Deel 0: algemene inleiding
H1: inleiding tot de econometrie
Econometrie is de discipline binnen de economische wetenschap die als doel heeft een kwantitatieve
beschrijving te geven van de relaties tussen economische grootheden. Deze beschrijving overstijgt het
descriptieve karakter van samenvattende statistieken en heeft vaak als doel het stochastische proces te
karakteriseren welke deze economische variabelen genereert. Dit gebeurt aan de hand van wiskundige en
statistische technieken waarbij het gebruik van de computer onmisbaar is.
Econometrische analyse is uitdagend door de onzekerheid die verbonden is aan de variabelen.
Belang van econometrie: de conclusies van een econometrische analyses zijn een belangrijk
hulpinstrument voor het nemen van beslissingen.
Om een goede analyses uit te voeren moet eerst een goede steekproef samengesteld worden. Deze moet
representatief zijn voor het probleem dat men wenst op te lossen.
Voor de meeste economische systemen gebruiken we modellen: alle modellen zijn fout maar sommige zijn
handig.
Deel 1: basisbegrippen van statistische analyse en
matrixalgebra
H1: matrixalgebra
De analyse van de relatie tussen verschillende economische
variabelen geeft de aanleiding tot de keuze van afhankelijke
variabele Y en verklarende variabelen X1, … Xp. leidt tot
volgende datamatrices met n observaties van de afhankelijke
variabele en de n observaties van de p verklarende variabelen.
Basisbewerkingen met matrices
Definitie
mxn matrix= Een tabel van reële getallen bestaande uit m rijen en n kolommen
Voorbeeld: A met dimensie 2x3.
We noteren Aij als het element op de i-de rij en j-de kolom van A, bv. A23=5.
Een rijvector is een matrix met slechts één rij. Een kolomvector is een matrix met
slechts één kolom.
Optelling van matrices
Indien A en B dezelfde orde hebben, dan is de som van de matrix met dezelfde orde waarbij ieder element
de som is van de overeenkomstige elementen in A en B: (A+B)ij= Aij+Bij
Eigenschappen:
• A+B= B+A (commutatief)
• (A+B)+C= A+(B+C) (associatief)
,Vermenigvuldiging van een matrix met een scalair
Het product van een matrix A met een scalair (i.e. een reëel getal) p wordt genoteerd als pA en
gedefinieerd als de matrix met dezelfde orde als A waarbij ieder element gelijk is aan het
overeenstemmende element in A vermenigvuldigd met deze scalair: (pA)ij= pAij
Eigenschappen:
• (p+q)A= pA+qA
• p(A+B)= pA+pB
• p(qA)=(pq)A
Vermenigvuldiging van matrices
Beschouw nu twee matrices A van orde kxl en B van orde lxm. Dan is het product van deze matrices een
nieuwe matrix C (=AB) met orde kxm waarbij men de elementen van deze matrix berekent als:
Cij=(AB)ij= ∑𝑙𝑠=1 𝐴𝑖𝑠 𝐵𝑠𝑗
Het product A*B van de matrix A met de matrix B is enkel gedefinieerd indien het aantal kolommen van A=
aantal rijen van B. A*B is een (rijen A x kolommen B matrix)
Eigenschappen: associatief en distributief ten opzichte van de optelling
• (AB)C= A(BC)
• A(B+C)= AB+AC
• (A+B)C= AC+BC
Getransponeerde matrix
De getransponeerde van een kxl-matrix A wordt genoteerd als At en is de lxk-matrix waarbij: (AT)ij= (A)Ji
Transponeren houdt dus het omwisselen van rijen en kolommen in.
Eigenschappen:
• (At)t= A
• (A+B)t= At+Bt
• (AB)t= BtAt
Bijzondere matrixes
De nulmatrix is een matrix volledig gevuld met nullen.
Een vierkante matrix is een matrix met een gelijk aantal rijen en kolommen. Een vierkante matrix van orde
1 komt overeen met een getal.
Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die samenvalt met zijn getransponeerde: St = S.
Een diagonaalmatrix is een vierkante matrix met scalairen op de hoofddiagonaal en nullen elders.
De eenheidsmatrix is een vierkante matrix met één op de hoofddiagonaal en
een nul elders. Stel dat deze orde n heeft, dan noteren we deze als In.
Een bovendriehoeksmatrix is een vierkante matrix met onder de hoofddiagonaal overal nullen.
Een benedendriehoeksmatrix is een vierkante matrix met boven de hoofddiagonaal overal nullen.
,Lineaire onafhankelijkheid en de rang van een matrix
Lineaire onafhankelijkheid
De (rij of kolom)vectoren a1,…,al zijn lineair onafhankelijk indien elke lineaire combinatie van a1,…,al (met
uitzondering van de nul-combinatie) niet-nul is, d.w.z. indien:
Voor om het even welke combinatie van scalairen λ1, … λl
waarvan minstens 1 verschillend is van 0.
