elasticiteit: Als 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 𝑏 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ en a ≠ 0), dan εf = b ............................... 127
14. Exponentiële functie elasticiteit: als 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒 𝑏𝑥 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ en 𝑎 ≠ 0), 𝑑𝑎𝑛 𝜀𝑓 = 𝑏𝑥 ............. 127
15. Productregel elasticiteit: 𝜀𝑓∙𝑔 = 𝜀𝑓 + 𝜀𝑔 .......................................................................................................... 127
16. Quotiëntregel elasticiteit: 𝜀𝑓/𝑔 = 𝜀𝑓 − 𝜀𝑔 ........................................................................................................ 128
17. Kettingregel elasticiteit: als ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑢) met 𝑢 = 𝑓(𝑥), dan 𝜀ℎ (𝑥) = 𝜀𝑔 (𝑢) ∙ 𝜀𝑓 (𝑥) ................ 128
𝑓(𝑥)
18. Bewijs van a = lim ....................................................................................................................................... 144
x→+∞ 𝑥
19. Bewijs van b = lim (𝑓 (𝑥) − 𝑎𝑥)...................................................................................................................... 144
x→+∞
,Theorie
,1 Hoofdstuk 1
1.1 Hoorcollege 1
Functies van één veranderlijke: definities, domein, beeld, grafiek
Inverse functie
Visgraaddiagram
❖ Functies: algemene begrippen ↓
𝒙 𝒚
VERBAND
𝑦 =𝑥−3
= voorschrift van een functie
𝑥 = 3 ⟶ 𝑛𝑢𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡 𝑦 − 𝑎𝑠
2 𝑦 = −3 ⟶ 𝑛𝑢𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡 𝑥 − 𝑎𝑠
3
4
❖ Gebruik van functies in de economie: verbanden bestuderen
• Prijs en vraag
Economie: vb. 𝑝 = 𝑎 − 𝑏𝑞 (𝑎, 𝑏 > 0)
- 𝑝 = prijs
- 𝑞 = quantity = hoeveelheid
• Opbrengst en vraag
𝑇𝑂 = 𝑝𝑞 = (𝑎 − 𝑏𝑞)𝑞 = 𝑎𝑞 − 𝑏𝑞2 = 𝑇𝑂(𝑞)
- totale opbrengst
- kwadratisch verband
• Productiekost en productiehoeveelheid
𝑇𝐾 = 𝛼 + 𝛽𝑞(𝛼, 𝛽 > 0)
- totale kost
- 𝛼 = vaste kost (constant)
- 𝛽 = variabele kost
• Winst en vraag
𝑊 = 𝑇𝑂 − 𝑇𝐾 = 𝑎𝑞 − 𝑏𝑞2 − (𝛼 + 𝛽𝑞)
= −𝛼 + (𝑎 − 𝛽)𝑞 − 𝑏𝑞2 = 𝑊(𝑞)
- kwadratisch verband
- parabolische functie
1
, ❖ Prijs en vraag: verband met voorbeeld
Voorbeeld
𝑞 = 𝑎 − 𝑏𝑞
• Als 𝑞 = input en 𝑝 = output, dan 𝑝 = 𝑓(𝑞) met 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥
3−𝑝
• Als 𝑝 = input en 𝑞 = output, dan 𝑞 = 𝑔(𝑝) met 𝑔(𝑥) = 2
Berekening:
𝑝 = 3−2∙𝑞
2𝑞 = 3 − 𝑝
3−𝑝
𝑞 =
2
❖ Het begrip functie
Definities:
→ Een (reële) functie (van één reële veranderlijke is een wiskundige regel die met elk
element 𝑥 van ℝ hoogstens één element 𝑦 van ℝ associeert. Notatie: 𝑓: ℝ → ℝ: 𝑥 ↔ 𝑦.
- een functie is een functie als je een verticale streep trekt op de grafiek, je maximum één
keer in aanraking kan komen met de vergelijking. Als dit meer dan één keer is, is het geen
functie.
→ 𝑥 heet de onafhankelijke variabele (input) en 𝑦 de afhankelijke variabele (output)
Expliciete en impliciete functies
→ Is 𝑦 te schrijven als 𝑓(𝑥), dan is de functie 𝑓 expliciet gedefinieerd.
- 𝑦 = 3 − 2𝑥
→ Indien echter 𝑥 en 𝑦 met elkaar verbonden zijn door een vergelijking van de vorm
𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0, dan is 𝑓 impliciet gedefinieerd.