Rang van een matrix
De rang van een matrix is het maximaal aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen.
De rang van een matrix is nuttig wanneer blijkt dat de rang van een vierkante nxn-matrix A gelijk is aan 𝑛,
zodat de matrix A inverteerbaar is.
Eigenschappen:
• Voor een matrix A van orde kxl: rang(A) ≤ min(k,l)
• Rang(A)= rang(AA’)=rang(A’A)
• Rang(AB)≤ min (rang(A), rang(B))
Inverse van een matrix
Bestaat als de matrix X volledige rang heeft de rijen en kolommen zijn lineair onafhankelijke. (geen
enkele rij of kolom is een lineaire transformatie van een andere rij of kolom).
Een vierkante matrix van orde n is inverteerbaar (niet-singulier) indien deze matrix volledige rang heeft:
d.w.z. de rang is gelijk aan n.
De inverse van de niet-singuliere nxn-matrix A wordt genoteerd als A-1
Eigenschap: AA-1= A-1A= In
Voorbeeld:
Algemeen:
Voor een vierkante matrix is de adjunct de getransponeerde van de matrix van de cofactoren.
Voor de matrix A=(aij) noteert men de cofactor van het element aij als Aij.
Aij= (-1)i+jdetAij
Eigenschappen (als A en B inverteerbaar zijn)
• (A-1)t= (At)-1
• (AB)-1= B-1A-1
Positief (semi-)definitiet
Een symmetrische nxn-matrix 𝐵 is positief semi-definiet indien, voor elke nx1-vector 𝑎 (≠0n), de
kwadratische vorm 𝑎𝑡𝐵𝑎≥0.
Het is positief definiet indien 𝑎𝑡𝐵𝑎>0 voor elke vector a (≠0n).
Een positief definiete matrix is altijd inverteerbaar.
, Oefening
Relatie tussen de leeftijd van een kind en de score op een taalexamen.
1. Spreidingsdiagram opstellen
2. We gaan de lijn zoeken die het beste bij de data past
a. Zet de data om in 2 matrices
b. Bereken (XtX)-1Xty
Bestaat XtX wel? Hier oke
Het bovenste getal in de matrix is het intercept van de rechte, het onderste getal is de rico.
De lijn die we berekend hebben is de lijn die het best de relatie tussen de leeftijd en de testresultaten
weergeeft op basis van de observaties.
H1: inleiding tot de econometrie
Econometrie is de discipline binnen de economische wetenschap die als doel heeft een kwantitatieve
beschrijving te geven van de relaties tussen economische grootheden. Deze beschrijving overstijgt het
descriptieve karakter van samenvattende statistieken en heeft vaak als doel het stochastische proces te
karakteriseren welke deze economische variabelen genereert. Dit gebeurt aan de hand van wiskundige en
statistische technieken waarbij het gebruik van de computer onmisbaar is.
Econometrische analyse is uitdagend door de onzekerheid die verbonden is aan de variabelen.
Belang van econometrie: de conclusies van een econometrische analyses zijn een belangrijk
hulpinstrument voor het nemen van beslissingen.
Om een goede analyses uit te voeren moet eerst een goede steekproef samengesteld worden. Deze moet
representatief zijn voor het probleem dat men wenst op te lossen.
Voor de meeste economische systemen gebruiken we modellen: alle modellen zijn fout maar sommige zijn
handig.
Deel 1: basisbegrippen van statistische analyse en
matrixalgebra
H1: matrixalgebra
De analyse van de relatie tussen verschillende economische
variabelen geeft de aanleiding tot de keuze van afhankelijke
variabele Y en verklarende variabelen X1, … Xp. leidt tot
volgende datamatrices met n observaties van de afhankelijke
variabele en de n observaties van de p verklarende variabelen.
Basisbewerkingen met matrices
Definitie
mxn matrix= Een tabel van reële getallen bestaande uit m rijen en n kolommen
Voorbeeld: A met dimensie 2x3.
We noteren Aij als het element op de i-de rij en j-de kolom van A, bv. A23=5.
Een rijvector is een matrix met slechts één rij. Een kolomvector is een matrix met
slechts één kolom.