- 𝑦 + 2𝑥 − 3 = 0
❖ Voorbeelden
𝑦 = 𝑥 2 is een functie 𝑦 2 = 𝑥 is geen functie
Elke verticale rechte snijdt Er is minsten één verticale
de grafiek hoogstens rechte die de grafiek
één keer. meerdere keren snijdt.
Als 𝑦 2 = 1 2
⇒ 𝑦 = 1 𝑜𝑓 𝑦 = −1
Wiskunde voor bedrijfskundigen I
Theorie
Handelswetenschappen
Academiejaar 2018-2019
,Inhoudsopgave
Theorie
1 Hoofdstuk 1 ......................................................................................................................................................................... 1
1.1 Hoorcollege 1 ........................................................................................................................................................... 1
1.2 Hoorcollege 2 ........................................................................................................................................................... 9
1.3 Hoorcollege 3 ........................................................................................................................................................ 26
2 Hoofdstuk 2 ...................................................................................................................................................................... 45
2.1 Hoorcollege 4 ........................................................................................................................................................ 45
2.2 Hoorcollege 5 ........................................................................................................................................................ 58
2.3 Hoorcollege 6 ........................................................................................................................................................ 69
3 Hoofdstuk 3 ...................................................................................................................................................................... 84
3.1 Hoorcollege 7 ........................................................................................................................................................ 84
3.2 Hoorcollege 8 ........................................................................................................................................................ 98
3.3 Hoorcollege 9 ......................................................................................................................................................106
3.4 Hoorcollege 10 ...................................................................................................................................................115
4 Hoofdstuk 4 ....................................................................................................................................................................129
4.1 Hoorcollege 11 ...................................................................................................................................................129
4.2 Hoorcollege 12 ...................................................................................................................................................138
Bijlage
5 Formularium Hoofdstuk 1 ......................................................................................................................................146
6 Formularium Hoofdstuk 2 ......................................................................................................................................148
7 Formularium Hoofdstuk 3 ......................................................................................................................................150
8 Formularium Hoofdstuk 4 ......................................................................................................................................153
9 Opfriscursus WISKUNDE voor HANDELSWETENSCHAPPEN .............................................................155
9.1 Rekenen in R ........................................................................................................................................................155
9.2 Veeltermen ...........................................................................................................................................................156
9.3 Vergelijkingen in één onbekende .............................................................................................................159
9.4 Ongelijkheden in één onbekende .............................................................................................................159
9.5 Stelsels van vergelijkingen ...........................................................................................................................161
9.6 Vlakke meetkunde ............................................................................................................................................163
9.7 De goniometrische getallen .........................................................................................................................164
,Bewijzen
𝑏 𝐷
1. Kwadratische functie: 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; Bewijs topformule: ( − ,− ) ...............................21
2𝑎 2𝑎