Optelling van matrices
Indien A en B dezelfde orde hebben, dan is de som van de matrix met dezelfde orde waarbij ieder element
de som is van de overeenkomstige elementen in A en B: (A+B)ij= Aij+Bij
Eigenschappen:
• A+B= B+A (commutatief)
• (A+B)+C= A+(B+C) (associatief)
,Vermenigvuldiging van een matrix met een scalair
Het product van een matrix A met een scalair (i.e. een reëel getal) p wordt genoteerd als pA en
gedefinieerd als de matrix met dezelfde orde als A waarbij ieder element gelijk is aan het
overeenstemmende element in A vermenigvuldigd met deze scalair: (pA)ij= pAij
Eigenschappen:
• (p+q)A= pA+qA
• p(A+B)= pA+pB
• p(qA)=(pq)A
Vermenigvuldiging van matrices
Beschouw nu twee matrices A van orde kxl en B van orde lxm. Dan is het product van deze matrices een
nieuwe matrix C (=AB) met orde kxm waarbij men de elementen van deze matrix berekent als:
Cij=(AB)ij= ∑𝑙𝑠=1 𝐴𝑖𝑠 𝐵𝑠𝑗
Het product A*B van de matrix A met de matrix B is enkel gedefinieerd indien het aantal kolommen van A=
aantal rijen van B. A*B is een (rijen A x kolommen B matrix)
Eigenschappen: associatief en distributief ten opzichte van de optelling
• (AB)C= A(BC)
• A(B+C)= AB+AC
• (A+B)C= AC+BC
Getransponeerde matrix
De getransponeerde van een kxl-matrix A wordt genoteerd als At en is de lxk-matrix waarbij: (AT)ij= (A)Ji
Transponeren houdt dus het omwisselen van rijen en kolommen in.
Eigenschappen:
• (At)t= A
• (A+B)t= At+Bt
• (AB)t= BtAt
Bijzondere matrixes
De nulmatrix is een matrix volledig gevuld met nullen.
Een vierkante matrix is een matrix met een gelijk aantal rijen en kolommen. Een vierkante matrix van orde
1 komt overeen met een getal.
Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die samenvalt met zijn getransponeerde: St = S.
Een diagonaalmatrix is een vierkante matrix met scalairen op de hoofddiagonaal en nullen elders.
De eenheidsmatrix is een vierkante matrix met één op de hoofddiagonaal en
een nul elders. Stel dat deze orde n heeft, dan noteren we deze als In.
Een bovendriehoeksmatrix is een vierkante matrix met onder de hoofddiagonaal overal nullen.
Een benedendriehoeksmatrix is een vierkante matrix met boven de hoofddiagonaal overal nullen.
,Lineaire onafhankelijkheid en de rang van een matrix
Lineaire onafhankelijkheid
De (rij of kolom)vectoren a1,…,al zijn lineair onafhankelijk indien elke lineaire combinatie van a1,…,al (met
uitzondering van de nul-combinatie) niet-nul is, d.w.z. indien:
Voor om het even welke combinatie van scalairen λ1, … λl
waarvan minstens 1 verschillend is van 0.
Rang van een matrix
De rang van een matrix is het maximaal aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen.
De rang van een matrix is nuttig wanneer blijkt dat de rang van een vierkante nxn-matrix A gelijk is aan 𝑛,
zodat de matrix A inverteerbaar is.
Eigenschappen:
• Voor een matrix A van orde kxl: rang(A) ≤ min(k,l)
• Rang(A)= rang(AA’)=rang(A’A)
• Rang(AB)≤ min (rang(A), rang(B))
Inverse van een matrix
Bestaat als de matrix X volledige rang heeft de rijen en kolommen zijn lineair onafhankelijke. (geen
enkele rij of kolom is een lineaire transformatie van een andere rij of kolom).
Een vierkante matrix van orde n is inverteerbaar (niet-singulier) indien deze matrix volledige rang heeft:
d.w.z. de rang is gelijk aan n.
De inverse van de niet-singuliere nxn-matrix A wordt genoteerd als A-1
Eigenschap: AA-1= A-1A= In
Voorbeeld:
Algemeen:
Voor een vierkante matrix is de adjunct de getransponeerde van de matrix van de cofactoren.
Voor de matrix A=(aij) noteert men de cofactor van het element aij als Aij.
Aij= (-1)i+jdetAij
Eigenschappen (als A en B inverteerbaar zijn)
• (A-1)t= (At)-1
• (AB)-1= B-1A-1
Positief (semi-)definitiet
Een symmetrische nxn-matrix 𝐵 is positief semi-definiet indien, voor elke nx1-vector 𝑎 (≠0n), de
kwadratische vorm 𝑎𝑡𝐵𝑎≥0.
Het is positief definiet indien 𝑎𝑡𝐵𝑎>0 voor elke vector a (≠0n).
Een positief definiete matrix is altijd inverteerbaar.
, Oefening
Relatie tussen de leeftijd van een kind en de score op een taalexamen.
1. Spreidingsdiagram opstellen
2. We gaan de lijn zoeken die het beste bij de data past
a. Zet de data om in 2 matrices
b. Bereken (XtX)-1Xty
Bestaat XtX wel? Hier oke
Het bovenste getal in de matrix is het intercept van de rechte, het onderste getal is de rico.
De lijn die we berekend hebben is de lijn die het best de relatie tussen de leeftijd en de testresultaten
weergeeft op basis van de observaties.