2. Grondtalveranderingseigenschap: logaritmen. loga 𝑥 = loga 𝑏 ∙ logb 𝑥 ...............................................29
3. Verband tussen expa en exp1/a en loga en log1/a ...........................................................................................30
𝜋
4. Ongelijkheid sinus-tangens: ∀𝑥 ∈ ] 0, 2 [ ∶ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 < 𝑥 < 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ..............................................................63
𝑠𝑖𝑛 𝑥
5. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 < 𝑥
< 1 ..............................................................................................................................................................64
𝑠𝑖𝑛 𝑥
6. Toepassing knijpstelli ng: 𝑙𝑖𝑚 𝑥
= 1 ..............................................................................................................65
𝑥→0
f′(x)
7. Stelling: ( ln |f(x)| )′ = f(x)
als f(x) ≠ 0 ...............................................................................................................99
8. Continuïteit: 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ). .......................................................................................................................... 102
𝑥→𝑥0
𝑓′(𝑥0)
9. Basisformule elasticiteit: 𝜀𝑓 (𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0)
∙ 𝑥0 ................................................................................................ 121
10. Grafische betekenis van 𝜀𝑓 (𝑥0 ) / “Marshall criterium “ /
Vergelijk raaklijn R door het punt (𝑥0 , 𝑓 (𝑥0 )) .......................................................................................... 122
11. Verband tussen 𝑂′(𝑝) en prijselasticiteit van de vraag: 𝑂 = 𝑝 ∙ 𝑉(𝑝) ............................................. 124
12. Elasticiteit: 𝜀𝑔 (𝑥) = 𝑝 ∙ 𝜀𝑓 (𝑥) ................................................................................................................................. 126
13. Machtsfunctie elasticiteit: Als 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 𝑏 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ en a ≠ 0), dan εf = b ............................... 127
14. Exponentiële functie elasticiteit: als 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒 𝑏𝑥 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ en 𝑎 ≠ 0), 𝑑𝑎𝑛 𝜀𝑓 = 𝑏𝑥 ............. 127
15. Productregel elasticiteit: 𝜀𝑓∙𝑔 = 𝜀𝑓 + 𝜀𝑔 .......................................................................................................... 127
16. Quotiëntregel elasticiteit: 𝜀𝑓/𝑔 = 𝜀𝑓 − 𝜀𝑔 ........................................................................................................ 128
17. Kettingregel elasticiteit: als ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑢) met 𝑢 = 𝑓(𝑥), dan 𝜀ℎ (𝑥) = 𝜀𝑔 (𝑢) ∙ 𝜀𝑓 (𝑥) ................ 128
𝑓(𝑥)
18. Bewijs van a = lim ....................................................................................................................................... 144
x→+∞ 𝑥
19. Bewijs van b = lim (𝑓 (𝑥) − 𝑎𝑥)...................................................................................................................... 144
x→+∞
,Theorie
,1 Hoofdstuk 1
1.1 Hoorcollege 1
Functies van één veranderlijke: definities, domein, beeld, grafiek
Inverse functie
Visgraaddiagram
❖ Functies: algemene begrippen ↓
𝒙 𝒚
VERBAND
𝑦 =𝑥−3
= voorschrift van een functie
𝑥 = 3 ⟶ 𝑛𝑢𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡 𝑦 − 𝑎𝑠
2 𝑦 = −3 ⟶ 𝑛𝑢𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡 𝑥 − 𝑎𝑠
3
4
❖ Gebruik van functies in de economie: verbanden bestuderen
• Prijs en vraag
Economie: vb. 𝑝 = 𝑎 − 𝑏𝑞 (𝑎, 𝑏 > 0)
- 𝑝 = prijs
- 𝑞 = quantity = hoeveelheid
• Opbrengst en vraag
𝑇𝑂 = 𝑝𝑞 = (𝑎 − 𝑏𝑞)𝑞 = 𝑎𝑞 − 𝑏𝑞2 = 𝑇𝑂(𝑞)
- totale opbrengst
- kwadratisch verband
• Productiekost en productiehoeveelheid
𝑇𝐾 = 𝛼 + 𝛽𝑞(𝛼, 𝛽 > 0)
- totale kost
- 𝛼 = vaste kost (constant)
- 𝛽 = variabele kost
• Winst en vraag
𝑊 = 𝑇𝑂 − 𝑇𝐾 = 𝑎𝑞 − 𝑏𝑞2 − (𝛼 + 𝛽𝑞)
= −𝛼 + (𝑎 − 𝛽)𝑞 − 𝑏𝑞2 = 𝑊(𝑞)
- kwadratisch verband
- parabolische functie
1
, ❖ Prijs en vraag: verband met voorbeeld
Voorbeeld
𝑞 = 𝑎 − 𝑏𝑞
• Als 𝑞 = input en 𝑝 = output, dan 𝑝 = 𝑓(𝑞) met 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥
3−𝑝
• Als 𝑝 = input en 𝑞 = output, dan 𝑞 = 𝑔(𝑝) met 𝑔(𝑥) = 2
Berekening:
𝑝 = 3−2∙𝑞
2𝑞 = 3 − 𝑝
3−𝑝
𝑞 =
2
❖ Het begrip functie
Definities:
→ Een (reële) functie (van één reële veranderlijke is een wiskundige regel die met elk
element 𝑥 van ℝ hoogstens één element 𝑦 van ℝ associeert. Notatie: 𝑓: ℝ → ℝ: 𝑥 ↔ 𝑦.
- een functie is een functie als je een verticale streep trekt op de grafiek, je maximum één
keer in aanraking kan komen met de vergelijking. Als dit meer dan één keer is, is het geen
functie.
→ 𝑥 heet de onafhankelijke variabele (input) en 𝑦 de afhankelijke variabele (output)
Expliciete en impliciete functies
→ Is 𝑦 te schrijven als 𝑓(𝑥), dan is de functie 𝑓 expliciet gedefinieerd.
- 𝑦 = 3 − 2𝑥
→ Indien echter 𝑥 en 𝑦 met elkaar verbonden zijn door een vergelijking van de vorm
𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0, dan is 𝑓 impliciet gedefinieerd.
- 𝑦 + 2𝑥 − 3 = 0
❖ Voorbeelden
𝑦 = 𝑥 2 is een functie 𝑦 2 = 𝑥 is geen functie
Elke verticale rechte snijdt Er is minsten één verticale
de grafiek hoogstens rechte die de grafiek
één keer. meerdere keren snijdt.
Als 𝑦 2 = 1 2
⇒ 𝑦 = 1 𝑜𝑓 𝑦 = −1
